2022-2023学年河北省石家庄市精英中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市精英中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.

【详解】根据向量的线性运算法则，可得.

故选：D.

2．已知向量，不共线，向量，，且，则的值为（    ）

A．1 B． C．1或 D．2

【答案】C

【分析】根据向量平行的定理可知，，即可列式求解.

【详解】因为，所以，

，所以，得，或，

故选：C

3．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】A

【分析】运用正弦定理求出，从而得到或，结合三角形大边对大角的性质即可得到.

【详解】因为，，，

所以由正弦定理可得，

因为在中，，所以或．

又因为，所以，所以．

故选：A

4．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，i为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据在复平面内对应的点写出对应的点的坐标，求出答案.

【详解】对应的点的坐标为，

因为在复平面内对应的点关于虚轴对称，

所以对应的点的坐标为，

故.

故选：B.

5．在中，已知向量与满足且，则为（    ）

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】根据表示方向上的单位向量，由条件得出的角平分线与BC垂直，再根据向量的数量积公式得，从而得出结果.

【详解】因为，故的角平分线与BC垂直，

即为以A为顶点的等腰三角形，

又，而B为三角形内角，底角，

故为等腰直角三角形.

故选：C

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（    ）

A． B．为直角三角形

C．若，则外接圆半径为5 D．若P为内一点，满足，则与的面积相等

【答案】C

【分析】AB选项，由正弦定理得到，并判断出三角形为直角三角形；C选项，由正弦定理求解外接圆半径；D选项，经过分析得到点在三角形的中线上，得到答案.

【详解】A选项，由正弦定理得，A正确；

B选项，由A知，故，故为直角三角形，B正确；

C选项，由B知，，因为，由正弦定理得，

故外接圆半径为，C错误；

D选项，取的中点，则，

因为，所以，

即点在三角形的中线上，故与的面积相等，D正确.

故选：C

7．若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用投影向量公式进行计算.

【详解】向量在向量上的投影向量为.

故选：A

8．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若，，，则（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】C

【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.

【详解】∵，，

∴，，

∴．

∵为锐角三角形，∴，∴．而，∴．

由余弦定理可得，∴，∴，

则．

故选：C

二、多选题

9．已知复数，则下列命题正确的是（    ）

A． B．复数的虚部为i

C． D．复数z的共轭复数在复平面上对应的点为

【答案】CD

【分析】AB选项，根据复数的除法法则计算出，判断出AB错误；C选项，根据模长公式求出答案；D选项，根据共轭复数的概念求解.

【详解】A选项，，故A错误；

B选项，复数的虚部为，B错误；

C选项，，C正确；

D选项，，故数z的共轭复数在复平面上对应的点为，D正确.

故选：CD

10．下列说法错误的是（    ）

A．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

B．若，则一定有使得

C．若，且，则和在上的投影向量相等

D．若，则与的夹角为

【答案】ABD

【分析】根据向量共线，数量积的几何意义，以及向量夹角和模的公式，即可判断选项.

【详解】A. 若与是共线向量，则与方向相同或相反，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故A错误；

B. 若，，时，不存在使得，故B错误；

C.根据投影向量的定义和公式，可知C正确；

D.由，两边平方后得，且，两边平方后得，

，，

所以与的夹角为，故D错误.

故选：ABD

11．如下图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则以下说法正确的有（    ）

A．恒有成立

B．若，，，则平行四边形ABCD的面积为

C．恒有成立

D．若，，则

【答案】ABC

【分析】利用向量的数量积公式可判定A、C、D选项，结合三角形面积公式可判定B项.

【详解】设，以其为基底，，

则，

故A正确；

由，

所以，，

故B正确；

，

故C正确；

由C项可得，

故D错误.

故选：ABC

12．已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若的面积为，则c的最小值为2

C．若，则的周长的最大值为6

D．若，，则满足条件的有且仅有一个

【答案】BC

【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得，即，

对于A选项，由余弦定理可得，

∵，∴，故A错误；

对于B选项，由题可知，∴，

由余弦定理可得，

∴，当且仅当时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；

对于C选项，，

因为，所以，所以，当时等号成立，

因为，所以，则的周长的最大值为6，故C正确；

对于D选项，由余弦定理可得，即，，

解得，则满足条件的有2个，故D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．已知点，，则与向量同方向的单位向量为_______．

【答案】

【分析】计算出，求出即为答案.

【详解】，其中，

则与向量同方向的单位向量为.

故答案为：.

14．如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE于点G，则的余弦值为_______．

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，为的夹角，利用向量夹角的余弦公式求出答案.

【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，

则，

，，，

为的夹角，

，，

.

故答案为：

15．如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角，进而测得，.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为___________米.

【答案】

【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中求解即可.

【详解】在中，因为，，

所以，又，所以，

即，解得；

在中，因为，，

所以，

即该宿舍楼的高度为米.

故答案为：.

16．点P是正方形外接圆圆O上的动点，正方形的边长为2，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，结合三角函数的有界性即可求解.

【详解】由题意知，圆O的半径为，

建立如图平面直角坐标系，，

得，

设，，则，

所以

，其中，

又，所以，

则，

即的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．当实数m取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件：

(1)是纯虚数；

(2)位于直线上；

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据复数的特征，列方程组求解；

（2）根据点在直线列方程求解；

【详解】（1）由已知得，解得，

即时，复平面内表示复数是纯虚数；

（2）由已知得，

解得或，

即或时，复平面内表示复数的点位于直线上；

18．已知，为单位向量，且，的夹角为120°，向量，．

(1)求；

(2)求与的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；

（2）先求得，再利用夹角公式求解.

【详解】（1）解：∵，为单位向量，且，的夹角为120°，

∴．

∴．

（2）设与的夹角为．

∵，

，

∴．

又∵，

∴，

∴与的夹角为．

19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．

(1)求角A；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理及得到，利用辅助角公式得到，结合求出答案；

（2）利用及化简得到，根据三角形为锐角三角形得到，从而得到的取值范围.

【详解】（1）由正弦定理得，

因为，

所以，

因为，所以，

故，即，，

因为，所以，

故，解得；

（2），

故，

因为为锐角三角形，所以，且，

因为，即，解得，

所以，，，

故.

20．如图，在平行四边形中，，，．

(1)若，求的值；

(2)若，，求边的长．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解；

（2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.

【详解】（1）在平行四边形中，，,

所以，

又，，，.

（2）设长为，

，

，或（舍去），即.

21．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2直线l与的边AB，AC分别相交于点D，E．设，，，．则θ与的边和角之间的等量关系下列哪个正确，并说明理由．

①；②．

【答案】①错误，②正确

【分析】设则，然后可得再根据向量的数量积的运算性质化简即可.

【详解】设则，

因为, 所以，

即，

所以，

即,

所以①错误，②正确.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算；

（3）利用数量积的几何意义．

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

22．如图，已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求B；

(2)若，，点D在边AC上，且在和上的投影向量的模相等，求线段BD的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；

（2）由（1）及已知可求得，，又由在和上的投影向量的模相等，知BD为的平分线，由角平分线定理得，再在和中应用正弦定理求解即可．

【详解】（1）∵，

∴由正弦定理可，

由余弦定理可得，

∴即，

∵，∴．

（2）由（1）知，

∴又，

∴，解得．∵，

∴，可得，

由可得，解得．

∵在和上的投影向量的模相等，

∴BD为的平分线，

由角平分线的性质知，即，解得，

在中，由正弦定理可得，∴，

在中，，

由正弦定理可得，即，解得．