2022-2023学年四川省自贡市第一中学校高一下学期6月月考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省自贡市第一中学校高一下学期6月月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 1−2iB. 1+2iC. 2−iD. 2+i
2.已知向量a=2,3，b=−1,λ，若向量a与向量b共线，则λ=( )
A. −3B. −32C. 32D. 3
3.下列说法中不正确的是
( )
A. 向量的模可以比较大小
B. 平行向量就是共线向量
C. 对于任意向量a,b，必有|a⋅b|≤|a|⋅|b|
D. 对于任意向量a,b，必有|a+b|≥|a|+|b|
4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学成绩统计的折线图如图，则下列说法正确的是
( )
A. 若甲、乙两组成绩的平均数分别为x1，x2，则x1>x2
B. 若甲、乙两组成绩的方差分别为s12，s22，则s12>s22
C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
5.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为3,−4，则z+z4+3i=( )
A. 5+iB. 5−iC. 3−iD. 4
6.已知csα=17，csα+β=−1114，且α，β∈0,π2，则β=( )
A. −π6B. π6C. −π3D. π3
7.在▵ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，▵ABC外接圆圆心为O，则AO⋅AB=( )
A. 8B. 252C. 8 3D. 18
8.如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB⌢上一点，且∠AOB=3π4，若OC=xOA+yOB，则x+ 2y的最大值是
( )
A. 1B. 52C. 10D. 4
9.已知平面向量|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为π3，则
( )
A. a·b= 1B. a−b⊥b
C. |a−b|= 3D. b在a上的投影向量的模为32
10.为提高生产效率，某汽车零件加工厂的甲乙两个车间进行比赛，下表是对甲乙两个车间某天生产零件个数的统计，根据表中数据分析得出的结论正确的是( )
A. 甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同
B. 甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大
C. 乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数(这一天生产零件个数⩾150个为优秀)
D. 甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是
( )
A. a=7，b=14，A=30°，有两解
B. a=30，b=25，A=150°，有一解
C. a= 3，b= 6，A=60°，无解
D. a=6，b=9，A=45°，有两解
12.已知f(x)=1−2cs2(ωx+π3)(ω>0)，下面结论正确的是( )
A. 若f(x1)=1，f(x2)=−1，且|x1−x2|的最小值为π，则ω=2
B. 存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C. 若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是[4124,4724)
D. 若f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围是(0,23]
13.复数z=i1+2i，则z+z= ．
14.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层随机抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为 ．
15.若两个非零向量a，b满足a+b=a−b=2a，则a−b与a的夹角为 ．
16.据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，预计台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 ．
17.已知a,b,c分别为▵ABC内角A,B,C 的对边，且sinBcsA= 3ba．
(1)求角A；
(2)若a= 7,b=2，求c．
18.树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数认可系数=认可程度平均分100不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值和第60百分位数；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在60,70的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
19.已知向量a→=(2,0)，b→=(1, 3)．
(1)设k∈R，求2a−kb的最小值；
(2)若向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
20.如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处．
(1)已知在t(min)时点P距离地面的高度为f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|≤π2)，求t=2020时，点P距离地面的高度；
(2)当离地面(50+20 3)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌．
21.在条件①：c=7，csA=−17：条件②：csA=18，csB=916这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a+b=11，若________．
(1)a的值；
(2)sinC和▵ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22.已知f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x.
(1)若f(x)=12，求sin(4x+5π6)的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数y=h(x)的图象，若函数y=h(x)+k(sinx+csx)+5在x∈[0,π2]上有4个零点，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算，是较易题．
利用复数的除法运算化简求值即可．
【解答】
解：由 (1−i)z=3−i ，
得 z=3−i1−i=(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i2=2+i ，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
根据向量共线的坐标关系得 2×λ−3×−1=0 ，解方程即可得答案．
【解答】
解：根据题意得 2×λ−3×−1=0 ，解得 λ=−32 ．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积的概念及其运算，和向量的模的运算，属于基础题
根据平面向量的模、平行向量、共线向量的定义即可判断AB；根据平面向量数量积的定义即可判断CD．
【解答】
解：A：向量的模表示向量的长度，为数量，是可以比较大小的，故A正确；
B：平行向量就是共线向量，故B正确；
C：由 a⋅b=abcsa,b ， csa,b∈[−1,1] ，
得 |a⋅b|=|a|⋅|b|⋅|cs ⟨a,b⟩|⩽|a|⋅|b| ，故C正确；
D： a+b2=a2+2a⋅b+b2 ， (a+b)2=a2+2a⋅b+b2 ，
又 a⋅b=a⋅bcsa,b≤a⋅b ，所以 a+b≤ a+b ，故D错误．
故选：D．
4.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，由平均数的计算公式以及方差的计算公式结合极差的定义对四个选项逐一判断即可．
【解答】
解：由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都高于乙同学，所以x1−>x2−，故选项A正确；
由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，
所以s12极差为数据样本的最大值与最小值的差，
所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项C错误．
故选：AD．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和几何意义，属于中档题．
由复数的几何意义与四则运算求解．
【解答】
解：由题意得 z=3−4i ，
则 z= 32+42=5,z+z4+3i=5+(3−4i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−i ，
故选：B
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查两角差的余弦公式，属于中档题．
根据已知得 sinα+β=5 314 、 sinα=4 37 ，再由 csβ=cs[(α+β)−α] 及角的范围即可求角的大小．
【解答】
解：由 0<α<π2,0<β<π2 ，则 0<α+β<π ，
又 csα+β=−1114<0 ，故 π2<α+β<π ，
所以 sinα+β=5 314 ，而 csα=17 ，则 sinα=4 37 ，
csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=−1198+6098=12 ，
又 0<β<π2 ，则 β= π3 ．
故选：D
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量数量积运算，属于基础题．
由外心性质化简后计算，为基础题．
【解答】
解：由题意▵ABC外接圆圆心为O，根据三角形外接圆圆心为三边中垂线的交点，
故 AO⋅AB=12AB2=8 ．
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积运算，属于中档题．
由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．
【解答】
解：如图所示，以 OB 为 x 轴，过 O 作与 OB 垂直的线作为 y 轴，
∵∠AOB=3π4 ， OA=1,OB=1 ， ∴A− 22, 22,B1,0 ，
设 Ccsθ,sinθ ， θ∈0,3π4 ， OC=(cs θ,sin θ)=x(− 22, 22)+y(1,0)=(− 22x+y, 22x)
∴csθ=− 22x+ysinθ= 22x∴x= 2sinθy=csθ+sinθ
∴x+ 2y= 2sin θ+ 2(cs θ+sin θ)
=2 2sin θ+ 2cs θ= 10sin (θ+φ)，
其中tanφ=12，
∴sinθ+φ=1 时， x+ 2y 取得最大值是 10 ．
故选：C．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的数量积的概念及其运算，向量的数量积与向量的垂直关系，投影向量，利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．
根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断．
【解答】
解：对于A：a⋅b=a⋅bcsπ3=1×2×12=1，故 A正确；
对于B：∵a−b⋅b=a⋅b−b2=1−4=−3≠0，
∴a−b与b不垂直，故 B错误；
对于C：∵|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=1−2+4=3，
∴|a−b|= 3，故 C正确；
对于D：b在a上的投影向量的模为bcsπ3=2×12=1，故 D错误．
故选：AC．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数、方差，属于基础题．
根据表格数据，对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：根据表格数据可知，甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同，故A正确；
因为191>110，所以甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大，故B正确；
因为甲的中位数小于乙的中位数，且平均数、参加人数相同，
所以乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数(这一天生产零件个数≥150个为优秀)，故C正确；
由表格数据求不出甲、乙的众数，故D错误．
故选：ABC．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
各项利用正弦定理求出sinB的值，根据三角形的边角关系，以及正弦函数的性质即可做出判断．
此题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
【解答】
解：A、∵a=7，b=14，A=30°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=14×127=1，
∵B为三角形的内角，∴B=π2，
则三角形只有一解，错误；
B、∵a=30，b=25，A=150°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=25×1230=512，
∵b∴B只有一解，正确；
C、sinB= 6sin60° 3= 62>1，无解，正确；
D、∵a=6，b=9，A=45°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=9× 226=3 24>1，
无解，错误．
故选BC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
先将f(x)化简，对于A，由条件知，周期为2π，然后求出ω；对于B，由条件可得−ωπ3+π6=π2+kπ(k∈Z)，然后求出ω=−1−3k(k∈Z)，即可求解；对于C，由条件，得7π2ω−π12ω≤2π<4πω−π12ω，然后求出ω的范围；对于D，由条件，得−ωπ3+π6≥−π2ωπ2+π6≤π2，然后求出ω的范围，再判断命题是否成立即可．
本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的图象变换，考查了转化思想和推理能力，属于难题．
【解答】
解：∵f(x)=1−2cs2(ωx+π3)=−cs(2ωx+2π3)=sin(2ωx+π6)，
∴周期T=2π2ω=πω．
A.由条件知，周期为2π，
∴w=12，
故A错误；
B.函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为y=sin(2ωx−ωx3+π6)，
其图象关于y轴对称，则−ωπ3+π6=π2+kπ(k∈Z)，
∴ω=−1−3k(k∈Z)，
故对k=−1，存在ω=2∈(1,3)，
故B正确；
C.由f(x)=sin(2ωx+π6)且f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，
可得7π2ω−π12ω≤2π<4πω−π12ω，
∴4124⩽ω<4724，
故C正确；
D.由条件，得−ωπ3+π6≥−π2ωπ2+π6≤π2，
∴ω⩽23，
又ω>0，
∴0<ω⩽23，
故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】45
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
首先把复数z化简，然后计算z+z即可．
【解答】
解：z=i1+2i=i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=i+25=25+15i，z=25−15i，
则z+z=45
14.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样的应用，属于基础题．
根据每个个体被抽到的可能性，乘以甲组的城市数计算．
【解答】
解：每个个体被抽到的可能性为624=14，
所以甲组中应抽取的城市数为4×14=1，
故答案为1．
15.【答案】π3
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于中档题．
由向量和与差的模相等可确定向量 a 、 b 相互垂直，且得到 b2=3a2 ，最后运用向量夹角公式求解即可．
【解答】
解：设向量 a−b 与 a 的夹角为 θ ，
因为 a+b=a−b=2a ，
则 a+b2=a−b2=4a2 ，
变形得 a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b=4a2 ，
所以 a⋅b=0 且 b2=3a2 ，
则 a−b⋅a=a2=a2 ，
故 csθ=a−b⋅aa−ba=a22a×a=12 ，
又 0≤θ≤π ，则 θ=π3 ．
故答案为： π3 ．
16.【答案】2.5小时
【解析】【分析】
本题考查余弦定理及一元二次不等式解法，属于中档题．
B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则BC=40t，由AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs60∘≤3502即可求解；
【解答】
解：如图，
A是该市所在位置，B是台风中心在13日5时的位置，
设台风运动t小时后的位置为C，则BC=40t，
又∠ABC=60∘，AB=400，
所以AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs60∘=4002+(40t)2−400×40t，
由AC2=4002+(40t)2−400×40t≤3502，解得154≤t≤254，
254−154=2.5(小时)．
故答案为：2.5小时．
17.【答案】解：(1)由正弦定理及 sinBcsA= 3ba ，得 sinBcsA= 3sinBsinA ．
∵sinB≠0,∴sinA= 3csA ，即 tanA= 3 ，
∵0(2)∵a= 7,b=2,A=π3 ，
∴ 由余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA ，
可得： 7=4+c2−2×2×c×12 ，可得： c2−2c−3=0 ，
∴ 解得 c=3 或 c=−1 (负值舍去)．
∴ c=3 ．

【解析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题．
(1)直接通过正弦定理得到 tanA= 3 ，即可求出角A；
(2)直接余弦定理求解即可．
18.【答案】解：(1)由图可知： 10×x+0.015+0.02+0.03+0.025=1 ，
解得 x=0.01 ．
因为， [50,80) 内的频率为 0.1+0.15+0.2=0.45<0.6 ， [50,90) 内的频率为 0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6 ，
所以，第60百分位数位于区间 [80,90) 内，设为 m ，
则 m=80+0.6−0.450.3×90−80=85 ，
所以，第60百分位数为85．
(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为 0.1:0.15:0.2=2:3:4 ，
则应选取评分在 60,70 的学生人数为： 30×32+3+4=10 (人)．
(3)由图可知，认可程度平均分为：
x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85 ，
所以，“美食”工作需要进一步整改．

【解析】本题主要考查了对频率分布直方图的理解，以及分析直方图的能力，属于中档题
(1)根据频率分布图，求得 x=0.01 .然后推得第60百分位数位于区间 [80,90) 内，即可根据第 p 百分位数的求法，得出答案；
(2)根据分层抽样，即可求得评分在 60,70 的学生人数；
(3)根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案．
19.【答案】解：(1)由题意得： 2a−kb=2(2,0)−k(1, 3)=(4−k,− 3k) ，
所以 2a−kb= (4−k)2+(− 3k)2= 4k2−8k+16= 4(k−1)2+12
所以当 k=1 时， 2a−kb 取得最小值为 2 3 ．
(2)由于 ta+b=t(2,0)+(1, 3)=(2t+1, 3) ， a+tb=(2,0)+t(1, 3)=(2+t, 3t) ，向量 ta+b 与向量 a+tb 的夹角为钝角，
所以 (ta+b)⋅(a+tb)<0 ，且向量 ta+b 与向量 a+tb 不能共线，即 t≠±1，
即 (2t+1)(2+t)+ 3× 3t=2t2+8t+2<0，且t≠±1，
所以 −2− 3故实数t的取值范围为： (−2− 3,−1)∪(−1,−2+ 3)．

【解析】本题考查向量模的坐标表示，利用向量数量积的坐标运算求向量夹角，属于中档题．
(1)由平面向量的坐标计算即可．
(2)由题意可得 (ta+b)⋅(a+tb)<0 ，且向量 ta+b 与向量 a+tb 不能共线，即 t≠±1，即可求解．
20.【答案】解：(1)依题意知，A=40，h=50，T=3，
由T=2πω=3，解得ω=2π3，
所以f(t)=40sin(2π3t+φ)+50．
因为f(0)=10，所以sinφ=−1，
又|φ|≤π2，所以φ=−π2．
所以f(t)=40sin(2π3t−π2)+50(t≥0)，
所以f(2020)=40sin(2π3×2020−π2)+50=70．
即t=2020时点P距离地面的高度为70m．
(2)由(1)知f(t)=40sin(2π3t−π2)+50=50−40cs2π3t(t≥0)．
令f(t)>50+20 3，即cs2π3t<− 32，
解得2kπ+5π6<2π3t<2kπ+7π6(k∈N*)，
即3k+54又3k+74−(3k+54)=12=0.5(k∈N*)，
所以转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌．
【解析】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了数学建模与应用问题，是中档题．
(1)由题意求出A、h、T和ω、φ的值，得到f(t)的解析式，计算f(2020)的值即可．
(2)令f(t)>50+20 3，求出t的取值范围即可得解．
21.【答案】解：选择条件①(1)∵c=7，csA=−17，a+b=11，
∵a2=b2+c2−2bccsA，∴a2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)，
∴a=8；
(2)∵csA=−17，A∈(0,π)，∴sinA= 1−cs2A=4 37，
由正弦定理得：asinA=csinC，∴84 37=7sinC，∴sinC= 32，
S=12basinC=12(11−8)×8× 32=6 3；
选择条件②(1)∵csA=18，csB=916，A,B∈(0,π)，
∴sinA= 1−cs2A=3 78，sinB= 1−cs2B=5 716，
由正弦定理得：asinA=bsinB，∴a3 78=11−a5 716，∴a=6；
(2)sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA=3 78×916+5 716×18= 74，
S=12basinC=12(11−6)×6× 74=15 74．

【解析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式应用，属中档题．
选择条件①，
(1)利用余弦定理a2=b2+c2−2bccsA进行列式，结合a+b=11，可得出关于a的方程，可解出a的值，
(2)再利用同角三角函数的平方关系结合三角形的面积公式可求得结果；
选择条件②，
(1)求出sinB、sinA的值，利用正弦定理结合a+b=11求得a的值，
(2)利用两角和的正弦公式求出sinC的值，再利用三角形的面积公式可求得▵ABC的面积．
22.【答案】 解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x
= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)
若f(x)=12，即sin(2x+π6)=14，
则sin(4x+5π6)=cs(4x+π3)=cs2(2x+π6)=1−2sin2(2x+π6)=1−2×(14)2=78．
(2)易知h(x)=2sin2x，根据题意，设t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
因为x∈[0,π2]，所以π4≤x+π4≤3π4，
所以 22≤sin(x+π4)≤1，所以1≤t≤ 2，
所以原方程变为kt+2(t2−1)+5=2t2+kt+3=0，1≤t≤ 2，
令g(t)=2t2+kt+3，1≤t≤ 2
因为原方程有4个零点，而方程t= 2sin(x+π4)在x∈[0,π2]至多两个根，
所以1≤t< 2，且g(t)在1≤t< 2有两个零点，
则g(1)=2+k+3⩾01<−k× 22< 2Δ=k2−4×2×3>0g( 2)=2( 2)2+ 2k+3>0,
解得−7 22【解析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，函数的零点与方程的根之间的关系，属于较难题．
(1)先化简求得 f(x) 的解析式，根据 f(x)=12 ，求得 sin (2x+π6) 的值，进而求得 sin (4x+5π6) 的值；
(2)先求得 y=h(x) ，根据函数 y=h(x)+k(sin x+cs x)+5 在 x∈[0,π2] 上有4个零点，可求得实数 k 的取值范围．