2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知平面向量的夹角为，且，则（    ）

A．4 B．4 C．8 D．8

【答案】C

【分析】直接利用数量定义求解即可

【详解】因为平面向量的夹角为，且，

所以，

故选：C

2．已知a，，，则（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】根据复数相等的定义求参，再根据复数的模的计算公式即可得解.

【详解】因为，所以，，

所以.

故选：D.

3．已知（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为，所以.

故选：A

4．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由题意可知，利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可.

【详解】，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.

故选：A.

5．已知，则（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】B

【分析】变换，代入计算得到答案.

【详解】，.

故选：B

6．已知向量，，若与同向共线，则（    ）

A．3 B． C．或3 D．0或3

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得.

【详解】因为向量，，

由，可得或，

当时，，，，满足题意，

当时，，，，不满足题意，

所以.

故选：A.

7．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，

则圆锥和圆柱的高为，

所以圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,

故选:C.

8．如图，在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】若是中点，连接，由知是直线与所成角的平面角，再应用余弦定理求其余弦值.

【详解】若是中点，连接，在长方体中，

所以直线与所成角为，又，F为棱的中点，则，

所以在△中，.

故选：D

二、多选题

9．甘肃省庆阳市南佐遗址是国家重点文物保护单位，年代距今5200年至4600年.它是仰韶文化的大型聚落遗址，为黄河流域文明起源和发展提供了重要的实物资料，经国家文物局批准，2021年、2022年进行了第三阶段的考古发掘工作.如图，为该次出土的一块三角形瓷器碎片，其一部分破损，为了复原该三角形陶片，现测得如下数据：BC=7cm，AB=5cm，A= ，则：（      ）

A．陶片破损的边AC长为8cm B．陶片面积为cm2

C．陶片外接圆面积cm2 D．陶片的形状为直角三角形

【答案】ABC

【分析】利用已知条件，通过正弦定理，余弦定理可分别求出的值，从而可对各选项逐项分析判断即可得出答案.

【详解】由题意可得，BC=7cm，AB=5cm，A= ，在三角形中，,

由正弦定理可得，，即，

又为锐角，，

，

，

由正弦定理可得，,即;故A正确；

，陶片外接圆面积为,故C正确；

陶片面积为，故B正确；

，陶片的形状不是直角三角形，故D错误；

故选：ABC.

10．设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（       ）

A．

B．若互为共轭复数，则

C．若，则

D．若复数为纯虚数，则

【答案】ABD

【分析】根据复数的乘法运算、共轭复数及复数模的运算，纯虚数的定义逐一判断作答.

【详解】对于A，令，则，于是，A正确；

对于B，令，则，，B正确；

对于C，令，显然，

而，，C错误；

对于D，复数为纯虚数，则，解得，D正确.

故选：ABD

11．已知向量，若，则实数m的值可以为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值.

【详解】因为，所以，

解得或0或．

故选：ABC

12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．异面直线与所成的角的取值范围为

C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

D．过作直线，则

【答案】ACD

【分析】证明平面，结合三棱锥的体积计算判断A；利用异面直线夹角的定义计算判断B；求出点到平面的距离计算判断C；证明平面判断D作答.

【详解】对于A，在正方体中，对角面是矩形，即，

平面，平面，则平面，即点P到平面的距离等于点C到

平面的距离，为定值，而的面积是定值，因此，三棱锥的体积为定值，A正确；

对于B，由选项A知，，则异面直线与所成的角即为直线与所成的角，连，

则有是正三角形，点在线段上运动，当点P与或重合时，直线与所成的角最小，为，

当点P为线段的中点时，直线与所成的角最大，为，

所以异面直线与所成的角的取值范围为，B不正确；

对于C，令正方体棱长为2，点到平面的距离为h，正边长为，面积为，

由得：，解得，当点P为线段的中点时，，

所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，C正确；

对于D，在正方体中，，平面，又平面，因此，

而，平面，于是有平面，又平面，

则，又直线过，且直线，所以，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知，则______．

【答案】或

【分析】根据给定条件，利用等角定理计算作答.

【详解】，由等角定理知，与相等或互补，

所以或.

故答案为：或

14．如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ______．

【答案】

【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可．

【详解】把直观图还原为,如图所示：

根据直观图画法规则知,,

所以的长度为.

故答案为：.

15．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.

【答案】

【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.

【详解】向量在向量的方向上的数量投影为.

故答案为：

16．“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．

【答案】/0.28

【分析】建立直角坐标系，由可求出的坐标，然后根据建立方程组求解即可.

【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为，，则，，.

设，则，，

因为，所以，解得，

，，，

由，得，

所以，解得，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．已知为锐角，.

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；

（2）先由题意求出，，

根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以；

（2）因为为锐角，所以，，

又，所以，

，

所以

.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.

18．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，，.

（1）求，，对应的复数；

（2）判断的形状；

（3）求的面积.

【答案】（1）；-3+i；-2+2i（2）直角三角形.（3）2

【解析】（1）求出A,B,C对应的点的坐标，再根据向量的坐标运算求出结果；

（2）分别求出对应的线段的长，再根据勾股定理即可判断；

（3）利用直角三角形的面积公式，计算即可.

【详解】解：（1）对应的复数为.

对应的复数为.

对应的复数为.

（2）由（1）知，

，，

∴.∴为直角三角形.

（3）.

【点睛】本题考查复数的几何意义，复数和平面内的点是一一对应关系，考查了向量的模以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题.

19．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)若，求函数的值域和单调区间.

【答案】(1)；

(2)值域是，递增区间是，递减区间是.

【分析】（1）根据诱导公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式求解作答.

（2）利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域及单调区间作答.

【详解】（1）依题意，，

所以的最小正周期为.

（2）由，得，则，因此，

即函数的值域是，

又正弦函数在上单调递增，在上单调递减，

由得：，由得：，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的值域是，递增区间是，递减区间是.

20．如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台上、下底面半径分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，取

(1)求这个盖子的表面积和体积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）

(2)若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1，计算100个这样的盖子涂色约需要涂料多少千克？（内部不涂色，结果精确到0.1千克）？

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用球的表面积公式和棱台的表面积公式，以及它们的体积公式求解作答.

（2）由（1）的结论，将R=2cm代入计算出每个盖子的表面积，进而求出100个盖子的面积，即可求出需涂料的重量.

【详解】（1）因为球的半径为R，则该球的表面积为，该球的体积，

又四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，则四棱台的上、下底面积分别为和，

而正四棱台的斜高为0.6R，则四棱台的侧面积为，

正四棱台的高为上、下边长分别为2.5R和3R，腰长为0.6R的等腰梯形的高为，

正四棱台的体积，

所以容器盖子的表面积，

体积为（）.

（2）由（1）知，，当R=2cm时，（）

所以100个这样的盖子约需涂料为（）.

21．如图，在正方体中，是棱的中点．

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

(2)求证：直线平面

(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论.

（2）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线面垂直性质和判定推理作答.

（3）利用三棱锥的体积求解作答.

【详解】（1）直线平面，

在正方体中，连接交于点，连接，如图，

因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，

因此，又平面，平面，

所以平面.

（2）在正方体中，连接，如图，

因为四边形为正方形，则，而平面，平面，

即有，又，平面，则平面，

而平面，因此，同理平面，又平面，

即有，因为，平面，

所以平面.

（3）在三棱锥中，，

则的面积，的面积，

设点到平面的距离为，由得：，

于是，

所以点到平面的距离为.

22．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．

(1)求角的大小；

(2)求的最小值.

(3)的取值范围

【答案】(1)；

(2)4；

(3).

【分析】（1）根据给定条件，利用向量的数量积公式和三角形面积公式，化简、计算作答.

（2）由余弦定理结合已知，再利用基本不等式求解作答.

（3）利用（1）的结论，结合三角恒等变换及三角函数性质求解作答.

【详解】（1）在锐角中，由，得，

即，则，而，

所以.

（2）在中，由（1）知，，而，由余弦定理，

得，

当且仅当时取等号，

所以当时，.

（3）由（1）知，，则，而是锐角三角形，有，解得，

于是，

而，，即，

所以的取值范围是.