2022-2023学年河北省石家庄市二十一中高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市二十一中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，则下列说法正确的是（　　）

A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i

C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.

【详解】∵，

∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.

故选：B

2．在ΔABC中,若 ,则=（   ）

A．6 B．4 C．-6 D．-4

【答案】C

【分析】向量的点乘，

【详解】,选C.

【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC的补角

3．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（    ）

A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度

D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度

【答案】B

【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.

【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，

接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；

若向左平移个单位长度，得到函数的图象；

故A错误，B正确；

C中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A也是错误的，故C错误；

D中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，故D错误.

故选：B

4．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由得，从而得，再求模长即可.

【详解】向量，，且，

所以，解得，所以，，

所以，

故选：B.

5．等于（备注：）（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.

【详解】

，

故选：C

6．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.

【详解】向量，的夹角为，且，，故可得，

则，，

设向量与向量的夹角为，故，又，故.

故选：D.

7．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是 D．是钝角三角形

【答案】B

【分析】用正弦定理即可判断A；用余弦定理可以判断D，再结合平面向量数量积的定义可以判断B；先用余弦定理确定A，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.

【详解】对A，由正弦定理可得正确；

对B，D，设，∴，A为钝角，，B错误，D正确；

对C，∵，则，∴，∴.

故选：B.

8．已知非零向量、满足，且，则的形状是（    ）

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.

【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，

由，可得的角平分线与垂直，

所以为等腰三角形，且，

且，

所以，又，

所以，

所以，

所以三角形为等边三角形．

故选：D．

二、多选题

9．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（    ）

A．复数z的虚部是 B．

C．复数z的共轭复数是 D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限

【答案】AC

【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共轭虚数的定义、复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.

【详解】，

复数z的虚部为，，，复数z的共轭复数对应的点位于第一象限，

故正确，错误，

故选：.

10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的最大值为2

C．在区间上单调递增

D．为偶函数

【答案】BC

【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论．

【详解】由图知，的最小正周期，则.

由，得.由，得，则，所以.

当时，，则单调递增.

因为，则不是偶函数，

故选：BC．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.

11．如图，在四边形中，，，，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．在上的投影向量为

C． D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.

【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，

又，，所以，

对于 A：，设 ，

因为三点共线，

所以，解得，所以，故选项A正确；

对于B：设的夹角为，因为，，

所以，所以，即，

所以在上的投影向量为 ，故选项B正确；

对于：由题意， ，故选项C正确；

对于D： ，则，

若，则，又因为，

所以，不满足，故选项D不正确.

故选：ABC.

12．对于，有如下命题，其中错误的是（    ）

A．若，则为锐角三角形

B．若，，，则面积为

C．P在所在平面内，若，则P是的重心

D．若，则为等腰三角形

【答案】AB

【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理得到角为钝角，从而判定A错误；利用正弦定理求得角有两解，从而得到角也有两解，进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B错误；利用三角形重心的向量公式可判定C正确；利用正弦定理角化边可得到D正确，从而确定错误的选项为AB.

【详解】若，，，，，故为钝角，故A错误；

，，，，故，

，所以或，所以或，

所以面积为或，故错误；

设的重心为，若，则

所以，重合，故C正确；

若，根据正弦定理角化边得到,从而,∴为等腰三角形，故D正确.

故选：

三、填空题

13．若,且三点共线,则＝______

【答案】10

【分析】先由三点坐标，写出向量与的坐标，再由向量共线即可得出结果.

【详解】因为，所以，，

又三点共线，所以与共线，

因此，解得.

故答案为10

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.

14．在锐角中，，，的面积为，__________．

【答案】2

【详解】分析：先可得出，再由面积公式：得出AB，再由∠A的余弦定理即可求出BC.

详解：由题得，，,故答案为2.

点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.

15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是________.

【答案】

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.

【详解】

，

当时，,,,当，即时，

∴在区间上的最大值为3，

所以使得不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是.

故答案为：

四、双空题

16．如图，平行四边形中，，，，，设，，用，表示______，______．

【答案】     ；    

【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.

【详解】空一：因为，

所以；

空二：因为，

所以，

因此，

因为，，，所以，

所以，

故答案为：；

五、解答题

17．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.

(1)求角的大小;

(2)若,的面积为,求的周长

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；

（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.

【详解】（1）    

由正弦定理得：

即：

（2）    

由余弦定理得：

    的周长

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.

18．已知两个非零向量与不共线，

(1)若，求证：A､B､D三点共线；

(2)试确定实数k，使得与共线；

(3)若，且，求实数的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；

（2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；

（3）由向量垂直的坐标表示求解即可

【详解】（1）∵，

∴，

∴共线，

又∵它们有公共点B，

∴A､B､D三点共线；

（2）∵与共线，

∴存在实数，使，

即，∴，

∵是两个不共线的非零向量，

∴，

∴，解得；

（3）∵，

且，

∴，

解得.

19．复数，其中为虚数单位．

(1)求及；

(2)若，求实数，的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；

（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.

【详解】（1）∵，

∴．

（2）由（1）可知，

由，得：，

即，∴，解得

20．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．

【答案】（1），（2），时

【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；

（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．

【详解】解：（1），

，

，

，

故的最小正周期；

（2）由可得，，

当得即时，函数取得最小值．所以，时

21．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.

（1）若，求的值；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；

（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.

【详解】（1），

，，因此，；

（2）设，

再设，则，即，

所以，，解得，所以，

因此，.

【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.

22．某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所．其中，，，，为运动小道（不考虑宽度），，，千米．

（1）求小道的长度；

（2）设，试用表示的面积，并求为何值时，球类活动场所的面积最大值，并求出最大值．

【答案】（1） （2）球类活动场所的面积最大值为

【分析】（1）连接，在中由余弦定理得的值，在中，求解的值即可.

（2）设，在中，由正弦定理求解、，表示，然后求解最大值.

【详解】（1）如图，连接

在中，，

由余弦定理得：

又

又

在中，

（2）设

在中，由正弦定理可知：

，

当时，取得最大值为

即球类活动场所面积的最大值为