2022-2023学年河北省石家庄市二十二中高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市二十二中高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值

【详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3），

∴sinα，cosα，

∴sinα+cosα．

故选：A．

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后将的值代入计算即可求出值.

【详解】

故选：B

【点睛】诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简求值，一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→的三角函数→锐角的三角函数.

3．己知向量、满足，，，设与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】解：因为，，，

所以，

，

所以，

故选：C.

4．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值.

【详解】.

故选：B

【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

5．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.

【详解】由，得，

整理得，则，

因为，所以，

又由及正弦定理，得，化简得，

所以为等边三角形，

故选：B

6．已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（    ）

A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)

【答案】B

【详解】首先根据题意求出向量在方向上的投影为，再求投影向量即可.

【点睛】向量在方向上的投影，

因为投影向量与方向相同，，

所以向量在方向上的投影向量为.

故选：B

7．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（    ）

A． B．4 C．2 D．

【答案】A

【分析】将，，平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求.

【详解】将，，平移至同一个起点位置，如下图点位置，建立直角坐标系，

则，所以.

故选：A

8．在如图的平面图形中，已知,则的值为

A． B．

C． D．0

【答案】C

【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：如图所示，连结MN，

由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，

则，

由题意可知：

，，

结合数量积的运算法则可得：

.

本题选择C选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

二、多选题

9．已知平面向量，下列命题正确的有（    ）

A．若 ，则 B．若∥，∥，则∥，

C．若，则 D．

【答案】AD

【分析】对于A，由数量积的运算律化简计算判断，对于B，举例判断，对于C，举例判断，对于D，由向量的运算律和模的性质判断

【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，所以A正确，

对于B，若时，满足∥，∥，而∥不一定成立，所以B错误，

对于C，当，不共线时，仍满足，而不能得到，所以C错误，

对于D，，当且仅当共线同向时取等号，所以D正确，

故选：AD

10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．该图象对应的函数解析式为 B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调递减

【答案】AB

【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间，即可判断.

【详解】由图象可知，，即，所以，

又，可得，又因为，所以，

所以，故A正确；

当时，，

所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，

故函数的图象不关于点对称，故C错误；

当时，则，因为在上不单调，

所以函数在上不单调递减，故D错误．

故选：AB

11．在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有（    ）

A．是的充要条件 B．若，则一定是直角三角形

C．若，则 D．若，则为钝角三角形

【答案】ACD

【分析】A选项由余弦函数的单调性判断即可；B选项当和时均满足；C选项由余弦定理求得，再用倍角公式判断即可；D利用同角三角函数的基本关系及正、余弦定理判断即可.

【详解】对于A：由于在上为减函数且，知，

故是的充要条件，即A正确；

对于B：当时，，此时是直角三角形；

当时，，此时不是直角三角形，故B错误；

对于C：设，，

所以，，

故，即，又，，

所以，故C正确；

对于D：因为，则，即，

所以，又，所以，即为钝角，

故为钝角三角形，即D正确；

故选：ACD.

12．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论正确的是（    ）

A．与的夹角为 B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的夹角及向量的模的公式的坐标表示，结合向量的线性运算及向量的数量积的坐标表示即可求解.

【详解】由题意可知，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系如图所示，

因为正八边形ABCDEFGH，

所以,

作,则,

因为，

所以，

所以，

同理可得其余各点坐标：,  ,,,，

对于A，由，，得 ，

而，

所以与的夹角不为，故A错误

对于B，由，得，故B正确；

对于C，由，所以，故C正确；

对于D，由，得，故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可.

三、填空题

13．已知单位向量，的夹角为60°，与垂直，则k的值为________．

【答案】

【分析】根据题意，求出的值，由向量垂直的判断方法计算可得k的值，即可得答案．

【详解】根据题意，单位向量，的夹角为60°，则，

若与垂直，则，

解可得：；

故答案为：．

14．已知，且，则的值为___________.

【答案】/

【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】，

，又，

，

.

∴,

.

.

故答案为：.

15．在中，，若O为外接圆的圆心，则的值为__________．

【答案】10

【分析】作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案

【详解】过作，垂足分别为，

因为O为外接圆的圆心，

所以分别为的中点，

所以

,

故答案为：10

16．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为______.

【答案】

【分析】将面积之比表示关于的三角函数，从而可求的值.

【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，

故，故即，

故，所以即，

故或，因为，故，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足

（1）求角C的大小；

（2）若a=，b=c，求△ABC的面积

【答案】（1）；（2）16.

【解析】（1）利用正弦定理把中边统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出角C的值；

（2）利用余弦定理求出的值，再利用面积公式可求得结果

【详解】解：（1）∵，

∴由正弦定理有，      

∴，        

∵∴，             

∴．           

（2）由余弦定理        

∴   

∴∴          

∴

∴．

18．已知中是直角，，点是的中点，为上一点.

(1)设，，当，请用，来表示，.

(2)当时，求证：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）利用向量的线性运算求解；

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．

【详解】（1）∵，，点是的中点，

∴，

∴，

∵.

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，

∴点坐标为，

又∵，∴，∴，，

所以，，

所以，

∴.

19．已知向量，，函数．

(1)求的单调递减区间；

(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出的解析式，利用整体代入法求的单调递减区间；

（2）先根据图象变换求出的解析式，再求在上的值域．

【详解】（1）因为向量，，函数．

所以.

要求的单调递减区间，只需,

解得：，

即的单调递减区间为.

（2）把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，即.

因为，所以.

因为在上单增，在上单减，且时最小，；时，.

所以，即在上的值域为.

20．已知O为坐标原点，向量，点P是直线AB上的一点，且．

(1)若P点在y轴上，求的值；

(2)若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长．

【答案】(1)

(2)以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为，.

【分析】（1）利用向量的坐标运算及向量相等关系求出坐标关系，结合三角函数的诱导公式及同角三角函数的关系即可求解；

（2）根据向量的坐标运算及向量相等关系求出坐标关系，利用向量的共线的条件及向量的线性运算，结合同角三角函数的关系即可求解.

【详解】（1）由题意可知，设点，则

.

因为，

所以，即，于是有.

（2）设点，则

.

因为，

所以，即.

所以点.

由O，P，C三点共线知

所以，即，

因为，

所以.

所以,

,

所以以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为，.

21．已知函数．

(1)当时，求x的取值范围．

(2)在锐角中，，且，求取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的正弦展开式化简可得，再解三角不等式可得答案；

（2）由解得，，由正弦定理得得，再由的范围可得答案.

【详解】（1）

，

由得，可得，

解得，

所以x的取值范围是；

（2）由（1），在锐角中，

若，则，解得，

由解得，

由正弦定理得，

所以，

因为，所以，所以，

所以的取值范围为．

22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留整数）；

(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？

参考数据:.

【答案】(1)

(2)，∠ACB最大

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【详解】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.