2024届高考数学复习第一轮讲练测专题3.9 函数的实际应用 教师版

专题3.9  函数的实际应用

1.（2021·广东高三专题练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（    ）

A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米

【答案】B

【解析】

根据到1.84米得90分，先求得该女生训练前立定跳远距离，再求得训练后立定跳远距离，两者相减即可.

【详解】

该女生训练前立定跳远距离为（米），

训练后立定跳远距离为（米），

则该女生训练后，立定跳远距离增加了（米）.

故选：B．

2.（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：

现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（     ）

A．1800 B．1000 C．790 D．560

【答案】C

【解析】

李某月应纳税所得额（含税）为：元，

不超过3000的部分税额为元，

超过3000元至12000元的部分税额为元，

所以李某月应缴纳的个税金额为元．

故选：．

3．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.

【详解】

设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,

则当时,元,不符合题意;

当时,,令,解得,符合题意；

当时,,不符合题意.

综上所述: 此户居民本月用水量为15.

故选：C.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级 (单位：dB)由声音强度(单位：)决定．科学研究发现，与成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为声音强弱的等级为；某动物发出的鸣叫，声音强度为，声音强弱的等级为．若某声音强弱等级为90dB，则声音强度为（    ）

A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1

【答案】A

【解析】

设，代入两点坐标即可得到函数表达式，进而解方程可得结果.

【详解】

解析依题意，设将代入，

,

解得，

故.

令，

解得x=0.001.

故选：A

5．（2021·全国高三其他模拟（理））年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+年扶贫资金（元）+年自投资金（元）自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，年自投资金元，以后每年的自投资金均比上一年增长，年获得的扶贫资金为元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少元，则该贫困户在年的年总收入约为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

【答案】B

【解析】

根据题意，分别求得年的自投资金和扶贫资金，进而求得该贫困户年的年总收入，得到答案.

【详解】

由题意，年的自投资金为（元），

年的扶贫资金为（元），

所以该贫困户年的年总收入约为（元）．

故选：B.

6．（2021·全国高三其他模拟（理））生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为（）（    ）

A． B．10 C．100 D．

【答案】A

【解析】

将时，代入化简计算即可求出.

【详解】

当时，，

所以，得，故.

故选：A．

7．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（    ）

A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍

【答案】C

【解析】

根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.

【详解】

设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，

由题意得

解得

∴

故选：C

8．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.

【答案】

【解析】

设红豆有粒，白豆有粒，由两轮的结果可构造方程组，根据的范围可计算求得，加和即可得到结果.

【详解】

设红豆有粒，白豆有粒，

由第一轮结果可知：，整理可得：；

由第二轮结果可知：，整理可得：；

当时，由得：（舍）；

当时，由得：（舍）；

当时，由得：，，

即红豆和白豆共有粒.

故答案为：.

9．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：)

【答案】60

【解析】

设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为，可得不等式，两边取对数解不等式，即可得到答案；

【详解】

设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为，

，

故答案为：.

10．（2021·浙江高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：

（1）将利润（单位：元）表示成月产量x的函数

（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

【答案】（1）；

（2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.

【解析】

（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；

（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.

【详解】

（1）由题意可得：

当时，；

当时，；

所以.

（2）当时，，即最大值为25000；

当时，为减函数，所以当时，，故.

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.

1．（2021·四川高三三模（理））一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

求出药物保有量随时间的关系式，列不等式求解可得．

【详解】

设小时保有量为 mg，则，

由，，，

所以．

故选：A．

2．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度与其采摘后的时间(天)满足关系式：.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（    ）(已知，结果四舍五入取整数)

A．23天 B．33天 C．43天 D．50天

【答案】B

【解析】

根据题中条件，列出方程组求出，设采摘下来的这种脐橙在天后失去50%的新鲜度，列出方程求解，即可得出结果.

【详解】

因为采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，

所以，则，

设采摘下来的这种脐橙在天后失去50%的新鲜度，

则，即，所以，则，因此.

故选：B.

3．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数．经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（    ）

A．10 B． C．100 D．

【答案】B

【解析】

将，代入给定的函数关系，解指数方程即得.

【详解】

当时，，则，，，即，故.

故选：B

4．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为(单位：)，鲑鱼的耗氧量的单位数为.科学研究发现与成正比，且当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：

①与的正比例系数为；

②当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；

③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速.

则说法正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】

列出对Q的函数关系，把的值分别代入计算并判断得解.

【详解】

依题意，设，则有，解得，故①错误；

当时，有，解得，故②错误；

当时，游速，故③错误.

故选：A

5．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量(的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为，其中为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）

A．63 B．65 C．66 D．69

【答案】B

【解析】

由给定模型计算出P(t0)，建立方程，求解即得.

【详解】

由题意知，，即，

所以，解得.

故选：B

6．（2021·四川眉山市·高三三模（理））年月日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——个三星堆文化“祭祀坑”现已出土余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算，碳测年法是根据碳的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（    ）

（参考数据：，）

A．公元前年到公元前年 B．公元前年到公元前年

C．公元前年到公元前年 D．公元前年到公元前年

【答案】C

【解析】

设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，可得函数关系式，根据半衰期可构造方程求得，由此得到函数关系式，根据可求得，由此可推断出年代.

【详解】

设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，则，

碳的半衰期是年，，，；

由得：

，

年之前的年大致是公元前年，即大致年代为公元前年到公元前年之间.

故选：C.

7．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．（单位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（    ）

A．2A B．10A C．100A D．1000A

【答案】C

【解析】

设甲地地震震级为，乙地地震震级为，首先根据题意求得，代入里氏震级的计算公式为：求出即可.

【详解】

设甲地地震震级为，乙地地震震级为，

因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的倍，

所以,故，

又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A

因为，所以，

解得：，

甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为.

故选：C.

8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T型病毒的变化规律，将T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y与天数n近似满足.已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：).

【答案】19

【解析】

由题意病毒细胞关于时间的函数为，由，求解即可．

【详解】

由题意病毒细胞关于时间的函数为，

则由两边取对数得，解得．

即第一次最迟应在第19天注射该种药物．

故答案为：19.

9．（2021·浙江高一期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长，大扇形半径，设小扇形半径，弧度，则

①关于x的函数关系式_________．

②若雕刻费用关于x的解析式为，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．

【答案】，；       

【解析】

利用弧长公式求与根据扇环周长可得关于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

由题意可知，， ，，

所以，，，

扇环周长，

解得，

砖雕面积即为图中环形面积，记为，

则

，

即雕刻面积与雕刻费用之比为，

则，

令，则，

，当且仅当时（即）取等号，

所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.

故答案为：，；

10．（2021·浙江高一期末）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本可变成本）；

（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；

（2）年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.

【解析】

（1）由题意列出解析式，再写成分段函数的结构；

（2）分别求出每一段的最大值，即可得到利润的最大值，及取最大值时的产量.

【详解】

（1）当时，，

当时，，

所以

（2）当时，，即时，最大；

当时，因为，所以，所以

，当且仅当x=10时，

所以，此时x=10.

即年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.

1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

【答案】B

【解析】

由题意，第二天新增订单数为，

故需要志愿者名.

故选：B

2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【解析】

根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

【详解】

由，当时，，

则.

故选：C.

3.（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【解析】

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

4．（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【解析】

因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

5．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

.

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由，得

因为，

所以，

即，

解得，

所以

6.（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.

【解析】

（1）由题意知，当时，

，

即，

解得或，

∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

（2）当时，

；

当时，

；

∴；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；

有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为时，人均通勤时间最少．