2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著九章算术中，下列各数是负数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  年月日时分，神舟十五号三名航天员顺利进驻距离地球万米的中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，将数据万用科学记数法表示，其结果是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图所示的几何体的俯视图是(    )A.
B.
C.
D.
 4.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  实数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如图，点，，，在上，，是弧的中点，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 7.  某同学在计算一组数据的方差时，得到了这样一个式子：下列对于这组数据的描述，错误的是(    )A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是8.  如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与弧交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，且，若，则的面积为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第二象限的图象经过点，且，则的值是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  使得代数式有意义的的取值范围是______．12.  计算： ______ ．13.  不透明袋子中装有个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是______ ．14.  如图，已经二次函数的图象如图所示，直线轴，则当时的取值范围        ．
15.  如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为______．
 16.  对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为，已知点，点坐标，函数相关函数与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  化简：．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
解方程组：．19.  本小题分
如图，已知，将沿射线方向平移长度的一半得到，其中点，分别是，的对应点，交于点若的面积是，求四边形的面积．
20.  本小题分
某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．
组别成绩分频数请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
如表中的 ______ ；扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从组随机抽取两名学生组成代表队组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．21.  本小题分
如图，在矩形中，，分别是边，的中点．
请仅用无刻度的直尺，以为边画菱形保留作图痕迹，不写作法；
请证明你所画的四边形是菱形．
22.  本小题分
为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知年该市投入基础教育经费万元，年投入基础教育经费万元．
求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
如果按中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划年用不超过当年基础教育经费的购买电脑和实物投影仪共台，调配给农村学校，若购买一台电脑需元，购买一台实物投影需元，则最多可购买电脑多少台？23.  本小题分
如图，中，，以为直径作，为上一点，连接交于点，连接，，，且．
求证：；
若，，求的长．
24.  本小题分
在中，，，是上一点不与点，重合，连接，过点作于点，连接并延长，交于点．
如图，当时，
求证：；
求证：；
如图，若是的中点，求的值用含的代数式表示．
 25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
求抛物线的解析式；
点在抛物线上，若使得的点恰好只有三个，求的值；
请使用圆规和无刻度直尺，在轴下方的抛物线上确定一点，使得，并说明理由保留作图痕迹，不写作法．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是负数，故本选项符合题意；
B.既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；
C.是正数，故本选项不符合题意；
D.是正数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据负数的定义即可判断．
本题主要考查负数的概念，关键是要牢记负数的定义．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：从上面看，可得图形：
．
故选：．
俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．
 4.【答案】 【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
不符合题意；
，，，
，
不符合题意；
由图可知，，
符合题意；
，，
，
不符合题意．
故选：．
根据数轴表示点的性质可求相关判断．
本题考查数轴表示数的相关知识点，解题关键是实数的相关计算．
 6.【答案】 【解析】解：连接，如图，
是弧的中点，
即，
，
和都对，
．
故选：．
连接，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
样本容量是，分别为，，，，，
样本平均数是：，故选项A不合题意；
从小到大排列为：，，，，，中位数为，故选项B符合题意；
样本众数是，故选项C不合题意；
样本方差是：，故选项D不符合题意．
故选：．
根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查方差、中位数、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、中位数、算术平均数、众数．
 8.【答案】 【解析】解：由题意得直线垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积，的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积．
故选：．
由翻折的性质得到，而，得到是等边三角形，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，关键是证明是等边三角形．
 9.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点．

，
，
，，，
，
，
在中，，
，
故选：．
过点作于点，利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，即可计算面积．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：设点坐标为，
和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，即，
，
，
，
．
故选：．
设点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，，，，则变形为，利用平方差公式得到，所以，因为，，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 11.【答案】 【解析】解：代数式有意义，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
 12.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查实数指数幂的运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
 13.【答案】个 【解析】解：设绿球的个数有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
绿球的个数约有个．
故答案为：个．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 14.【答案】 【解析】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线，直线与抛物线交于点，
直线与抛物线的另一个交点坐标为．
当时，，
故答案为：．
先根据抛物线的对称性求出直线与抛物线的另一个交点坐标为，再根据图象法求解即可．
本题主要考查了抛物线的对称性，图象法求不等式的解集，正确求出直线与抛物线的另一个交点坐标是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：菱形的顶点，，
点坐标为．
每秒旋转，则第秒时，得，周，
旋转了周半，菱形的对角线交点的坐标为，
故答案为：．
根据菱形的性质，可得点坐标，根据旋转的性质，可得点的坐标．
本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．
 16.【答案】或． 【解析】解：根据题意：函数相关函数是：，
当时，或，
点，点，
函数相关函数与线段有且只有一个交点，
，解得，
或，解得
故答案为或．
根据一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，解题关键是根据题意结合图象即可得出正确答案．
 17.【答案】解：原式． 【解析】在进行乘法运算时运用分配律，然后进行加减运算．
此题根据乘法的分配律先进行分式的乘法运算，然后再进行加减的运算，使运算简单化了，计算过程要注意符号间的变化．
 18.【答案】解：得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 19.【答案】解：，
∽，
是中点，
：：，
：：，
的面积是，
，
，
≌，
，
即，
四边形的面积为． 【解析】利用相似求出面积比为：，求出四边形的面积是，再用等量差，证出四边形的面积与四边形的面积相等即可．
本题考查了三角形平移的性质，利用相似求出面积比是解题关键．
 20.【答案】   【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
由题意得：，
，
组所在扇形的圆心角的是，
故答案为：，；
即估计竞赛成绩在分以上的学生有人；
将“小经”和“小武”分别记为：、，另两个同学分别记为：、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有种，
恰好抽到小经和小武的概率为：．
由组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，；
由该校参赛人数乘以竞赛成绩在分以上的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：如下图：菱形即为所求；

证明：设、相交于点，则平分，
，分别是边，的中点，
，
平分，
同理：平分，
，，，
四边形为平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
▱为菱形． 【解析】延长交于，延长交于，再顺次连接即可；
根据三角形的中位线的性质定理和逆定理，判定、是中点，再根据中位线的性质证明．
本题考查了复杂作图，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
 22.【答案】解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，舍去．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为．
年投入基础教育经费为万元，
设购买电脑台，则购买实物投影仪台，
根据题意得：，
解得：．
答：年最多可购买电脑台． 【解析】设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为，根据年及年投入的基础教育经费金额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据年平均增长率求出年基础教育经费投入的金额，再根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其中的最大值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据年及年投入的基础教育经费金额，列出关于的一元二次方程；根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式．
 23.【答案】证明：如图，延长交于点，连接，
为直径，
，
，
，，垂直平分，
即，，
；
解：，，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
在中，，
，，
∽，
，即，
解得，
． 【解析】如图，延长交于点，连接，先根据圆周角定理得到，再证明垂直平分，所以；
先计算出，，利用平行线分线段成比例定理得，则可设，所以，，在利用双勾股得，解得，则可计算出，，然后证明∽，利用相似比求出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
 24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
于点，
，
，
．
证明：如图，过点作，交的延长线于，与交于，
，
，
，
，
，
，
又，
，
≌，
．
，
∽，
，
．
解：如图，过点作，交的延长线于，
则，
，
，
，
，
，
∽，
．
设，
是中点，
，
，
，
，
，
，，
，是中点，
，
． 【解析】由得，，由外角定理得，从而．
过点作，交的延长线于，证明≌，得到，再证明∽，得到，即可得结论．
过点作，交的延长线于，设，证明∽，表示出、、的长，求得结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性比较强，合理添加辅助线，把所学知识串联起来熟练运用是解题的关键．
 25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

若使得的点恰好只有三个，则点在下方时，只有一个点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
过点作交轴于点使，

则设直线的表达式为：，
联立并整理得：，
则，则，
则点，则，
过点作交于点，
由直线的表达式知，，
则，
则，，
则；

设，则，
在线段上取点，使，

则：：，
，
∽，
：：，
即：：，
则，
即，
，即，
设非常接近，令、，
则以点为圆心，以的长度为半径作弧，交轴于点，以点为圆心，以，长度为半径作弧，交抛物线于点，
则点为所求点． 【解析】由待定系数法即可求解；
若使得的点恰好只有三个，则点在下方时，只有一个点，进而求解；
证明∽，得到，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到函数作图、解直角三角形、三角形相似等，综合性强，难度适中．