2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若复数z=i1-i，则z的实部为（ ）
A．12B．-12C．1D．﹣1
2．（5分）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B
3．（5分）在边长为3的正方形ABCD中，DE→=2EC→，则AC→⋅AE→=（ ）
A．﹣5B．5C．15D．25
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，则csA＝（ ）
A．-916B．916C．-34D．34
5．（5分）函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且a∥平面α，则“b⊥α”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为m，标准差为3．另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，m的平均数为x，标准差为s，则（ ）
A．x=m，s＞3B．x=m，s＜3C．x≠m，s＞3D．x≠m，s＜3
8．（5分）某船在海面上航行至A处，测得山顶P位于其正西方向且仰角为45°，该船继续沿南偏东30°的方向航行5百米至B处，测得山顶P的仰角为30°，则该山顶高于海面（ ）
A．2.5百米B．5百米C．52百米D．53百米
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在△ABC中，M为边AB的中点，则（ ）
A．AB→+AC→=BC→B．MA→-MC→=CA→
C．CM→=CA→+12AB→D．AM→=CB→-CM→
（多选）10．（5分）关于函数f(x)=sin(2x+π3)，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．f(π2)=32
C．图象关于点(π3，0)对称
D．在[0，π6]上的最大值为1
（多选）11．（5分）同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件A，“出现两个反面”为事件B，则（ ）
A．A+B为必然事件B．AB为不可能事件
C．A与B为互斥事件D．A与B为独立事件
（多选）12．（5分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝60°，AA1＝A1B1＝A1D1＝2，M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，则（ ）
A．D1N⊥BC
B．A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为34
C．三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面积为28π3
D．点A1到平面AMN的距离为2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为 ．
14．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 ．
15．（5分）满足z2∈R，|z﹣i|＝1的一个复数z＝ ．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2π3，a＝4，D为BC的中点，AD=2，则△ABC的周长为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在85cm～105cm为三类树，底部周长在105cm～125cm为二类树，底部周长大于或等于125cm为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：cm），数据均落在85cm～135cm之间，按照[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该片经济林中二类树约占多少；
（2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，M，N分别为AB，AC的中点．
（1）证明：MN∥平面PBC；
（2）证明：平面PMN⊥平面PAB．
19．（12分）已知向量a→=(3sinx，csx)，b→=(csx，csx)，函数f(x)=a→⋅b→-12．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f(α2)=-35，α∈(-π2，0)，求sinα．
20．（12分）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：
（1）试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；
（2）初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛．若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinA=a(1+csB)．
（1）求B；
（2）若a=1，b=3，点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且∠ADC=2π3．求△ACD面积的最大值及此时点M的位置．
22．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，BC⊥侧面ABB1A1，AB＝2，AA1＝A1B1＝BB1＝BC＝CD＝1，E为CD的中点，F为棱AB上的点，C1F∥平面ADD1A1．
（1）证明：平面C1EF∥平面ADD1A1；
（2）求AF；
（3）求二面角C1﹣AB﹣C的大小．
2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若复数z=i1-i，则z的实部为（ ）
A．12B．-12C．1D．﹣1
【解答】解：z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i2=-12+12i，
∴z的实部为-12，
故选：B．
2．（5分）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B
【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，
则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故AB错误；
A∩（∁UB）＝{﹣2}，故C正确；
（∁UA）∩B＝{3}，故D错误．
故选：C．
3．（5分）在边长为3的正方形ABCD中，DE→=2EC→，则AC→⋅AE→=（ ）
A．﹣5B．5C．15D．25
【解答】解：如图，DE→=2EC→，∴DE→=23DC→，
∴AE→=23DC→-DA→，且AC→=DC→-DA→，
又DA＝DC＝3，DA⊥DC，
∴AC→⋅AE→=(DC→-DA→)⋅(23DC→-DA→)=23DC→2+DA→2=6+9＝15．
故选：C．
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，则csA＝（ ）
A．-916B．916C．-34D．34
【解答】解：sinA：sinB：sinC＝4：5：6，
则由正弦定理可设，a＝4k，b＝5k，c＝6k，
故csA=b2+c2-a22bc=25k2+36k2-16k22×5k×6k=34．
故选：D．
5．（5分）函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）
【解答】解：因为f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣1+12=-12＜0，
由函数零点的存在性定理，函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（﹣1，0）
故选：C．
6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且a∥平面α，则“b⊥α”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a∥平面α，若”b⊥α”，显然可以得到“a⊥b”，
若“a⊥b”，b也有可能在α上，不能推出”b⊥α”，
所以”b⊥α”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
7．（5分）一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为m，标准差为3．另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，m的平均数为x，标准差为s，则（ ）
A．x=m，s＞3B．x=m，s＜3C．x≠m，s＞3D．x≠m，s＜3
【解答】解：因为m=x1+x2+...+x88，
所以 x1+x2+⋯+x8＝8m，
则x=x1+x2+⋯+x8+m9=m+8m9=m，
因为32=18[(x1-m)2+(x2-m)2+⋯+(x8-m)2]，
s2=19[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（x8﹣m）2+（m﹣m）2]
=19[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（x8﹣m）2+02]，
又19＜18，
所以s2＜9，
解得s＜3，
则x=m，s＜3．
故选：B．
8．（5分）某船在海面上航行至A处，测得山顶P位于其正西方向且仰角为45°，该船继续沿南偏东30°的方向航行5百米至B处，测得山顶P的仰角为30°，则该山顶高于海面（ ）
A．2.5百米B．5百米C．52百米D．53百米
【解答】解：如图所示：
设山顶高于海面的距离为h，由题意，∠PAC＝45°，∠PBC＝30°，
所以AC=htan45=h，BC=htan30°=3h，
在△ABC中，AB＝5，∠CAB＝120°，
由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cs120°，
即(3h)2=h2+52-2×h×5×(-12)，即2h2﹣5h﹣25＝0，
解得h＝5或h＝﹣2.5 （舍去），
所以该山顶高于海面5百米．
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在△ABC中，M为边AB的中点，则（ ）
A．AB→+AC→=BC→B．MA→-MC→=CA→
C．CM→=CA→+12AB→D．AM→=CB→-CM→
【解答】解：选项A，由向量加法的平行四边形法则可知，AB→+AC→≠BC→，选项A错误；
选项B，由向量减法，MA→-MC→=CA→，选项B正确；
选项C，由M为AB中点，可得AM→=12AB→，
即CM→=CA→+AM→=CA→+12AB→，选项C正确；
选项D，由M为AB中点，可得AM→=MB→=CB→-CM→，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）关于函数f(x)=sin(2x+π3)，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．f(π2)=32
C．图象关于点(π3，0)对称
D．在[0，π6]上的最大值为1
【解答】解：选项A，T=2π2=π，故A正确；
选项B，f（π2）＝sin（2×π2+π3）＝﹣sinπ3=-32，故B错误；
选项C，∵f（π3）＝sinπ＝0，∴（π3，0）是f（x）的对称中心，故C正确；
选项D，当x∈[0，π6]时，2x+π3∈[π3，2π3]，
∴f（x）＝sin（2x+π3）的最大值为1．故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件A，“出现两个反面”为事件B，则（ ）
A．A+B为必然事件B．AB为不可能事件
C．A与B为互斥事件D．A与B为独立事件
【解答】解：同时抛掷两枚硬币的所有结果：正正，反反，正反，反正，共4个基本事件；
A+B不是必然事件，所以A不正确；
事件A与事件B不能同时发生，所以AB为不可能事件，所以B正确；
显然A与B是互斥事件，所以C正确；
A与B是同一个事件中不同的情况，所以不是独立事件，所以D不正确；
故选：BC．
（多选）12．（5分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝60°，AA1＝A1B1＝A1D1＝2，M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，则（ ）
A．D1N⊥BC
B．A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为34
C．三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面积为28π3
D．点A1到平面AMN的距离为2
【解答】解：对于A选项，连接B1D1，D1N，
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，且A1B1＝A1D1＝2，则A1B1C1D1为菱形，
因为∠D1A1B1＝60°，则∠B1C1D1＝60°，且B1C1＝C1D1＝2，故△B1C1D1为等边三角形，
因为N为B1C1的中点，则D1N⊥B1C1，因为BB1∥CC1且BB1＝CC1，
则四边形BB1C1C为平行四边形，所以，BC∥B1C1，故D1N⊥BC，故A正确；
对于B选项，过点C在平面ABCD内作CE⊥AB，垂足为点E，连接A1E1，

因为AA1⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，CE⊥AA1，
因为CE⊥AB，AB∩AA1＝A，AB、AA1⊂平面AA1B1B，
则CE⊥平面AA1B1B，所以A1C与平面AA1B1B所成角为∠CAE．
因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，
故∠BAC＝30°，由余弦定理可得AC=AB2+BC2-2AB⋅BC⋅cs120°
=22+22-2×22×(-12)=23，
因为CE⊥AB，则CE=12AC=3，因为AA1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
则AA1⊥AC，所以，A1C=AA12+AC2=22+12=4，
因为CE⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，则CE⊥A1E，
所以A1E=41C2-CE2=16-3=13，
所以，cs∠CA1E=A1EA1C=134，即A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为134，故B错误；
对于C选项，如下图所示：
圆柱O1O2的底面圆直径为2r，母线长为h，
则O1O2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则O为圆柱O1O2的外接球球心．且有（2r）2+h2＝（2R）2，
可将直三棱柱ABD﹣A1B1D1置于圆柱O1O2内，
使得△A1B1D1、△ABD的外接圆分别为圆O1，圆O2，
如图所示：
因为AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，则△ABD为等边三角形，
故圆O2的直径为2r=ABsin60°=232=433，
所以，三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的直径为2R=(2r)2+AA12=163+4=2213，
所以，三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面积为π⋅(2R)2=π×(2213)2=28π3，故C正确；
对于D选项，连接A1M，A1N，如下图所示：
因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
则AA1⊥AB，又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，则四边形AA1B1B为矩形，
所以，S△AA1M=12AA1•AB=12×2×2＝2，
因为CC1∥BB1，CC1⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，
则CC1∥平面AA1B1B，所以，点C1到平面AA1B1B的距离等于CE=3，
因为点N为B1C1的中点，则点N到平面AA1B1B的距离为12CE=32，
所以，VN-AA1M=13S△AA1M×32=33，
因为四边形AA1B1B为矩形，则AB⊥BM，因为AB＝2，BM＝1，
则AM=4B2+BM2=4+1=5，同理MN=MB12+B1N2=1+1=2，
在△A1B1N，A1B1＝2，B1N＝1，∠A1B1N＝120°，
由余弦定理可得A1N=A1B12+B1N2-2A1B1⋅B1Ncs120°=4+1-2×2×1×(-12)=7，
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，A1N⊂平面A1B1C1D1，
则AA1⊥A1N，所以，AN=AA12+A1N2=4+7=11，
所以，cs∠AMN=AM2+MN2-AN22AM×MN=5+2-1125×2=-105，
则sin∠AMN=1-cs2∠AMN=1-(-105)2=155，
所以，S△AMN=12AM•MNsin∠AMN=12×5×2×155=62，
设点A1到平面AMN的距离为d，由
VA1-AMN=VN-AA1M，得13S△AMN•d=33，所以，d=3S△AMN=3×26=2，
即A1到平面AMN的距离为2，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为 92 ．
【解答】解：8×0.8＝6.4，
故该组数据的第80百分位数为92．
故答案为：92．
14．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 3π3 ．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=22π=2πr，解得r＝1，l＝2．
∴圆锥的高h=l2-r2=3．∴圆锥的体积V=13πr2h=3π3．
故答案为3π3．
15．（5分）满足z2∈R，|z﹣i|＝1的一个复数z＝ 0或2i ．
【解答】解：设z＝a+bi，z2＝a2﹣b2+2abi，|z﹣i|＝|a+（b﹣1）i|，
根据题意，有ab＝0，a2+（b﹣1）2＝1，
若a＝0，则b＝0或2，若b＝0，则a＝0，
所以z＝0或2i．
故答案为：0或2i．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2π3，a＝4，D为BC的中点，AD=2，则△ABC的周长为 4+25 ．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccsA，即b2+c2+bc＝16，①
∵D为BC的中点，∴AD→=12(AB→+AC→)，
∴AD→2=14(AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→)，
∴b2+c2﹣bc＝8，②
由①②解得：b2+c2=12bc=4，
∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝12+2×4＝20，
∴b+c=25，∴a+b+c=4+25，
∴△ABC的周长为4+25．
故答案为：4+25．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在85cm～105cm为三类树，底部周长在105cm～125cm为二类树，底部周长大于或等于125cm为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：cm），数据均落在85cm～135cm之间，按照[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该片经济林中二类树约占多少；
（2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．
【解答】（1）解：因为10（0.007+0.018+0.039+a+0.015）＝1，
解得a＝0.021，
因为底部周长在105cm～125cm为二类树，
由图知0.039×10+0.021×10＝0.6，
则该片经济林中二类树木约占60%；
（2）若将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，
则90×0.07+100×0.18+110×0.39+120×0.21+130×0.15
＝6.3+18+42.9+25.2+19.5＝111.9cm．
故该经济林中树木的平均底部周长为111.9cm．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，M，N分别为AB，AC的中点．
（1）证明：MN∥平面PBC；
（2）证明：平面PMN⊥平面PAB．
【解答】证明：（1）因为M，N分别为AB，AC的中点，所以MN∥BC，
而MN不在面PBC，BC⊂面PBC，
所以可证得：MN∥面PBC；
（2）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥面PAB，
由（1）可得MN∥BC，所以MN⊥面PAB，
而MN⊂面PMN，
所以可证得：平面PMN⊥平面PAB．
19．（12分）已知向量a→=(3sinx，csx)，b→=(csx，csx)，函数f(x)=a→⋅b→-12．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f(α2)=-35，α∈(-π2，0)，求sinα．
【解答】解：（1）a→⋅b→=3sinxcsx+cs2x=32sin2x+12cs2x+12=sin(2x+π6)+12，
∴f(x)=sin(2x+π6)，
解-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；
（2）f(α2)=sin(α+π6)=-35，
∵α∈(-π2，0)，∴α+π6∈(-π3，0)，
∴cs(α+π6)=45，
∴sinα=sin[(α+π6)-π6]=32sin(α+π6)-12cs(α+π6)=32×(-35)-12×45=-3310-25．
20．（12分）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：
（1）试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；
（2）初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛．若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率．
【解答】解：（1）甲的平均分：（100+90+120+130+105+115）÷6＝110，
乙的平均分：（95+125+110+95+100+135）÷6＝110，
甲的方差：S甲2＝[（100﹣110）2+（90﹣110）2+（120﹣110）2+（130﹣110）2+（105﹣110）2+（115﹣110）2]÷6
＝175，
乙的方差：S乙2＝[（95﹣110）2+（125﹣110）2+（110﹣110）2+（95﹣110）2+（100﹣110）2+（135﹣110）2]÷6
=7003＞S甲2，
可见二人平均分一样，但甲更稳定，所以选甲；
（2）记该参赛者能进入复赛的事件为A，则事件A的数量为2×3+1＝7，事件总数为5×4÷2＝10，
所以P（A）=710．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinA=a(1+csB)．
（1）求B；
（2）若a=1，b=3，点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且∠ADC=2π3．求△ACD面积的最大值及此时点M的位置．
【解答】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理asinA=bsinB，得ab=sinAsinB，
因为3bsinA=a(1+csB)，所以3sinBsinA=sinA(1+csB)，
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，
所以3sinB=1+csB，
∴3sinB-csB=2sin(B-π6)=1，sin(B-π6)=12．
因为0＜B＜π，-π6＜B-π6＜5π6，所以B-π6=π6，
所以B=π3；
（2）在△ABC中，a＝1，b=3，由（1）知B=π3，
在△ABC 中，由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=ab×sinB=12，
因为a＜b，所以A＜B，
所以A=π6，C＝π﹣A﹣B=π2，
在△ABC中，因为c2＝a2+b2＝4，所以c＝2，
设AD＝x，CD＝y，
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD×CD×cs∠ADC，
得3=x2+y2-2xycs2π3=x2+y2+xy，因为x2+y2+xy≥2xy+xy＝3xy，
所以xy≤1，所以S△ACD=12xysin2π3=34xy≤34，
当且仅当x＝y＝1时等号成立．所以△ACD面积的最大值为34，
在△ACD中，因为AD＝1，CD＝1，∠ADC=2π3，所以∠ACD=π6，
在△BCD中，因为∠BCD=2π3，CD＝BC＝1，所以∠CBD=π6，
在Rt△BCM中，CM=BCtanπ6=33，
所以点M在AC边上靠近C的三等分点．
22．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，BC⊥侧面ABB1A1，AB＝2，AA1＝A1B1＝BB1＝BC＝CD＝1，E为CD的中点，F为棱AB上的点，C1F∥平面ADD1A1．
（1）证明：平面C1EF∥平面ADD1A1；
（2）求AF；
（3）求二面角C1﹣AB﹣C的大小．
【解答】解：（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
因为AB＝2，A1B1＝CD＝1，
所以C1D1CD=A1B1AB=12，
所以C1D1=12，
又因为E为CD的中点，
所以DE=12，
四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，DE∥C1D1，
所以四边形C1D1DE是平行四边形，
所以C1E∥DD1，
又C1E⊄面ADD1A1，DD1⊂面ADD1A1，
所以C1E∥面ADD1A1，
又因为C1F∥面ADD1A1，C1E⊂面C1EF，C1F⊂面C1F，C1E∩C1F＝C1，
所以面C1EF∥面ADD1A1．
（2）由（1）知面C1EF∥面ADD1A1，
又因为面C1EF∩面ABCD＝EF，面ADD1A1∩面ABCD＝AD，
所以AD∥EF，
又因为AB∥CD，
所以四边形ADEF是平行四边形，
所以DE＝AF，
由（1）知DE=12，
所以AF=12．
（3）在梯形ABB1A1中，过点B1作AB的垂线，垂足为M，连接EM，C1M，
因为A1B1＝AA1＝BB1＝1，AB＝2，
所以B1M=32，BM=12，
在梯形ABCD中，因为BM∥CE，BM＝CE，
所以四边形BCEM是平行四边形，
所以BC∥EM，
所以B1C1∥BC∥EM，
又因为BC⊥面ABB1A1，AB⊂面ABB1A1，
所以BC⊥AB，
所以EM⊥AB，
又因为B1M⊥AB，EM⊂面B1C1EM，B1M⊂面B1C1EM，EM∩B1M＝M，
所以AB⊥面B1C1EM，
又因为C1M⊂面B1C1EM，
所以AB⊥C1M，
所以二面角C1﹣AB﹣C的平面角为∠C1ME，
因为BC＝1，B1C1BC=12，
所以B1C1=12，
因为BC⊥面ABB1A1，B1M⊂面ABB1A1，
所以BC⊥B1M，
因为BC∥B1C1∥EM，
所以B1M⊥B1C1，B1M⊥EM，
在Rt△B1C1M中，B1C1=12，B1M=32，
所以∠B1MC1=π6，
所以∠C1ME=π3，
所以二面角C1﹣AB﹣C的大小是π3．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲的成绩（分）
100
90
120
130
105
115
乙的成绩（分）
95
125
110
95
100
135
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲的成绩（分）
100
90
120
130
105
115
乙的成绩（分）
95
125
110
95
100
135