福建省厦门市双十中学2023届九年级下学期期中数学试卷(含解析)

2022－2023学年第二学期期中考试试卷

数学

（考试时间：120分钟）

一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）

1. 倒数是（ ）

A.  B.  C.  D.

2. 据统计数据显示，2023年春节，凤凰古城接待游客564200人次，其中564200用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）

A.  B.

C.  D.

4. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

5. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 下列计算正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

7. 李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格:如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是(　　)

A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数

8. 我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是的直径，点C、D是上的点，，连接，若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（    ）

A. 或 B.  C.  D.

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 因式分解：______．

12. 在一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．若随机摸出一个小球，小球上的数字小于3的概率为______．

13. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．

14. 如图，在中，，是的角平分线，过点作，若，，则______．

15. 已知非零实数x、y满足，则的值等于______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____．

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17. 计算：

18. 如图，在平行四边形中，是对角线上两点，且，连接．求证：．

19. 先化简，再求值：，其中．

20. 某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．

（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；

（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

21. 如图，．

（1）作出与关于直线对称的，其中点D是点B的对称点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，延长交于点E，在上截取线段，使得．求证：D，C，F三点共线．

22. 已知线段，将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．

（1）如图1，当时，连接，求度数；

（2）如图2，当时，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．

23. 某校对九年级600名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（用x表示成绩，数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E：）

甲，乙两班成绩统计表：

乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）______，______；

（2）小明这次测试成绩43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；

（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，学校准备从测试成绩优秀的同学中，随机抽取一名同学当体育集训的督导员，求抽中的同学恰好是乙班学生的概率．

24. 已知为的直径，点C和点D为上的动点（两点在的异侧且都不与A、B重合），连接与交于点E，连接，．

（1）如图1，若，，求的度数；

（2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长度；

（3）如图2，若，，且对任意的点C，弦上都有一点F满足，连接，求线段的最小值．

25. 平面直角坐标系中，抛物线过点．顶点不在第二象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．

（1）求抛物线对称轴；

（2）求点的坐标；

（3）若抛物线与直线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．

答案

1. C

解：∵，

∴的倒数是.

故选C

2. C

解：564200用科学记数法表示为，

故选：C．

3. C

解：从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项C的图形符合题意，

故选：C．

4. B

解：每个外角都是，多边形外角和为，

多边形的边数为，

故选：B．

5. B

解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B

6. D

解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；

B、，故本选项不符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意．

故选：D．

7. D

解: 中位数是将一组数从小到大的顺序排列, 取中间位置或中间两个数的平均数得到,所以如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是中位数.

故选D.

8. B

解：设有x个人，

根据题意得：，

故选：B．

9. C

解：如图，设AC与OD交于点E，

∵，∠COB=20°，

∴∠CAB=∠COB=10°．

∵OD⊥AC，

∴∠AEO=90°，

∴∠AOD=90°-10°=80°．

∵，

∴∠ACD=∠AOD=40°．

故选：C．

10. 抛物线解析式变形为：，

即抛物线对称轴为，

当x=m-1时，有，

当x=m+1时，有，

设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，

即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，

当x=0时，有，

∴C点坐标为，

当x=m时，有，

∴抛物线顶点坐标为，

∵直线l⊥y轴，

∴直线l为，

∵m-1＜m+1，

∴M点N点左侧，

此时分情况讨论：

第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，

由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，

∴此时不符合题意；

第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，

由图可知此时M、N点满足，

∴此时不符合题意；

第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，

或者 ，

由图可知此时M、N点满足，

∴此时符合题意；

此时由图可知：，

解得，

综上所述：m的取值范围为：，

故选：D．

11. x(x-2)

解：，

故答案为：．

12. ##

解：共有5中等可能结果，其中小于3的有2种，

则随机摸出一个小球，小球上的数字小于3的概率为：

故答案为：．

13. 6

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

又BC=12，

∴，

14. 3

解：∵是的角平分线，即平分，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴．

故答案为：3．

15.

解：根据，可得，即，

，

将代入，得：．

故答案为：．

16. （6，）．

解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，

∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5，

∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，

∴B（5，0），C（8，4），

∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝，

设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣，

∴直线BC的关系式为y＝x﹣，

将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，），

故答案为：（6，）．

17. 解：

．

18. 证明：∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

又∵，

∴在和中，

，

∴，

∴．

19. 解：

，

当时，原式．

20. （1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，

得：，

解得：，

答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，

（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由题意，

得：8a+6(15-a)≤100，

解得：a≤5，

∴a最大值为5，

答：最多购买5千克苹果．

21. （1）

解：如图，为所作；

；

（2）

证明：连接，如图，

∵和关于直线对称，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴D，C，F三点共线．

22. （1）

解：∵线段绕点逆时针旋转得到，，

∴，，

∴；

（2）

如下图，过点作于点，过点作于点，

∵将绕点逆时针旋转得到，

∴，

又∵，

∴，，即，

∵，

∴，

∵线段绕点逆时针旋转得到，

∴，，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，

∴在和中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

23. （1）

解：将乙班学生的成绩从小大大进行排序，排在第25位和26位的学生成绩为42，因此乙班学生的中位数是42，即；

甲班学生成绩在A组和B组的分别有（人），

在C组的有（人），

在D组的有（人），

在E组的有（人），

甲班同学成绩的中位数是44.5分，说明从小到大排序后，排在第25位的是44分，排在第26位的是45分，则得分为45分的学生人数为：

（人），

∴甲班同学的众数是45，

即，

故答案为：42；45．

（2）

解：∵甲班同学的中位数是44.5，乙班同学的中位数是42，

又∵，

∴成绩是43分的小明在甲班处于中游偏下，在乙班处于中游偏上，

∴小明是乙班的学生；

（3）

解：甲班成绩达到45分及45分以上的学生为：

（人），

乙班成绩达到45分及45分以上的学生为：

（人），

则全校成绩达到45分及45分以上的学生为：

（人），

从测试成绩优秀的同学中，随机抽取一名同学当体育集训的督导员，抽中的同学恰好是乙班学生的概率为：．

24. （1）

解：连接，如图所示：

∵，

∴，

∵，

∴的度数为：，

∴，

∵，

∴．

（2）

解：过点C作于点G，如图所示：

∵，，，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴．

（3）

解：连接，，，如图所示：

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

∴，

∴点F在以为直径的圆上，设点M为的中点，连接，交于点H，当点F在点H处时，最小，过点M作于点N，如图所示：

∵为等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴的最小值为．

25. （1）

解：∵抛物线过点，

∴当时，可有，

∴，

∴抛物线的对称轴为；

（2）

如下图，设，线段与抛物线的对称轴的交点为，

∵，线段上有一点，

∴，，，

又∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，解得，

由（1）可知，抛物线的对称轴为，

∴，

∴点的坐标；

当时，同理可得．

综上所述，点的坐标为或；

（3）

∵直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，

∴，

∴点，

∵点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴为，

∴，

∴点，

设直线的解析式为，将点，代入，

可得，解得，

∴直线的解析式为：；

∵，

∴，

∴点在抛物线的对称轴左侧，即点，

∵直线与直线为同一直线，

∴，解得，

∴抛物线解析式为：，

∵，

∴当时，有，

当时，有，

∴当时，．