2022-2023学年四川省峨眉第二中学校高二上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省峨眉第二中学校高二上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

C．两相交直线确定一个平面

D．用一个平面去截棱锥，底面与截面间的部分叫棱台

【答案】C

【分析】对于A，由面面平行的判定定理可知其说法少条件；

对于B，举反例排除即可；

对于C，由平面公理2的推论可判断；

对于D，由棱台的定义可判断.

【详解】对于A，面面平行的判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，显然A说法中少了个条件：线线相交，故A错误；

对于B，如图，在正方体内，，但与不平行，故B错误；

.

对于C，C说法是平面公理2的一个推论，故C正确；

对于D，棱台是由一个“平行”于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，故D错误.

故选：C.

2．如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（    ）

A．直三棱柱 B．圆柱 C．正四棱锥 D．圆锥

【答案】D

【分析】根据给定的条件，利用几何体的结构特征及三视图的意义逐项判断作答.

【详解】对于A，直三棱柱侧面是矩形，将三棱柱竖直放在水平面上，其正视图可为矩形，A可能；

对于B，圆柱的轴截面是矩形，将圆柱竖直放在水平面上，其正视图可为矩形，B可能；

对于C，正四棱锥的底面是正方形，将正四棱锥底面垂直于水平面并正对人放置，其正视图可为矩形，C可能；

对于D，圆锥的轴截面是三角形，底面是圆，无论怎样放置，其正视图都不可能是矩形，D不可能.

故选：D

3．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得与，且，由此在利用勾股定理可求得.

【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，，

又由轴得轴，故，

不妨设是的中点，则，

所以在中，，即中边上的中线的长度为.

故选：A.

.

4．下列说法正确的是（    ）

A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意直线平行

D．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线平行

【答案】B

【分析】对于ACD，举反例排除即可；

对于B，利用线面平行的判定定理与性质定理可证得结论正确；

【详解】对于A，如图1第一个图，显然与所成角和与所成角相等，但与不平行，故A错误；

对于C，如图1第二个图，，则，而不平行于，故不平行于，故C错误；

对于D，如图1第三个图，，则，而与不平行，故与不平行，故D错误；

对于B，如图2，，面面，所以，同理，所以，

又因为，所以，

又，所以，故，故B正确.

故选：B.

5．用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】分别讨论矩形的长与宽为圆柱的底面周长的两种情况，可得结果.

【详解】设圆柱底面圆的半径为，则

当矩形的长为圆柱的底面周长，有，得；

当矩形的宽为圆柱的底面周长，有，得；

综上：或.

故选：C.

6．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.

7．如图，棱柱的体积为1，则四棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】用总体积减去即可.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了割补法求体积,属于基础题型.

8．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为（　　）

A．（2+4）cm2 B．（4+2）cm2 C．（4+4）cm2 D．（2+8）cm2

【答案】A

【分析】根据正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，可知，解出棱柱的高即可利用面积公式求解.

【详解】设正四棱柱的 为h，

因为正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，

所以，

解得，

所以cm2，

故选A.

【点睛】本题主要考查了球的内接正四棱柱，四棱柱的表面积，属于中档题.

9．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线

A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面

【答案】B

【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明．

【详解】解：选项A，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A错误

选项B：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3. 直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B正确．

选项C：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C错误

选项D：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D错误

【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明．直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解．

10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台的体积为（    ）参考公式：台体的体积公式为.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件得，从而求得圆台两个底面的面积及高，进而可求圆台的体积.

【详解】设圆台较小的底面的半径为，较大的底面的半径为，母线为，

则由得，

又因为圆台的侧面积为，所以，即，

解得，故，

所以圆台较小的底面面积为，较大的底面面积为，圆台的高，

所以圆台的体积.

故选：D.

11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由三视图还原为几何体，再分别求得三棱锥各面的面积并相加即可.

【详解】由三视图还原原几何体如图（说明：没有标点的那三条虚线是为了方便理解图形），

该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，，侧面与全等，侧面为等腰三角形，，，

所以该三棱锥的表面积为.

故选：A.

.

12．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.

【详解】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，

由，可得，

由，则，解得，则，

在直角中，，则，

在直角中，，则，

在直角中，，则，

在中，，

由余弦定理可得，

即，

所以截面的周长为，故选B.

【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.

【答案】相交

【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.

【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，

所以面与面的位置关系是相交.

故答案为：相交

14．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________________.

【答案】

【分析】连，可证，（或其补角）为异面直线与所成角，解，即可求出结论.

【详解】连，如下图所示：

因为是正四棱柱，

所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

（或其补角）为异面直线与所成角，

设，所以，

在中，由余弦定理，

得.

故答案为:.

【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于基础题.

15．若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，则圆锥的体积________．

【答案】

【分析】由圆锥的表面积与侧面展开图的圆心角可得到与的两个方程关系，解之即可求得与，从而求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥的母线为与圆锥底面圆半径为，

则由题意得，解得或（舍去），

所以圆锥的高为，

故圆锥的体积为.

故答案为：.

16．如图1，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，如图2.随着倾斜度不同，有下面五个命题：

①有水的部分可以为棱台；

②没有水的部分始终呈棱柱形；

③水面所在四边形的面积为定值；

④棱始终与水面所在平面平行；

⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．

其中所有正确命题的序号是______．

【答案】②④⑤

【分析】根据给定的条件，利用棱柱的结构特征，线面平行的性质及棱柱的体积逐一判断各个命题作答.

【详解】依题意，水面，而平面平面，平面，则，

同理，而，，又平面，平面平面，

因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，①不正确，②正确；

水面是矩形，线段长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，

则水面所在四边形的面积逐渐增大，③不正确；

因，平面，平面，因此平面，④正确；

当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高和体积都是定值，因此底面的面积是定值，

又，于是得是定值，⑤正确，

所以所有正确命题的序号是②④⑤.

故答案为：②④⑤

三、解答题

17．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.

(1)证明：平面；

(2)求该三棱柱的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；

（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.

【详解】（1）证明：连接，设，连接

∵是正三棱柱的侧面，

∴为矩形，

∴是的中点，

∴是的中位线，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点

所以，，

故，

又平面，，

所以正三棱柱的体积

18．如图，为空间四边形的边上的中点，分别为上的点，且.

(1)求证：；

(2)求证：必交于一点.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用中位线定理得，再由线段成比例推得，由此利用平行线的传递性得到.

（2）先证明与相交，再证明其交点为平面和平面的公共点，由此利用公理3得，故得证.

【详解】（1）因为为上的中点，所以，

又因为，所以，

所以.

（2）由（1）可知，，且，，即，

故为梯形，与必相交，

设，平面，平面，

则为平面和平面的公共点，

又平面平面，

由公理3可知，，所以必交于一点.

19．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.

（1）求证：;

（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）见证明；(2)见解析

【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面；

（2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，由面面平行的判定定理，即可得到证明.

【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点

故

∵面

∴面

（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点  

理由如下：由点分别为中点可得：

∵面

∴面

由（1）可知，面

且

故面面

【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．

20．如图，在直三棱柱中，，，平面，点为侧棱上一个动点.

(1)求此直三棱柱的表面积；

(2)当最小时，求三棱锥的体积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用矩形与三角形的面积公式分别求出直三棱柱中各个面的面积，并相加即可；

（2）展开三棱柱，由平行线分线段成比例求得，而且得到，利用换顶点法可求得，得解.

【详解】（1）由题可知，在中，，

又因为平面，

所以.

（2）将三棱柱展开成矩形，连接，交于点，则此时最小，

，，，，

，，

21．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；

(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.

【答案】(1)

(2)外接球的表面积为，内切球的体积为

【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；

（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.

【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，

由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，

又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，

所以

设圆柱底面圆的半径为，

则，

圆柱体积

所以剩下的几何体的体积

（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，

则内切球球的体积

直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，

它的外接球的球半径满足，即

所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.

22．几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面；

（2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值.

【详解】（1）记为的中点，连接，如图1，

因为分别为的中点，故，

因为平面平面

所以平面，

又因为为正三角形，所以 ，，

又为等腰三角形，，所以,

所以，即，

所以，又平面平面

所以平面，又，平面，

故平面平面，

又因为平面，故平面.

（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，

因为平面，平面，平面平面，

所以，此时四点共面，

由（1）可知，，得，

故，又因为，所以，

则有，故.