2022-2023学年江苏省南通重点中学下学期5月高一数学试卷含答案

江苏省南通市重点中学 2022-2023学年下学期5月试卷

高一数学

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  下列说法正确的是(    )

A. 互斥事件与对立事件含义相同
B. 互斥事件必是对立事件
C. 对立事件必是互斥事件
D. 对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件

3.  已知向量，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，，表示不同的平面，表示直线，则下列条件能得出的是(    )

A. 内有无数条直线与平行 B. ，
C. ， D. ，

5.  若，且，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体如图所示，下底面是边长为的正方形，上棱，平面，与平面的距离为，该刍甍的体积为  (    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  在中，为的中点，于，是线段上的动点，则
 

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角中，分别为三边所对的角．若，且满足关系式，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列各式中，值为的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田种植环境相同连续次的产量如下：

则(    )

A. 甲种水稻产量的众数为
B. 乙种水稻产量的极差为
C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

11.  八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论正确的有(    )
 

A.
B.
C.
D. 在向量上的投影向量为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

12.  如图，，，分别是边长为的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面均成直二面角，得到几何体则二面角的余弦值为          ；几何体的外接球表面积为          ．
 

13.  已知角终边上有一点，则          ．

14.  正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的体积是          ．

15.  如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为          ．

 

16.  设的三边，，所对的角分别为，，若，则          ，的最大值是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

若虚数同时满足下列两个条件：的实部与虚部互为相反数；是实数．这样的虚数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

18.  本小题分
已知点，，点为直线上的一个动点．
Ⅰ求证：恒为锐角；
Ⅱ若四边形为菱形，求的值．

19.  本小题分

防洪是修建水坝的重要目的之一．现查阅一条河流在某个水文站年的年最大洪峰流量单位：的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：

记年最大洪峰流量大于某个数的概率为，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为定义重现期单位：年为概率的倒数．规定：当时，用报告洪水，即洪水的重现期；当时，用报告枯水，即枯水的重现期如，则报告洪水，重现期年，通俗的说法就是“百年一遇”．

补齐频率分布直方图用阴影表示，并估计该河流年最大洪峰流量的平均值同一组数据用该区间的中点值作代表；

现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五十年一遇的洪水．用频率估计概率，求它能承受的最大洪峰流量单位：的最小值的估计值．

20.  本小题分

三棱台中，为正三角形，，，，．
求证：
若二面角的平面角大小为，且在线段上有点使得平面平分四面体的体积，求与面所成角的正弦值．

 

21.  本小题分

在，其中为角的平分线的长与交于点，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在中，内角，，所对的边外别为，，，________．

求角的大小；

求的取值范围．

22.  本小题分

如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点与点，不重合．

证明：平面平面

是否存在点，使得二面角的正切值为若存在，确定点位置若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，属于基础题．
根据复数代数形式的乘法运算法则化简复数，再根据复数的几何意义判断即可．

【解答】

解：因为，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件和对立事件的联系和区别，属于基础题．
根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可得到答案．

【解答】

解：一般地，对于事件与事件，若为不可能事件，则称事件与事件互斥，
若为不可能事件，为必然事件，则称事件与事件互为对立事件．
逐项分析：
A、互斥事件与对立事件的含义不同， A错误
B、互斥事件不一定是对立事件， B错误
C、对立事件一定是互斥事件，C正确
D、对立事件一定是互斥事件，D错误．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量的垂直与数量积的知识点，属于基础题，难度不大．
首先根据可以得，化简从而得到答案．

【解答】

解：由题可得，
，
解得，
故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力，属于基础题．

【解答】

解：内有无数条直线与平行时，可能与相交，不符合题意
若，，且，表示不同的平面，所以，符合题意
若，，可能与相交，不符合题意
若，，可能与相交，不符合题意．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的三角函数、同角三角函数关系的运用，属于一般题．
利用同角三角函数关系式求出，，再根据两角差的正弦公式得的值即可．
 

【解答】

解： ，
，
 ，
，

故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了多面体的体积计算．
根据题意将多面体分割成三棱柱与四棱锥两部分，再分别求它们的体积即可求解．

【解答】

解：如图，作，，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，

因为与平面的距离为，所以四棱锥的高为，
所以
，
，
所以该多面体的体积为．
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积，属于中档题．

【解答】

解：法一： 

．

法二：将  特殊到 ，则  ．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦、余弦定理的应用，考察辅助角公式以及两角和与差的正弦公式等，属于中档题．
根据以及锐角三角形可求得的值，正弦定理和余弦定理角化边，化简，即可求出的值；利用求得，且，再利用三角恒等变换求的取值范围．

【解答】

解：，
，又锐角三角形，所以，
由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
，
，
由已知得，，
，解得；
， 
．
在锐角中，由，，得，
 ，且；
，
由，得，
，
的取值范围是．
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．
利用二倍角公式以及两角和与差的正切公式，结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案．

【解答】

解：

；

，
值为的是．
故选：

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查样本的数字特征，属于基础题．

【解答】

解：由题意得，甲种水稻产量的众数为，乙种水稻产量的极差为，甲种水稻产量的平均数为，乙种水稻产量的平均数为，甲种水稻产量的方差为，乙种水稻产量的方差为．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加法，数量积运算，投影向量，属于中档题．
利用数量积的定义判断，，平面向量的加法判断，求在向量上的投影向量判断．

【解答】

解：图中的正八边形，其中，
对于；故正确．
对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于在向量上的投影向量为，故错误．
故选：．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二面角的求法，外接球的表面积，考查了空间想象能力与计算能力，属于较难题．
取的中点，的中点，中点，则二面角为，再根据几何关系分别计算即可得；
取外接球球心，设中心为，中心为，根据列式求解可得球半径，进而得到表面积即可．

【解答】

解：取的中点，的中点，连接，，

故，
根据面面垂直的性质可得平面，平面，故，且，故四边形为矩形．
所以．
根据图形的对称性，易得为正三角形，
取中点，因为，，
则，，则二面角为，
且，
作，易得，且，，
故，
即二面角的余弦值为；
设几何体的外接球球心为，设中心为，中心为，易得共线，如图，设外接球半径，

根据正三角形中的关系，，．
因为，则，即，即，故，解得，
故外接球表面积为，
故答案为；．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角的三角函数的基本关系，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．
【解答】
解：角终边上有一点，，

，
则
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查棱柱体积的求法，属于基础题．
由已知求出正六棱柱的底面积，代入棱锥体积公式得答案．

【解答】

解：正六棱柱底面边长为，
正六棱柱的底面积为，
又正六棱柱的高为，
这个正六棱柱的体积是．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线的性质以及平面向量基本定理的运用，属于基础题．
根据，，三点共线，转化为，即可求解．

【解答】

解：因为到，，三点共线，又，
因此有，从而．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，正余弦定理，基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．
由已知可得，利用同角三角函数基本关系式，正余弦定理可求的值；利用诱导公式与三角形内角和得，利用两角和的正切公式展开，结合第一空结论化简得，利用基本不等式即可求解其最大值．

【解答】

解：设的三边，，所对的角分别为，，，
，
则
．
，即，即，故B．

，
当且仅当即时等号成立，
故的最大值是．
故答案为：，．

17.【答案】解：假设存在虚数，
设，且，
则
得
，，
解得或．
存在虚数或满足上述条件． 

【解析】本题考查了复数相等的充要条件，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
假设存在虚数，设，且，由已知条件列出方程组，求解即可得到，的值，则答案可求．
 

18.【答案】Ⅰ证明：点在直线上，
可得点．
，．
，
．
若，，三点在一条直线上，则，
得到，此方程无解，
．
恒为锐角．
Ⅱ解：四边形为菱形，
，即，
化简得到，
解得，得到．
设，
，
，
，
解得，．
． 

【解析】本题考查了向量的夹角公式、菱形的定义与性质，属于中档题．
Ⅰ只要证明且，，三点不在一条直线上即可；
Ⅱ利用菱形的定义可求得点，的坐标，进而得出．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图知年最大洪峰流量在区间，，，
上的频率分别为，，，，
所以年最大洪峰流量在区间的频率为．
所以频率分布直方图中缺失的小矩形的高度为．
补齐频率分布直方图如下：

所以该河流年最大洪峰流量的平均值

设水坝能承受的最大洪峰流量的最小值为．
由题意知，所以，即要求年最大洪峰流量大于的概率小于等于．
所以可由样本的分位数作为的估计值．
由频率分布方图可知年最大洪峰流量在区间的频率为，
所以样本的分位数在内．
设样本的分位数为，由，得．
所以样本的分位数的估计值为．
所以，的估计值为单位： 

【解析】本题考查频率分布直方图，平均数，以及用样本估计百分位数，属于中档题．
设的频率为，根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，从而求出组的纵轴，即可得到频率分布直方图，从而可求出平均值
依题意根据百分位数计算规则计算可得．
 

20.【答案】证明：如图，取中点

由为正三角形   

且  

由可知二面角的平面角即，作，     

以为原点，为轴，为轴，平行于为轴，则，，，，，故，
可知，设面法向量，
则，即，取，

由平面平分四面体的体积可知为中点，即，，设与面所成线面角为，从而

方法如图，平面平分四面体的体积，

为的中点，，

设与交于点，则为的中点，

，由Ⅰ知，为的二面角的平面角，

，为正三角形，，
又 ， ，
平面，，在中，，

；，设点到平面的距离为，

由得：，，

设与平面所成的角为，则  

【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，直线与平面所成的角，二面角，线面垂直的性质，面面垂直的判定及性质，截面问题，几何体的体积问题等，属于综合题．
 

21.【答案】解：方案一：选条件．
由题意可得，
．
为的平分线，，
，
即
又，
，即，
，，
，
．
方案二：选条件A.
由正弦定理得，，
又，，
，
，
，
，
，
  

，
又，，所以， 
的取值范围是． 

【解析】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换以及三角函数的值域，属于拔高题．
选择，利用三角形面积公式，计算得，从而计算角的值；选择，利用正弦定理把边化为角，然后利用，化简求出角即可．
两个选择方法结果是一样的，利用正弦定理把转化为，代入消去，由三角函数的值域求解的范围．
 

22.【答案】解：Ⅰ在直角梯形中，易得，
，，，，平面．
平面．

又平面，
平面平面，

而平面，，且平面平面，
平面，而平面，
，
，为的中点，，
，且，平面，
平面，

平面，
平面平面．

Ⅱ假设存在点满足题意，过作于，
由，知，

由Ⅰ得平面，
平面，

过作于，连接，
平面，且平面，
，
，且，，平面，
平面，而平面，
，

即是二面角的平面角，

不妨设，则，

在中，设，
由得，

即，得，
，
解得，

此时为的中点．

综上知，存在点，使得二面角的余正切值为，此时为的中点．

【解析】本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查几何法求二面角的正切值，属于拔高题．
Ⅰ根据题意，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
Ⅱ根据几何关系找出是二面角的平面角，进而可得结果．