2022-2023学年河北省石家庄市二十二中高一下学期开学考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市二十二中高一下学期开学考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市二十二中高一下学期开学考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，所以．故选：A．2．已知命题：关于的不等式的解集为，则命题的充要条件是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据一元二次不等式恒成立得即可.【详解】关于的不等式的解集为，，故命题的充要条件是，故选：B3．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，得到，即可求解.【详解】由题意，角的终边经过点，可得，根据三角函数的定义，可得，又由.故选：A.4．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用对数运算化简c，在利用指数函数的单调性比较即可.【详解】解：因为，，，所以.故选：D.5．若，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题意，令，则，，， 所以.故选：B.6．函数的零点所在的区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断函数的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在的区间，从而完成求解.【详解】函数可看成两个函数和组成，两函数在上，都是增函数，故函数在上也是单调递增的，所以，而，由零点存在性定理可得，函数零点所在区间为.故选：D.7．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.【详解】函数的定义域为，且，则函数为偶函数，故排除选项；又因为当时，，故排除选项，故选：.8．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得，根据在区间内单调，可得，进而可求解.【详解】由于函数为偶函数，故直线为函数图像的一条对称轴，所以，，则，，又，即，解得，又，，所以的最大值为4，当时，在单调递增，满足要求，故的最大值为4.故选：B 二、多选题9．已知函数下列说法正确的是（　　）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数在上单调递减D．图象右移个单位可得的图象【答案】BD【分析】根据正弦函数的对称性，可判定A错误，B正确；根据正弦函数的单调性，可判定C错误；根据三角函数的图象变换，可判定D正确.【详解】对于A中，令，可得，所以不是函数的对称中心，所以A错误；对于B中，令，可得，所以函数关于对称，所以B正确；对于C中，当，则，根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，所以C错误；对于D中，当向右平移个单位后可得，所以D正确.故选：BD.10．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（    ）A．a+c>b+c B．ac2≥bc2C． D．(a+b)(a-b)>0【答案】AB【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.【详解】对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；对于C，当c=0时，，C不正确；对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．故选：AB11．已知，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.【详解】因为，所以，则，因为，所以，，所以，故A正确；所以，所以，故D正确；联立，可得，，故B正确；所以，故C错误.故选：ABD.12．已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依次记为，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】作出函数的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A；结合对数函数性质可判断B；结合二次函数图象的性质可判断C；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数的图像如下：要使方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，转化为函数的图象与有四个不同的交点，由图象，得，故A正确；当时，，则，故C正确；当时，令，即，解得，，故B错误；∵，，∴，即，则，又，，∵，∴，故D正确，故选：ACD．【点睛】方法点睛：将方程有四个不同的零点问题转化为函数的图象与有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题. 三、填空题13．函数的定义域是__________.【答案】{|且}【分析】根据函数，由求解.【详解】因为函数，所以，解得，所以函数的定义域是{|且}，故答案为：{|且}14．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_______.【答案】【解析】首先设扇形弧长为，半径为，列方程求解，再利用扇形面积求解.【详解】设扇形弧长为，半径为， ，解得：，则扇形的面积.故答案为：【点睛】本题考查扇形面积的求法，意在考查基本公式，属于简单题型.15．若函数是R上的奇函数，且周期为3，当时，，则______.【答案】【分析】根据奇偶性和周期性，得到，，从而求出答案.【详解】函数是R上的奇函数，则，则，又因为的周期为3，所以，故，所以，，故.故答案为：16．已知函数，函数在区间上有两个不同解，则a的取值范围是___________．【答案】【分析】根据题意化简，利用换元法令，将函数转化为二次函数问题，求解即可.【详解】，，令，则有,根据对称性，函数在区间上有两个不同的解，等价于在区间有一个解，由于，对称轴为，故只需：，解得：.故答案为： 四、解答题17．（1）化简：；（2）求值：.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）利用诱导公式计算可得；（2）根据对数的性质及指数幂的运算法则计算可得.【详解】解：（1）；（2）.18．已知函数定义域为，集合.(1)求集合；(2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据对数型函数的性质即可求解根据一元二次不等式即可求解,（2）将充分不必要条件转化成集合的真子集的关系即可求解.【详解】（1）由题意知：，解得或.集合.对于集合B满足：.又.（2）若是的充分不必要条件，则集合是的真子集，由（1）知，只需满足或即可，解得或.综述，满足题意的的取值范围是.19．函数的部分图象如图所示：(1)求函数的解析式与单调递减区间；(2)求函数在上的值域．【答案】(1)，单调递减区间(2) 【分析】（1）根据图像即可写出，再由图像过即可求出其周期，则可求出，在将点带入，则可求出.由在区间上单调递减，则可求出的单调递减区间.（2）由.【详解】（1）观察图象得：，令函数的周期为T，则，由得：，而，于是得，所以函数的解析式是．由解得：，所以的单调递减区间是．（2）由（1）知，当时，，则当，即时，当，即时，，所以函数在上的值域是．20．已知函数，且为奇函数．(1)判断函数的单调性并证明；(2)解不等式：．【答案】(1)函数单调递减，证明见解析(2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得参数a的值，判断函数单调性，利用单调性定义可证明函数的单调性；（2）利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式.【详解】（1）因为函数，定义域为R，且为奇函数，则，得，当时， 对于任意实数x，，∴，即当时，为奇函数；为单调递减函数，证明：设，则  ，，即，，∴，即函数在定义域上单调递减；（2）因为在定义域上单调递减且为奇函数，由不等式可得，∴，∴，即的解集为.21．如图所示，ABCD是一块边长为4米的正方形铁皮，其中AMN是一个半径为3米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分可以利用．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一个长方形铁皮PQCR（其中P在上，Q、R分别在边BC和CD上）．设，长方形PQCR的面积为S平方米．(1)求S关于的函数解析式，并求出S的最大值；(2)若S取最大值时，求的值．【答案】(1)，S的最大值是4.(2)0或1 【分析】（1）利用，表达出矩形两边长，列出S关于的函数解析式，换元后，利用二次函数求出最大值；（2）在第一问基础上，求出此时或，从而求出.【详解】（1）延长RP交AB于点H，则，所以，所以，令，则，其中，所以，对称轴为，故当时，取得最大值，最大值为4（2）由（1）可知，此时或，当时，；当时，，所以的值为0或122．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.(1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；(2)若是“距”增函数，求的取值范围；(3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值.【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析(2)(3)当时，，当时，. 【分析】(1)根据定义检验即可；(2)由定义列不等式求的取值范围；(3)由条件结合定义列不等式求的范围，再求函数的最值.【详解】（1）对任意的，故是“1距”增函数；（2），又为“距”增函数，所以恒成立，因为，所以恒成立，所以，所以，故；（3）因为，其中，且为“2距”增函数，所以当时，恒成立，增函数，当时，，即恒成立，，解得，当时，，即恒成立，所以，解得，所以.令，则.①当时，即时，当时，②当时，即时，当时，综上，当时，当时，【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.