2022-2023学年江苏省南通中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数．

【详解】据题意，得解得或所以或.故选D.

【点睛】本题考查扇形的面积公式以及弧长公式，方程思想，牢记公式是解答本题的关键．

2．将函数f(x)=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6π，则（    ）

A．ω= B．ω=6 C．ω= D．ω=3

【答案】A

【分析】由伸缩变换求出的解析式，再由周期公式得出答案.

【详解】由题意可知，由，解得

故选：A

3．已函数，的值域为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数关系，利用换元法，结合二次函数值域，求解三角不等式即可求得结果.

【详解】，，

令，，

，且当时，

令得或，

由，时，，

故当时，，

结合题意得．

故选：D．

【点睛】考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的性质、二次函数，属综合中档题.

4．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对应法则及诱导公式即可得到结果.

【详解】因为，并且，

所以.

因为，所以，

故选：B.

5．设函数，则在上的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出函数的减区间，再与求交集妈阿中得．

【详解】由已知，

，，

又，∴减区间为．

故选：D．

6．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由最小值可知，再结合与可解其他参数值．

【详解】由图象可知.因为，所以.

又，可得

由，所以，

解得，结合选项可知，

因此，

故选：D．

7．已知函数的最小正周期为,若在上单调递增,在上单调递减,则实数的取值范围是(                 )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数的最小正周期为可得，求出的增区间与减区间，分别令与是其子集即可.

【详解】由题意可得，求得，

令，

求得，

由，

求得，

因为在上单调递增,在上单调递减,

所以，

所以实数的取值范围是，故选B.

【点睛】函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据诱导公式计算得到，故，解得答案.

【详解】解：由诱导公式可知，

又得：，

所以，

.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力，是中档题.

二、多选题

9．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（    ）

A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线

B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线

C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

【答案】AD

【分析】先利用诱导公式把化简得，，然后利用三角函数图像变换规律求解即可

【详解】解：，

所以将曲线：向左平移个单位长度，得，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线；

或将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，

故选：AD

【点睛】此题考查三角函数图像变换规律的应用，考查诱导公式的应用，属于基础题

10．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（    ）

A．函数在上单调递增

B．函数的图象关于直线对称

C．当时，函数的最小值为

D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

【答案】AD

【解析】由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数的图象与性质可判断A、B、C；由三角函数图象的变换及诱导公式可判断D.

【详解】由函数的最大值为2可得，，

因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，

所以函数的最小正周期满足，

所以，，

又的图象关于点对称，所以即，

所以，，

当时，，

所以函数在上单调递增，故A正确；

当时，，

所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；

当时，，，故C错误；

将的图象向右平移个单位可得的函数为：

，

故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.

11．已知函数在上是单调函数，且.则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分别把选项中的值代入函数表达式，验证函数的性质是否满足，即可判断.

【详解】对于A，，若，

可取

则，在上单减，故A正确.

对于B，，若，

，

此时可以取，使得函数在单减，故B正确.

对于C，，若，

即，

，故C错误.

对于D，，若，，

，故D错误.

故选：AB.

12．设函数是R上的奇函数，若在区间上单调递减，则的取值可能为（    ）．

A．6 B．4 C． D．

【答案】ACD

【分析】先利用奇函数的性质求得，得到，然后对于各选择支中的的值，利用换元思想，根据正弦函数的单调性逐一检验.

【详解】∵函数是R上的奇函数，

∴，∴，∴，令.

当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故A正确；

当时，，在上单调递减，∴单调递增，不符合题意，故B错误；

当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故C正确；

当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故D正确；

故选：ACD

三、双空题

13．已知，则与角终边相同的最小正角为_______，最大负角为________.

【答案】         

【分析】先将与终边相同的角表示出来，然后对进行赋值，由此求得最小正角和最大负角.

【详解】，

则与角终边相同的角可以写成的形式.

当时，可得与角终边相同的最小正角为；当时，

可得与角终边相同的最大负角为.

故填：（1）；（2）.

【点睛】本小题主要考查终边相同的角，考查正角、负角的概念，属于基础题.

四、填空题

14．设是第一象限角，且，则是第______象限角．

【答案】二

【分析】利用三角函数的象限符号即可求解.

【详解】是第一象限角，

，

，

是第一或第二象限角.

又

，

是第二或第三象限角，

是第二象限角.

故答案为：二.

15．写出一个图象关于直线对称且在上单调递增的偶函数______.

【答案】

【分析】取，再验证其奇偶性、对称性、单调性即可.

【详解】如，，即为偶函数

由，当时，关于直线对称

由得，则由余弦函数的性质可知，函数在上单调递增

故答案为：

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于根据我们所学的三角函数的知识，举出，再验证.

五、双空题

16．已知函数f（x）＝sin＋，ω＞0，x∈R，且f（α）＝－，f（β）＝．若|α－β|的最小值为，则＝________，函数f（x）的单调递增区间为________．

【答案】          ，k∈Z

【分析】由题意可确定函数的周期，从而得到ω值，确定出函数解析式，将代入可得结果，利用正弦函数的性质可得单调区间.

【详解】函数f（x）＝sin＋，ω＞0，x∈R，由f（α）＝－，f（β）＝，

且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝．

所以f（x）＝sin＋，则＝sin＋＝．

由－＋2kπ≤x-≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，

即函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．

故答案为：； k∈Z

【点睛】本题考查正弦函数的周期性和单调性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

六、解答题

17．已知角α的终边经过点P.

（1）求sinα的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦函数定义计算；

（2）由诱导公式，商数关系变形化简，由余弦函数定义计算代入可得.

【详解】（1）因为点P，

所以|OP|=1，sinα=.

（2）

由三角函数定义知cosα=，故所求式子的值为．

18．已知函数.

（1）化简；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求的值.

【答案】（1）（2）（3）

【详解】试题分析：

（1）利用诱导公式可化简；

（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；

（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．

试题解析：

（1）.

(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.

（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.

点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．

19．已知函数

(1)求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间；

(2)求在上的最值及对应的的值.

【答案】(1)对称轴：，对称中心：，减区间：

(2)当时，取最大值1；当时，取最小值

【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；

（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.

【详解】（1）

由，解得，所以对称轴方程为，

由解得，所以对称中心为，

由，解得，

所以函数的减区间为.

（2）因为，所以，

所以，

所以当，即时，函数有最小值为，

当，即时，函数有最大值为.

20．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.

(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；

(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？

【答案】(1)；

(2)10分钟．

【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式；

（2）解不等式后可得．

【详解】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，

最低点到地面距离为10 m，

所以，，又，则，

所以所求表达式为；

（2），，

取一个周期内，有，，．

所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．

21．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.

（1）当时，求的值域

（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据图象的最低点求得的值，根据四分之一周期求得的值，根据点求得的值，由此求得函数的解析式，进而根据图象平移变换求得的解析式，并由此求得时的值域.（2）先求得的值域，由此求得的值域.令对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大值.

【详解】（1）根据图象可知

代入得，，

把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数

，

设，则，

此时，

所以值域为.

（2）由（1）可知

对任意都有恒成立

令，

，是关于的二次函数，开口向上

则恒成立

而的最大值，在或时取到最大值

则，，

解得

所以，则的最大值为.

【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

22．已知,，函数，

（1）若，，求的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；（2）作差，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想进行求解.

试题解析：(1)依题意得，

，即

，即

由，，得，

（2）即不等式对任意恒成立，

即

下求函数的最小值

令则且   

令

1°当上单调递增，

2°当，即时，

3°当

4°当

，所以当时，；当或0<时,