2022-2023学年江苏省南通重点中学下学期高一数学5月检测B卷含答案

江苏省南通中学 2022-2023学年下学期5月检测B卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数满足为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(    )
 

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是(    )

A. 掷次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B. 掷次硬币， 事件发生的次数一定是
C. 重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率
D. 当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近

4.  已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则．(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

5.  在中，点是线段上一点，且，点是线段的中点，与的交点为若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，，且，，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数满足是虚数单位，则下列关于复数的结论正确的是(    )

A.
B. 复数的共轭复数为
C. 复平面内表示复数的点位于第三象限
D. 复数是方程的一个根

10.  某校高一年级个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：，，，，，，，，，，，，，，，则(    )

A. 这组数据的分位数是 B. 这组数据的分位数是
C. 这组数据的下四分位数是 D. 这组数据的上四分位数是

11.  已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则(    )

A. 棱台的侧面积为
B. 棱台的体积为
C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为

12.  如图，已知的内接四边形中，，下列说法正确的是(    )
 

A. 四边形的面积为
B. 该外接圆的半径为
C.
D. 过作交于点，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平面四边形的面积为          ．
 

14.  如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的张角的大小是          ．

15.  已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为          ．

16.  已知直四棱柱，底面为平行四边形，，，，，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知平面向量，且

求和；

若，求向量的夹角的大小．

18.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过、、三点的平面交侧棱于点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求证：．
条件：；
条件：平面．
注：如果选择条件、条件分别解答，按第一个解答计分．

20.  本小题分

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．

求频率分布直方图中的值；

求样本成绩的第百分位数；

已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．

21.  本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，，四边形是正方形．
直线与平面是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

22.  本小题分

在中，内角，，的对边分别为，，，且．

求的大小；

若，，当仅有一解时，分别求，的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，复数模公式，属于基础题．
结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，先求出，再结合复数模公式，即可求解．

【解答】

解：，
，
，
．
故本题选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分层抽样及统计图，考查数据处理能力、运算求解能力及统计与概率思想．
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．

【解答】

解：由扇形统计图可得样本容量，
其中对四居室满意的人数为 ．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查随机事件的定义和概率的性质，属于基础题．
根据题意，由随机事件的定义和概率的性质依次分析选项，综合可得答案．

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：
对于，掷次硬币，有个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有个基本事件，则该事件发生的概率为，故A错误；
对于，掷次硬币，事件发生的次数不一定是，故B错误；
对于，重复掷硬币，事件发生的频率接近事件发生的概率，故C错误；
对于，当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近事件发生的概率，即接近，故D正确．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析能力及空间想象能力，属于基础题．
根据空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识逐一判断即可．

【解答】

解：对于若，，则与 相交，或或，故A错误；
对于若，，则或与相交，或，故B错误；
对于若，，则在内一定存在直线，于是，得，故C正确；
对于若，，则或与相交，故D错误．
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减与数乘混合运算、共线向量，属于中档题．
过点作的平行线交于点，连接根据结合向量的加减与数乘混合运算，得到点是线段的一个三等分点．利用平行线截线段成比例定理得到，由此即可求出的值．

【解答】

解：过点作的平行线交于点，连接，如图所示，
，
，
，
点是线段的一个三等分点，
点是线段中点，，
，且点是线段的中点，
，，，
又，．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于较难题．
依题意，可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及余弦函数的单调性即可求得答案．

【解答】

解：，，，
，，
又，
，即，
，
又，
，
，

．
又，，
，
，
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于拔高题．
根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心是和的外心连线段的中点，连接、、、A.在中利用正、余弦定理算出，由球的体积算出，然后在中，用勾股定理算出，得三棱柱的高，最后算出底面积，可得此直三棱柱的体积．

【解答】

解：设和的外心分别为、，连接，

可得外接球的球心为的中点，连接、、、，
中，，
，
，
根据正弦定理，得外接圆半径，
球的体积为，
，
中，，可得，
直三棱柱的底面积，
直三棱柱的体积为．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，以及基本不等式求最值或范围和“对勾”函数的性质，涉及到两角和与差的正弦公式，正切函数的单调性，属于难题．
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围．

【解答】

解：中，由余弦定理得，
且的面积为，
由，得，
化简得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或不合题意，舍去，可得，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以，当且仅当时，即时取最小值，
由于，且函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以
故本题选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念、复数的运算，复数的模、共轭复数、复数代数形式的几何意义，属于基础题．
由复数的运算，复数的模、共轭复数、复数代数形式的几何意义，逐个进行判断．

【解答】

解：由题意，，
，故A正确；
复数的共轭复数为，故B正确；
复平面内表示复数的点为，位于第二象限，故C错误；
因为，
所以是方程的一个根，故D正确．
故选ABD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查百分位数的求法，属于基础题．
根据百分位数求法的步骤逐项分析求解即可．

【解答】

解：因为一共个数据，所以，则分位数为从小到大排列的第个和第个数据的平均数，即，故A错误；
，则分位数为从小到大排列的第个数据和第个数据的平均数，即，故B正确；
，则下四分位数为从小到大排列的第四个数，故C错误；
，则下四分位数为从小到大排列的第个数，故D正确．
故选BD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以命题真假判断为载体，考查了棱台的结构特征，考查了棱台的侧面积和体积计算问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
计算棱台侧面积判断；计算棱台体积判断；求侧棱与底面成角余弦值判断；求侧面与底面成角余弦值判断．

【解答】

解：作正四棱台如图所示，
对于，过作于，，所以，
所以棱台的侧面积为，所以对；
对于，连接、，过作于，过作于，
，，，，
上底面面积，下底面面积，
棱台的体积为，所以错；
对于，因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角，
，所以对；
对于，为侧面与底面所成锐二面角的平面角，，所以对．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

【分析】
本题主要考查了余弦定理，以及向量在几何中的应用，同时考查了运算求解的能力，属于较难题．

选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；

选项，在选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；

选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；

选项，结合选项和选项中的结论，先求出的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算．

【解答】

解：

对于，连接，则，，由于，所以，故，解得：，

所以，，所以，

故，

，

故四边形的面积为，故A正确；

对于，设外接圆半径为，则，

故该外接圆的直径为，半径为，故B正确；

对于，连接，过点作于点，过点作于点，则由垂径定理得：，由于，所以，即，解得：，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影的数量为，且与反向，故，故C正确；

对于，由选项可知：，故，且，因为，由对称性可知：为的平分线，故，由选项可知：，显然为锐角，故，，所以，所以，故D正确．

故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，属于基础题．
由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．

【解答】

解：由题意正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以，对应原图形平行四边形的高为，
所以原图形的面积为．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查余弦定理在解三角形实际问题中的应用，属于综合性试题，有一定的计算量，属于中档题目．
分别求解出的每条边，再根据余弦定理求角的公式求解即可．

【解答】

解：由图知直角三角形中，，
由勾股定理得，
同理，
在中，由余弦定理知：
，
得．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量的综合应用，属于较难题．
可结合条件建立适当坐标系，转化为坐标运算求解，注意基本不等式的利用．

【解答】

解：因为，设向量，夹角为，
则有，建立平面直角坐标系如图，

其中，
则，，，
如图，则，的夹角为，
又，
所以
，
当且仅当时，正切值取最大值，
此时，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了棱柱的结构特征，球的结构特征，空间几何体的截面问题，属于较难题．

【解答】

解：如图，取，连结，
因为在直四棱柱中，侧棱底面，
可得直四棱柱的四个侧面均为矩形，所以，
因为，所以以为球心，半径为的球面与直线相切．
在直四棱柱中，底面为平行四边形，
，根据余弦定理可得，
，
所以．
因为，平面，所以，
所以，
所以球面与侧面的交点为和，
又，平面，
所以点和在以为圆心，半径为的圆上，

因为，所以弧的长度为，
所以球面与侧面的交线为弧，
所以球面与侧面的交线的长度为．

17.【答案】解：因为，
所以，即．

又因为，
所以，即，

所以，．

，

，

设，的夹角为，

则．

因为，
所以，即，的夹角为．

【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，考查向量平行、垂直的坐标表示，属于中档题．
由，可得，，，即可求得、，从而可得与；
先求得、的坐标，设、的夹角为，根据可得，，又，即可得、的夹角．
 

18.【答案】解：

，
所以函数的最小正周期为；
将函数的图象先向左平移个单位，得，
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，
由，则，所以，
所以． 

【解析】本题考查了函数的图象与性质、三角函数的最值和三角恒等变换，是中档题．
先由三角恒等变换得，由周期公式可得结果；
先由三角图象变换得，由三角函数性质可得值域．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，．
且平面，平面，平面．
选条件：，且点为侧棱的中点，．
又平面，，且，，
，平面，
故CD平面，又平面，
．，平面，
平面，又平面，
．
选条件：平面平面，
又，，，
平面，，
又，平面，又平面，
． 

【解析】推导出可证平面．
选条件：推导出，且，从而平面，进而从而平面，由此能证明．
选条件：，，可证平面，由此能证明．
题考查线段中点、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：每组小矩形的面积之和为，
，
．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，
得，故第百分位数为．
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故．
设成绩在中人的分数分别为，，，，
成绩在中人的分数分别为，，，，，
则由题意可得，
，，
即，，

，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是． 

【解析】本题考查频率分布直方图、百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由频率分布直方图列出方程能求出．
由频率分布直方图列出方程能求出第百分位数．
由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答．
 

21.【答案】解：直线与平面不垂直．
证明如下：
分别取、的中点、，连接，，，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
又正方形中，，且，
，
又，平面，
过同一点只能作唯一平面垂直于，
直线与平面不垂直．
平面平面，，
平面平面，平面，
又、平面，，，
二面角的平面角为，
设，的面积为，
的面积为，
取的中点，连接，，，
由知，平面，
设点到平面的距离为，
，即，
得，
，直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
分别取、的中点、，连接，，，证明平面，可得，再证明，由直线与平面垂直的判定可得平面，这与过同一点只能作唯一平面垂直于矛盾；
由已知可得平面，得到，，即二面角的平面角为，设，分别求出与的面积，由等体积法求得点到平面的距离为，可得直线与平面所成角的正弦值为．
 

22.【答案】解：因为，
在中，，所以，
所以，可得，
所以，即，
则．
因为，所以．
如图，

当或时，仅有一解，所以或．
当时，，，所以，，所以，
当时，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
综上，的取值范围是，的取值范围是 

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，考查诱导公式、正弦定理、函数的性质，属于较难题．
由诱导公式、二倍角公式可得，即，从而得出结果．
当或时，仅有一解，可得的范围，当时，可得，当时，由正弦定理可得所以，结合的范围，可得结果．