2022-2023学年四川省内江市第六中学（创新班）高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省内江市第六中学（创新班）高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省内江市第六中学（创新班）高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，若，则实数的取值集合为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次不等式的求解，结合集合关系的区间端点大小关系求解即可【详解】，因为，故，解得故选：D2．设，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求解不等式和，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，由，得，即，；反之，不成立. “”是“”的必要不充分条件.故选：B3．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算．【详解】由已知得，，，，所以.故选：C．4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为(    )A． B．C． D． 或【答案】B【分析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，a≠0时，根据二次函数图像性质即可求出a的范围．【详解】当a＝0时，不等式变为－2＜0恒成立，故a＝0满足题意；当a≠0时，若恒成立，则，即，解得．综上，．故选：B．5．已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.【详解】函数，则不等式等价于或者，解得：，解得：或，于是得或，所以不等式的解集是.故选：A6．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，因为在区间上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故选：C7．已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数平方和商数关系可求得，利用诱导公式化简所求式子，代入已知三角函数值即可求得结果.【详解】由题意知：，，，.故选：D.8．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（    ）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心【答案】B【分析】设出的中点，利用向量的运算法则化简；据向量共线的充要条件得到在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项【详解】解：如图，取的中点，连接，则．又，，即．又，点在射线上．故的轨迹过的重心．故选：B． 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为【答案】AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．10．函数（，，）的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）A．直线是函数图像的一条对称轴B．函数的图像关于点，对称C．函数的单调递增区间为，D．将函数的图像向由右平移个单位得到函数的图像【答案】BCD【分析】根据给定的函数图象结合“五点法”作图，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】观察图象得：函数的周期，有，即，则，由得：，而，则，因此，对于A，，即直线不是函数图像的一条对称轴，A不正确；对于B，由得：，函数的图像关于点，对称，B正确；对于C，由得：，函数的单调递增区间为，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD11．已知中，，，若与交于点，则（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据平面向量线性运算法则及几何关系计算即可判断A、B，再根据平面向量共线定理及推论可得，即可得到是上靠近的一个四等分点，即可得到面积比，从而判断C、D；【详解】解：因为，，所以，，所以，故A正确，B错误；因为、、三点共线，故设，又、、三点共线，设，所以，解得，所以，即是上靠近的一个四等分点，即，所以，故C错误；即，同理可得，所以，即，故D正确；故选：AD12．下列说法正确的有（     ）A．若，则的最大值是B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数x，y满足，则的最小值是【答案】ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确；对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，所以，，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ABD. 三、填空题13．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________．【答案】0【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m.【详解】由，又A，B，D三点共线，所以且，则，可得.故答案为：014．化简____________【答案】2【分析】结合、换底公式化简计算即可【详解】原式.故答案为：2.15．函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．【答案】【分析】根据最高点求出A,周期求出，代入求出，得到，利用相位变换求出.【详解】由题图可知：，，又，所以．又，，又，所以令，得.所以，所以．故答案为：.16．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.【答案】【分析】根据对任意的，总存在，使得，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为，所以函数的对称轴为，对任意的，记.记. 由题意知，当时不成立，当时，在上是增函数，所以，记由题意知， 所以，解得. 当时，在上是减函数，所以，记，由题意知， 所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为: 【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的，总存在，使得，可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域. 四、解答题17．已知集合，集合.(1)当a=1时，求，；(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)，；(2). 【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【详解】（1）当a=1时，，，所以，.（2）因为a>0，则，由(1)知，，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得，所以实数a的取值范围是.18．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解不等式．【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；（2）利用函数单调性定义证明； （3）将，转化为，利用单调性求解.【详解】（1）解：因为函数，恒成立，所以，则，此时，所以，解得，所以；（2）证明：设，则，，，且，则，则，即，所以函数是增函数．（3），，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为．19．已知，．(1)若，求的值．(2)设，现将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，可得，根据二倍角的正弦公式，展开，根据齐次式法化简，即可得答案.（2）由题意得，根据平移原则，可得解析式，根据x的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案.【详解】（1）因为，所以，易知，所以．所以．（2）由题意得由图象平移可知因为，所以，所以，所以，即的值域为．20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】（1）由题意可得，解得.设经过分钟，这杯茶水降温至，则，解得（分钟）.故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，当时，，当时，取得最大值3400万元；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，则当时，取得最大值3380万元.因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.21．已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．条件①：最小正周期为；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：．【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）先对函数化简得，根据所选条件并结合正弦函数性质求参数，得到对应解析式，进而求.（2）由（1）得到的解析式求函数的增区间，再根据题意可求出的最大值【详解】（1）选①和②，则且，解得，所以，则；选①和③，则，解得，所以，则；选②和③，则且，这样的不存在.综上，选①和②；选①和③；选②和③不存在.（2）选①和②：；选①和③：；均有，得，所以的增区间为，因为函数在区间上是增函数，所以实数的最大值为.22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数，）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；(2)证明：对任意实数，为定值；(3)已知，记函数，的最小值为，求．【答案】(1)，(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可得出关于、的等式组，即可求得这两个函数的解析式；（2）利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）设，可得出，问题转化为求函数，的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得的表达式.【详解】（1）解：由性质③知，所以，由性质②知，，，所以，即，解得，.因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.（2）证明：由（1）可得：.（3）解：函数，设，由性质①，在是增函数知，当时，，所以原函数即，，设，，当时，在上单调递减，此时．当时，函数的对称轴为，当时，则，在上单调递减，此时，当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时．当时，即时，在上单调递减，此时．综上所述，.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.