2022-2023学年甘肃省张掖市某重点校高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省张掖市某重点校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用复数的除法计算即可.

【详解】,

.

故选：A.

2．已知，，则，的夹角等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量夹角公式的坐标表示即可求解.

【详解】因为，，，

所以，

因为，所以，的夹角等于．

故选：A

3．已知，，且，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角和的正切公式，再结合特殊角的三角函数值即可证明.

【详解】因为，，

所以，

又因为，，

所以，

所以.

故选：B.

二、多选题

4．函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意利用诱导公式结合正弦函数分析运算．

【详解】令，

则或，其中，

当，时，

所以；

当，时，

所以；

综上所述：.

故选：AC.

三、单选题

5．设的内角所对的边分别为，若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据正弦定理求解即可得到所求结果．

【详解】由正弦定理得，

∴．

又，

∴为锐角，

∴．

故选B．

【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．

6．已知为第二象限的角，则所在的象限是（    ）

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限

【答案】D

【解析】用不等式表示出的范围，计算出的范围，进一步得到的范围，然后可得其所在象限．

【详解】由为第二象限的角，即

所以

所以

所以

当为偶数时，设，则，

所以此时在第二象限.

当为奇数时，设，则

所以此时在第四象限.

故选：D

7．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则=

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的基本定理和向量的运算法则，即可得到答案.

【详解】由题意，在中，是边上的中线，所以,

又因为为的中点，所以,

所以，故选B.

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理和向量的线性运算法则的应用，其中正确把握平面向量的基本定理和向量的线性运算法则——三角形法则和平行四边形法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

8．函数以2为最小正周期，且能在时取得最大值，则的一个值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数恒等变换得到，由最小正周期求出，由得到，从而求出答案.

【详解】函数，

因为，所以，解得，

由题意得，

∴，，

∴，，

可知当时，满足要求，其他选项均不合要求.

故选：A

四、多选题

9．若复数，则（    ）

A．|z|=2 B．|z|=4

C．z的共轭复数=+i D．

【答案】AC

【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】依题意，故A选项正确，B选项错误.

，C选项正确.

，D选项错误.

故选：AC

10．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得

B．在中，若，则点为边上的中点

C．已知，均为非零向量，若，则

D．若且，则

【答案】ABC

【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，

B选项，，根据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.

C选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.

D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.

故选：ABC

11．已知函数，则(    )

A．的最小正周期为

B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称

D．的值域为

【答案】BCD

【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)为，再根据正弦型函数的性质即可逐项判断．

【详解】

，

的最小正周期为，A错误，B正确；

由得，

即的图象关于直线对称，C正确；

，，，

即的值域为，D正确．

故选：BCD．

12．下列命题正确的是（    ）

A．在△ABC中，三个内角为A，B，C，，则△ABC是等腰三角形

B．已知，，则

C．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则的值为

D．在△ABC中，，AB＝2，BC＝4，则BC边上的高为

【答案】BCD

【分析】由已知可得A＝B或，可判断A；求得，可求判断B；求得，可判断C；先根据余弦定理求出b＝4，然后利用等面积法即可求出BC边上的高．

【详解】解：对于A，∵，∴2A＝2B或，∴A＝B或，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B，∵，，∴，∴，

∴，故B正确；

在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，

则，故C正确；

在△ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，则c＝2，a＝4，

因为，所以，

整理得，解得b＝4，（负值舍去），

因为，，

设BC边上的高为h，则，

，解得，故D正确.

故选：BCD．

五、填空题

13．若向量与的夹角为，且则_________．

【答案】

【分析】利用向量的模的坐标表示及向量的数量积的定义即可求解.

【详解】因为，

所以，

又因为向量与的夹角为，且

所以.

故答案为：.

14．已知，则__．

【答案】

【分析】及角的范围即可求解.

【详解】因为，所以，所以，

又，所以.

故答案为:.

15．设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为实数,则的值为_____．

【答案】2

【分析】根据复数的四则运算及实数的定义，即可求解.

【详解】因为，又是实数，

所以.

故答案为：2.

16．若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______．

【答案】5

【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.

【详解】因为，，则有，即，

而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.

故答案为：5

六、解答题

17．若向量，，．

(1)，求的值；

(2)若与共线，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的坐标运算，代入求值即可；

（2）利用向量共线定理即可得出．

【详解】（1）因，即，

所以 ，解得 ，故；

（2）因与共线，，，

所以，故．

18．（1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分子分母同除，可构造关于的式子，代入的值即可；

（2）利用同角三角函数关系可求得，根据，利用两角和差余弦公式可求得结果.

【详解】（1）；

（2），，，

.

19．设a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，向量，且.

(1)求B；

(2)若，求b.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用向量平行列方程，结合正弦定理求得.

（2）对进行分类讨论，结合余弦定理求得.

【详解】（1）因为，且，

所以，

由正弦定理知，

因为，所以，

因为，所以或.

（2）当时，由余弦定理得，

则；

当时，由余弦定理得，

则.

20．已知非零向量，满足，且.

（1）求；

（2）当时，求向量与的夹角的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据向量数量积的运算律展开可得到，即可求出.（2）利用向量的数量积公式即可求出夹角的值.

【详解】（1）因为，可得，即

所以，故.

（2）因为，所以，

，故.

【点睛】本题考查已知向量的数量积求向量的模以及向量的夹角运算，属于基础题.

21．已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值；(2)由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得结果.

【详解】（1）∵，可得：，

∴由余弦定理可得：，     

 又∵，∴

（2）由及正弦定理可得：，

∵，，

∴由余弦定理可得：，

∴解得：，，

∴

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

22．已知向量.

(1)求函数的最小正周期和严格増区间，

(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.

【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为

(2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为.

【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.

（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.

【详解】（1）已知向量，，

所以.

故函数的最小正周期为；

由，解得：，，

故函数的严格增区间为.

（2）由于，得.

故当，即时，取得最大值，最大值为；

当，即时，取得最小值，最小值为.