2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数的乘除运算化简，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可.

【详解】由题意，，

所以对应的点的坐标为.

故选：B.

2．在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用余弦定理计算即可.

【详解】，

∵，∴.

故选：C

3．平面向量，共线的充要条件是（    ）

A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量

C．， D．存在不全为零的实数，，

【答案】D

【解析】根据，共线的定义得到向量，共线的充要条件

【详解】由，共线的定义，

若，均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；

若，则由两向量共线知，存在，使得，

即，符合题意.

故选:D.

【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.

4．如图，在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.

【详解】.

故选：D

5．空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（    ）

A．直线平行于平面 B．直线在平面内

C．直线与平面交于一点 D．直线和共面

【答案】C

【分析】根据线面平行及两直线平行得到与平面平行或直线在平面内，根据，可得直线和共面，从而判断出答案.

【详解】因为，所以与平面平行或直线在平面内，AB正确，C错误；

因为，所以直线和共面，D正确.

故选：C

6．如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，某同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了四种测量方案：（△的角，，所对的边分别记为，，）

①测量，，

②测量，，

③测量，，

④测量，，

则一定能确定，间距离的所有方案的序号为

A．①②③ B．②③④

C．①③④ D．①②③④

【答案】A

【详解】已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；

已知两边及夹角，可以确定三角形，故②正确；

已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能一个、两个或无解，

故④错误；

故选：A.

7．如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ）

A．三点 共线，且

B．三点不共线，且

C．三点共线，且

D．三点不共线，且

【答案】A

【分析】利用平面基本事实证明点O在直线 上，再借助正方体性质说明可得线段比例式，即可求得答案.

【详解】在正方体中，连接 ，如图，

，故共面，

连接 ，平面平面，

因为M为棱 的中点，则平面，

而平面，即平面，又，则平面，

因AM与平面 的交点为O，则平面，

于是得，即三点共线，

由，为棱的中点，可得且，故 于是得，即 ，

所以三点共线，且.

故选：A

8．已知向量，，，那么下列结论正确的是

A．与为共线向量 B．与垂直

C．与的夹角为钝角 D．与的夹角为锐角

【答案】B

【分析】由题意求得，再根据向量共线和垂直的坐标表示即可判断A，B，根据数量积即可判断C，D．

【详解】解：∵，，，

∴，

∵，则与不是共线向量，

∵，则与垂直，

∵，则与的夹角为锐角，

∵，则与的夹角为钝角，

故选：B．

【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量数量积的应用，属于基础题．

9．已知菱形边长为1，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的数量积公式结合几何图形性质计算即可.

【详解】

∵，由菱形的几何性质可得：AB=BD=DC=1，，

故.

故选:D

10．在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为(    )

A．1 B． C． D．与点的位置有关

【答案】B

【分析】作出图像，观察可知，点P到平面的距离是到平面距离的，为定值，据此即可求出体积.

【详解】∵，

∴点P到平面的距离是到平面距离的，即为＝1.

，

＝××1＝.

故选：B.

11．现有下列五个结论：

①若、，则有；

②对任意向量、，有；

③对任意向量、，有；

④对任意复数，有；

⑤对任意复数，有．

以上结论中，正确的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】根据复数四则运算法则及模长的运算对选项逐一判断.

【详解】①根据绝对值的运算法则可知，、，则有成立，故①正确；

②对任意向量、，有，故②错误；

③对任意向量、，有，故③正确；

④对任意复数，则有，故④错误；

⑤对任意复数，，，故有.故⑤正确.

故选：B

12．如图，在长方体中，，，E，F，G分别为的中点，点P在平面ABCD内，若直线平面，则线段长度的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意和面面平行的判定，可得平面平面，所以点P在直线上，当时，线段的长度最小，由三角形等面积法可得结果.

【详解】如图，连接，

因为E，F，G分别为的中点，

所以平面，则平面，

因为，所以同理得平面，

又，得平面平面，

因为直线平面，

所以点P在直线上，在中，

有，

所以，

故当时，线段的长度最小，

有

故选：D

【点睛】本题考查了面面平行的判定定理和三角形的等面积法求高，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

二、填空题

13．若复数为纯虚数，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解.

【详解】由题意，复数为纯虚数，则满足，解得，

即实数的值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了复数的概念及分类，其中解答中熟记复数的概念，列出方程组是解答的关键，着重考查计算能力，属于基础题.

14．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则________．

【答案】/5.5

【分析】设方格边长为单位长，写出的坐标，根据已知列方程求参数即可.

【详解】设方格边长为单位长，在直角坐标系内，

由得：即

所以，解得，所以.

故答案为：

15．在中，，，，则长为__________．

【答案】5或1

【分析】由余弦定理求出即可

【详解】由余弦定理得，即，

解得或1

故答案为：5或1

16．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：

小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级__________．（只填入雨水等级所对应的序号）

【答案】中雨

【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解.

【详解】设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得，

所以积水厚度为，所以.

所以一天的雨水属于中雨.

故答案为：中雨.

17．如图所示，在正方体中，点是边的中点，动点在直线（除、两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是__________．（写出满足条件的所有顶点）

【答案】

【分析】选取正方形八个顶点中的一个与构成一个平面，只需该平面与有交点即可.

【详解】由题意知，平面必定经过正方形的顶点.

下面分析正方体除点外的顶点，满足题意的正方体的顶点与确定的平面必然与直线相交，且交点不为，显然顶点都不符合题意.

现在分析顶点，如下图1：

连接，设.连接.因为为的中点，所以，又平面，所以，故不符合题意；

根据正方体的特征，并且结合下面的图2和图3可知，平面、平面分别和直线相交与，所以符合题意；

综上，平面可能经过的该正方体的顶点是，

故答案为：.

18．如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出，，根据二次函数性质即可求的最小值．

【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，

则，，，

设点坐标为，则，，，

∴，

∴当时，，

故答案为：．

三、解答题

19．已知、、是同一平面内的三个向量，其中．

(1)若，且与反向，求的坐标；

(2)若，且与垂直，求与的夹角．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由向量反向设出，根据数乘的概念即可求出，即可求；（2）根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可以求与的夹角.

【详解】（1）因为与反向，设，，

，

所以.

所以.

（2）

，又因为，

.

20．在中，角的对边分别为．已知，；

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)若，求．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意得到，利用正弦定理和，即可求得的值；

（2）求得，结合，即可求解；

（3）由，求得和，结合正弦定理，即可求解.

【详解】（1）解：因为且，可得，

由正弦定理且，

可得，可得.

（2）解：因为，所以，

所以.

（3）解：因为，所以,

又因为，

所以，

因为，由正弦定理，可得.

21．设的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角的大小；

(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．

第①组条件：，；

第②组条件：边上的高，；

第③组条件：，．

【答案】(1)

(2)选①不符合题意；选②；选③

【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；

（2）选①利用余弦定理可求出边，可判断不满足题意；选②先利用高和角列式可求出，然后利用余弦定理可求出边，进而求出面积；选③先求，然后利用正弦定理求出边，再结合两角和的正弦公式求，进而可求出面积.

【详解】（1）因为，所以由正弦定理得,

又因为，所以，所以，

显然，则，

又因为，所以.

（2）若选①，由余弦定理得，即，即，

解得或，不符合题意；

若选②，因为边上的高，所以，则，

由余弦定理得，即，即，

解得（舍去），

故唯一，符合题意，

此时的面积；

若选③，因为知道角，，边，所以唯一，符合题意，

因为，，所以，

由正弦定理得，

则，

此时的面积.

22．（1）如图，在三棱柱中，是的中点．求证：平面；

（2）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，点在上，且．求证：平面．

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.

【分析】（1）运用线线平行证明线面平行即可.

（2）运用面面平行判定定理证得面面，再运用面面平行性质可证得结果.

【详解】（1）如图所示，

证明：连接交于点G，连接DG，

则G为的中点，

又因为D为的中点，

所以，

又因为面，面，

所以面.

（2）如图所示，

证明：取AF的中点H，连接CH、MH，

又因为E为PC的中点，，M为AB的中点，

所以，，

又因为面，面，面，面，

所以面，面，

又因为，、面，

所以面面，

又因为面，

所以面.