2022-2023学年河北省石家庄市第二中学南校区高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市二南高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列命题正确的是（    ）

A．向量与是两平行向量

B．若都是单位向量，则

C．若，则四点构成平行四边形

D．两向量相等，则它们的始点、终点相同

【答案】A

【分析】利用平行向量的定义即可判断A；利用向量相等的定义即可判断B，D；利用共线向量的定义即可判断C．

【详解】对于A，向量与是相反向量，它们是平行向量，故A正确；

对于B，若，都是单位向量，但，的方向不一定相同，故，不一定相等，故B错误；

对于C，若，则四点共线或四点构成平行四边形，故C错误；

对于D，若两向量相等，则它们的方向相同、长度相等，与始点、终点无关，故D错误．

故选：A．

2．已知向量，，则的坐标为（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可

【详解】，，∴．

故选：B．

3．在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量加法和减法的运算，求得的表达式.

【详解】依题意，

.

故选：B

【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题.

4．已知向量满足，则（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．2

【答案】C

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】.

故选：C

5．已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】设中点为，利用向量的四则运算和数量积结合三角形内心、外心、重心、垂心的定义求解即可.

【详解】设中点为，所以，

所以，

即，所以，

又由为中点可得点在的垂直平分线上，

所以点是的外心，

故选：B

6．已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围.

【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，

因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，

如下图所示：

则，，

所以，.

因为点为正方形四条边上的动点，所以，

又，所以，

故选：A.

7．在三角形ABC中，已知AB＝2，AC＝1，，，，若CD与BE交于O点，则AO的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】应用基底法，结合B，O，E共线、C，O，D共线分别得到关于的线性表达式，由平面向量基本定理列方程求参数，再由向量数量积的运算律求的模长即可.

【详解】

因为AB＝2，AC＝1，，则．

设，，因为与不平行，所以，为一组基向量，

因为B，O，E共线，，所以，

因为C，O，D共线，，所以，

所以，则，解得，

所以，

所以，

所以AO的长为，

故选：B．

8．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将两边同时平方，转化为关于的一元二次不等式即可求解.

【详解】∵是单位向量，∴.

∵

且.

∴，又∵，

∴ (θ是与的夹角)．

又－1≤cosθ≤1，

∴，

∴.

根据一元二次不等式的解法，

解得.

故选：D.

二、多选题

9．已知向量，则（    ）

A． B．向量的夹角为

C． D．在方向上的投影向量是

【答案】BD

【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.

【详解】已知则，

，，，，故A错误；

，所以向量的夹角为，故B正确；

，，故错误；

在方向上的投影向量为，故D正确.

故选：BD.

10．下列选项中正确的是（    ）

A．若平面向量、满足，则的最大值是

B．在中，，，是的外心，则的值为

C．函数的图象的对称中心坐标为

D．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是

【答案】AB

【分析】利用向量模长的三角不等式可判断A选项；利用平面向量数量积的几何意义可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；由已知可得出且、不共线，求出的取值范围，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，，则，

当且仅当、方向相反时，等号成立，故的最大值是，A对；

对于B选项，如下图所示，取线段的中点，连接，

由圆的几何性质可知，则，

同理可知，

因此，，B对；

对于C选项，由可得，

所以，函数的图象的对称中心坐标为，C错；

对于D选项，若向量与的夹角是钝角，则，

解得且，D错.

故选：AB.

11．设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别是，，，则正确的是（    ）

A．为的外心

B．为的重心

C．为的垂心

D．为的内心

【答案】BCD

【分析】由三角形四心的定义，利用向量共线定理、向量垂直的几何意义和平面几何的知识，即可得出结果.

【详解】对于A：当为三角形的外心，取的中点，，则，，即，

反之，若，取的中点，则，即，

即，只能得到在的垂直平分线上，不能得到为三角形的外心，故A错误；

对于B：当为三角形的重心，为中线的交点，延长交于点，

可得，所以，.

反之，取的中点，若，则，

则可得，，三点共线且，即为三角形的重心，故B正确；

对于C：当为三角形的垂心，，

同理可证，即，反之也成立，故C正确；

对于D：当为三角形的内心，为三角形的角平分线，则，，

如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，

则四边形为平行四边形，

，

所以，反之也成立，故D正确；

故选：BCD

12．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ）

A． B．

C．存在最大值 D．的最大值为

【答案】AC

【分析】对于AB，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.

【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，

所以，

则，故A正确；

，

则

，故B错误；

如图，以点为原点建立平面直角坐标系，

则，

因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，

所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，

设，

则，

所以，

因为，所以，

所以当时，取得最大值，故C正确；

因为，

所以，

即，

所以，

所以，

因为，所以当时，取得最大值，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．

【答案】11

【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由题意可得 ，

因为三点共线，所以，

进而

解之得 或

因为 ，所以 ，

故答案为：

14．与向量共线的单位向量是_________．

【答案】或

【分析】利用与共线的单位向量为或求解即可.

【详解】因为，所以，

所以与向量共线的单位向量为

或，

故答案为：或.

15．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.

【答案】/

【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【详解】因为，分别为线段，的中点，

所以,

,

,

所以

,

所以，解得，

所以，

所以的值为.

故答案为：.

16．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围.

【详解】设向量与的夹角为，，则，

，

所以当时，取得最小值为，

即，

所以.

如图所示，设，三角形是等边三角形，

设是的中点，则，

由于，所以，

所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，

根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题.

四、解答题

17．已知.

(1)若，求证：；

(2)设，若，求的值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出；

（2）根据得到，平方相加后得到的值.

【详解】（1），

故，

即，

化简得：，

故；

（2），

所以，

两式平方相加得：，

故.

18．已知函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有四个根，从小到大依次为，求的值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据三角函数的诱导公、二倍角公式以及差角公式，整理函数，利用辅助角公式，化简为单角三角函数，结合整体思想，建立不等式，可得答案；

（2）根据函数变换，写出新函数解析式，利用其对称性，可得答案.

【详解】（1）

，

令，解得，

所以的单调递增区间为.

（2）由题意知：，∴，

因为和是在上的对称轴，

由对称性可知：，，

所以.

19．已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为.

(1)给出函数的解析式，并说明理由；

(2)求函数的单调递减区间.

【答案】(1)，理由见解析

(2)

【分析】（1）由可以排除条件②，再利用条件①③④根据特殊值、最值与周期公式即可求解；

（2）运用整体思想直接代入正弦函数的单调递减区间即可求解.

【详解】（1）依题意，

若函数满足条件②，则，

这与矛盾，所以不能满足条件②，

所以应满足条件①③④

由条件④得，且，所以，

由条件③得，

再由条件①得，

且， 所以，

所以；

（2）由，

得，

所以的单调递减区间为.

20．已知的坐标分别为.

(1)若三点共线，求角的值；

(2)若，且四边形为平行四边形，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三点共线可得，化简求得，结合即可求解；

（2）由四边形为平行四边形，可得，采用坐标运算进行代换，可得关于的表达式，再结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求解的范围

【详解】（1）∵三点共线，∴，

又，，

∴，，

又，∴.

（2）∵四边形为平行四边形，∴，

而，

∴，，

∴，，

所以，

因为，所以，则，

所以，即的取值范围为.

21．已知函数（其中

(1)求函数的最大值；

(2)若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，且关于的方程在上有两不等实数解，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；

（2）根据正弦型函数的性质，得出，再由对称性以及诱导公式得出的值.

【详解】（1）

，

所以函数的最大值为；

（2）若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，

则的周期为，又由，得，得．

，即

函数与的图象如下图所示

由对称性可得，，

因为，所以

.

22．已知函数，

(1)当时，求的值域；

(2)解不等式：；

(3)若时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据三角函数恒等变换将化简，进而求出其值域；

（2）将题目不等式转化为，进而利用三角函数性质求解；

（3）根据题意转为为与有两个交点，根据图象可以求出结果.

【详解】（1），

，

，

，，

，

当时，的值域为．

（2）由题知，

，，

，，

解集为．

（3），令，

因为，所以，

如图：

，

在上有两个不同的解必须满足

所以方程在时恰好有两个不同的解必须满足，

即实数的取值范围是