2022-2023学年四川省内江市内江市第六中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年四川省内江市内江市第六中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据平面向量夹角的计算公式计算即可.

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

2．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式由求解.

【详解】因为，

所以，

故选：B.

3．在中，，为边的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.

【详解】因为为边的中点，所以，

因为，所以，

则．

故选：C

4．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，再利用特殊值的函数值，逐一判断即可.

【详解】对于A，函数，

因为，所以函数为奇函数，

又，故A符合图象；

对于B，函数，

因为，所以函数为奇函数，

又，故B不符题意；

对于C，函数，

因为，故C不符题意；

对于D，当时，，故D不符题意.

故选：A.

5．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的最大值为2

C．函数在上单调递增

D．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为

【答案】C

【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项

【详解】对于A和B，，

所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，

对于C，当时，，

因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；

对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D不正确，

故选：C

6．若函数在区间上存在最小值-2.则非零实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分和两种情况，结合三角函数的性质即可得出结论．

【详解】解：由已知可得：

①当时，

函数在区间上存在最小值-2，

，可得；

②当时，，

函数在区间上存在最小值-2，

，可得：；

综上所述，非零实数的取值范围；

故选：C．

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．

7．已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为（    ）

A．－2 B． C．－3 D．

【答案】B

【分析】由已知可得向量，夹角为，可取，，设，利用配方法求的最小值.

【详解】由，，且，设向量，夹角为，

则，由，得，

在平面直角系中，取，，满足，，且，

设，则，，

，

所以当时，有最小值.

故选：B.

8．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（    ）

A．7 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】由题设，，，利用向量夹角公式求得、，根据新定义及正余弦齐次运算求目标式的值.

【详解】由，，，

，

，

所以，故，

则，

整理得.

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．零向量与任意向量平行

C． D．在正六边形中，

【答案】AB

【分析】根据向量的定义、向量的线性运算法则、向量垂直与数量积的关系判断各选项．

【详解】易得A，B正确；

，C错误；

在正六边形中，，D错误．

故选：AB．

10．若函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的增区间是

C．

D．将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象

【答案】ABD

【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.

【详解】由图象可知：，，所以，则，

又因为函数图象过点，所以，则，所以，

又因为，所以，则函数解析式为：.

对于，函数的最小正周期，故选项正确；

对于，因为，令，

解得：，

所以函数的增区间是，故选项正确；

对于，因为函数的最小正周期，则，

，所以

，故选项错误；

对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故选项正确，

故选：.

11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）．

A．若，则

B．若，则是钝角三角形

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

【答案】ABD

【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D.

【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有，

又因为正弦定理，所以，故A正确；

对B选项，由可得，

∴，为钝角三角形，故B正确；

对C选项，由可得，∴，

∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；

对D选项，由，

则，解得，

故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确.

故选：ABD．

12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用．如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M（视为质点）从水中浮现时（图中点）开始计时，经过t秒后，盛水桶M运动到P点，则下列说法正确的是（    ）

A．当秒时，米；

B．在转动一周内，盛水桶到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒；

C．当时，盛水桶距水面的最大距离为米；

D．盛水桶运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为米．

【答案】BCD

【分析】以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为轴建立平面直角坐标系，求出点距离水面的高度关于时间的函数解析式，再根据三角函数的性质一一分析即可.

【详解】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为轴建立平面直角坐标系，

点距离水面的高度关于时间的函数为．

则，解，，

又水轮每分钟转动一周，则，

，

由，得，，

则．

对于A：当时，，又，，故A错误；

对于B：令，则，所以，

解得，则在转动一圈内，盛水桶到水面的距离不低于米以上的持续时间为秒，故B正确；

对于C，当，则，则，

所以，故C正确；

设盛水桶运动时间为，则另一桶为，

所以

，

当时，故D正确；

故选：BCD．

三、填空题

13．已知在△ABC中，＝＝，则角C的度数为________.

【答案】120°

【分析】由已知条件，结合正弦定理可得,不妨设,利用余弦定理求得，进而得解.

【详解】由已知得,

由正弦定理的,

∴,

不妨设,则 ,

∴=120°，

故答案为：120°.

14．已知，，，，则向量在方向上的投影向量的坐标为_____．

【答案】

【分析】先求得向量、的坐标，再根据投影向量的定义即可求得答案.

【详解】因为，，，，

所以、，

所以，，

所以向量在方向上的投影向量为.

故答案为：

15．已知的内角、、的对边分别为、、，若，，且的面积是，___________.

【答案】

【分析】利用同角三角函数计算出的值，利用三角形的面积公式和条件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.

【详解】，，，且的面积是，

，，，，

由余弦定理得，.

故答案为．

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

16．下列命题：

①若，，，为锐角，则实数的取值范围是；

②若非零向量，且，则为等边三角形；

③若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时，；

④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点一定通过的重心；

⑤如果内接于半径为的圆，且，则的面积的最大值为.

其中正确的序号为_______________________．

【答案】②④⑤

【分析】由为锐角，则且不共线，列式求解可判断①；由条件可知的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，即可判断②；，利用二次函数的性质求解可判断③；记BC中点为E，则，故与共线，而直线AE过的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得，进而由三角形面积公式求解可判断⑤.

【详解】对于①，由，

得，，

因为为锐角，故且不共线，

所以，解得且，故①错误；

对于②，因为非零向量，所以的角平分线与垂直，

为等腰三角形，又，

又，所以，所以为等边三角形，故②正确；

对于③，，

当时，取得最小值，故③错误；

对于④，已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，

记BC中点为E，则，则，故与共线，

而直线AE过的重心，故动点P一定通过的重心，故④正确；

对于⑤，∵，

∴根据正弦定理，得，可得，

∴，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为，

∵，∴由余弦定理，

可得，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，即面积的最大值为，故⑤正确.

故答案为：②④⑤.

四、解答题

17．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，．

（1）若，求；

（2）若与共线，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用向量的线性运算和向量垂直的坐标表示计算求得的值，然后计算模；

（2）利用向量的线性运算和向量共线的坐标表示计算求得的值.

【详解】（1）因为，，

，

，，

，

，

，；

（2）由已知：，，

，

．

18．已知函数．

(1)求函数的对称轴和对称中心；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)，；，

(2)7

【分析】（1）利用诱导公式，降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，利用三角函数的性质求得结果；

（2）由条件求得，根据的取值范围得到，再利用两角和的正切公式进行解答即可.

【详解】（1），

令，则，，

所以的对称轴为，，

令，则，，

所以函数的对称中心为，.

（2），

∴，又，

∴，

∴．

19．已知函数.

(1)求的最大值及相应的值；

(2)设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；

（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，函数

，

所以函数的最大值为，此时，即.

（2）由题意，函数 ，

过作轴于，

因为 所以，可得，

在直角中，可得.

20．已知平面向量，，，其中．

(1)求函数的单调增区间；

(2)将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到的图象，若在上恰有2个解，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；

（2）根据三角函数变换规则得到的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；

【详解】（1）解：因为，且，

所以，

，

即，

令，，解得，，

又因为，

所以函数的单调增区间为：．

（2）解：因为，

所以将函数的图象所有的点向右平移个单位得到，

将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）再向下平移个单位得到，

又因为，所以，

令，解得，

令，解得，

即函数在上单调递增，在上单调递减，且，

作出图像可得：

所以的取值范围．

21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．

(1)求角C的大小．

(2)若，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择条件①利用余弦定理化简整理可得，得；选择条件②，利用正弦定理角化边即可得，即；选择条件③，利用正弦定理和三角恒等变换可得，即；（2）由（1）中结论利用正弦定理可知，，化简得即可求得其范围.

【详解】（1）选择条件①．

由余弦定理得．

整理得，

所以由余弦定理得．

又因为，所以．

选择条件②．

由正弦定理得，整理得，

由余弦定理得．

又因为，所以．

选择条件③．

由正弦定理得．

整理得，

所以．

因为，所以．

显然，所以．

又因为，所以．

（2）因为，，

所以由正弦定理得，即．

因为，所以，

所以．

因为，所以，所以，

故的取值范围是．

22．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；

（1）当时，求四边形的面积.

（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.

【答案】（1）；（2）5

【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；

（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.

【详解】（1）连结，则

四边形的面积为

（2）由题意，在中，，由正弦定理

同理在中，，由正弦定理

令

时，即，的最大值为5

【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题