2022-2023学年四川省峨眉第二中学校高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年四川省峨眉第二中学校高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．在平行四边形ABCD中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量加减法规则求解.

【详解】

如图，根据平面向量的加法规则有：  ；

故选：D.

2．设，其中a、b为实数，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用复数的加减运算及复数相等的概念计算即可.

【详解】因为a，，，所以，，解得，．

故选：C

3．下列函数为偶函数且在 上为减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的性质逐项分析.

【详解】对于A， 是奇函数；

对于B， 是奇函数；

对于C， 是偶函数，并且在 时是减函数；

对于D， 是偶函数，但在 时是增函数；

故选：C.

4．已知、、三点共线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出、，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.

【详解】因为、、，则，，

因为、、三点共线，则，所以，即．

故选：C.

5．已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形

【答案】D

【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，得到，即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得，

又因为，可得，

所以，

因为，可得，所以，

又因为，所以，所以为钝角三角形.

故选：D.

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数单调性结合中间值即可比较大小.

【详解】因为函数在上单调递增，

所以，

因为函数在上单调递减，

所以，

因为函数在上单调递增，

所以，

所以，即.

故选：A

7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】B

【分析】确定，，根据正弦定理得到，解得答案.

【详解】，，，，

则，即，，

故选：B

8．已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可.

【详解】∵是关于的方程（，）的一个根，

∴（，），化简得，

∴，解得，

∴，

如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和，

则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为，

若，则，

∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆，

∴围成的面积为.

故选：A.

9．已知复数，，则（    ）

A． B．的共轭复数为

C．复数对应的点位于第二象限 D．复数为纯虚数

【答案】AD

【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.

【详解】因为，，则，，故A正确；

的共轭复数为，故B错误；

，复数对应的点位于第四象限，故C错误；

为纯虚数，故D正确．

故选：AD.

二、多选题

10．在△ABC中，，，，，E为AC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用向量的线性运算可得AB选项正误；利用向量的数量积公式可得CD选项正误.

【详解】因为，所以，故A错误；

由向量加法的三角形法则，可得，

故B正确；

由数量积公式得：

，故C错误；

，故D正确．

故选：BD

11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】ABC

【分析】由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果.

【详解】由正弦定理得，则，又，

且满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，所以，

故．

故选：ABC．

12．已知函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．既是周期函数又是奇函数

D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】利用对称性的的定义判断AB，由奇偶性的定义判断C，把函数式化简变形，利用换元法、函数性质、不等式性质判断D．

【详解】因为，所以的图象关于直线对称，A正确；

因为，所以的图象关于点对称，B正确；

，所以C错误；

令，

，

则当时，，当时，，时，，时，由勾形函数性质知，时取等号，再由不等式的性质知，当1时，取得最大值，D正确.

故选：ABD．

三、双空题

13．函数的最小正周期为__________，最小值为__________.

【答案】         

【分析】利用正弦函数的性质求解．

【详解】的最小正周期，最小值为－3.

故答案为：；．

四、填空题

14．已知函数的图象关于点对称，则__________.

【答案】/

【分析】由正切函数的图象关于点对称求解．

【详解】因为的图象关于点对称，

所以，所以，

因为，所以.

故答案为：．

15．已知M为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，B关于点C的对称点为D，若，则________．

【答案】

【分析】以为基底，利用A，B，M三点共线求解.

【详解】

因为A关于点O的对称点为C，所以， ， ，

又B关于点C的对称点为D，所以，

又，所以，

因为A，B，M三点共线，所以，即 ；

故答案为：

16．如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，，，现过点建一条直路分别交正方形区域两边，于点和点，若对五边形区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________．

【答案】

【分析】设和的长，使的面积最小，即可使五边形面积最大.

【详解】设，，（，），

∵， ，∴，

∴的面积为，

的面积为，

∵的面积，∴，即

∵，，

∴由基本不等式得，解得，即，

当且仅当，即，时，等号成立，

∴的面积的最小值为，

∴五边形面积的最大值．

故答案为：.

五、解答题

17．已知复数.

(1)若为实数，求的值；

(2)若为纯虚数，求的值；

(3)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)2

(3)

【分析】若为实数，则虚部为0，列出方程求解即可；

若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列出方程组求解即可；

若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列出不等式组求解即可。

【详解】（1）若为实数，则虚部为0，

所以，

解得或

（2）若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，

所以解得

（3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，

所以解得

18．已知平面向量，，，且．

(1)求的坐标；

(2)求向量在向量上的投影向量的模．

【答案】(1)

(2)

【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义和坐标运算规则求解.

【详解】（1）设，因为 ，所以，又，

解得，，所以；

（2），所以，

则向量在向量上的投影向量的模为；

综上，，向量在向量上的投影向量的模为5.

19．已知角的始边为轴非负半轴，终边过点.

(1)求的值；

(2)已知角的始边为轴非负半轴，角和的终边关于轴对称，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角函数定义得值，然后由诱导公式化简后代入计算；

（2）写出关系，由诱导公式二倍角公式求得，待求式由诱导公式变形，再由两角差的余弦公式变形后代入计算．

【详解】（1）由题可知，则.

；

（2）由题可知，

由（1）可知，

所以

．

20．赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知．

(1)证明：F为AD的中点；

(2)求向量与夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由得，再根据全等三角形性质可得，从而可得，继而得出E为CF的中点，F为AD的中点，从而得证.

（2）设，由向量的线性运算可得，分别求出的值，由向量与夹角的余弦值为得出结论.

【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理得．

又因为，所以，

所以，即E为CF的中点，所以F为AD的中点.

（2）设，，

所以，则，

所以．

又，

所以向量与夹角的余弦值为．

21．如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，，求△ACD的面积；

(2)若，，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解；

（2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.

【详解】（1）在中，，

因为，所以，

所以的面积；

（2）设， ，则，．

在中，，则，

在 中，，则，

所以，

当时，取得最大值；

综上，的面积为 ，的最大值.

22．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)将函数图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上无零点，求正数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图中的点的坐标求出参数值即可求出函数解析式；

（2）先通过图象变换求出函数解析式，然后利用函数无零点建立不等式关系即可求解.

【详解】（1）因为，可得，

因为在处附近单调递增，所以，

所以，

因为，所以

因为在处附近单调递减，且当时，在处的第一次取值为，

所以，可得.

即.

（2）将图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到的图象，

再把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，

则，

由在区间上无零点可得，解得，

因为，所以，

则，，解得，，

由，可得，即正数的取值范围为.