新高一数学暑期衔接教材第16讲-函数的零点与应用问题

1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点；

2. 掌握常见类型函数的应用。

（以提问的形式回顾）

问题：已知二次函数

①求时的值.

②作出函数的简图，并观察方程的根与函数图象与轴交点之间的关系.

学生通过观察分析易得方程的根就是的图像与轴的交点横坐标.

【引入零点的定义，可以让学生自己去总结，教师进行补充.】

1.零点的定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点；

2.函数零点的求法： 求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以

借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点.

思考：如何判断函数在区间上是否存在零点.

【可借助于学生熟悉的二次函数图象和二次方程帮学生总结出函数零点存在的条件.】

问题：完成下表，回答问题：

3. 函数在区间上存在零点的条件：如果函数在区间上的图像是一条不间断的曲线，且，则函数在区间内有零点.

借助上面零点存在的条件，进一步引出二分法

4. 二分法：把函数零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值.这种方法叫做二分法.

练习：判断下列说法是否正确：

①任何函数都有零点;

②的零点是（-2,0）和;

③的零点是-2和5.　

解 ①错；  ②错；  ③对.

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 函数的零点是 （　　）

A.；　　B．；　　C．，；　　D．1，2．

解：由得，和2，所以选D．

注意零点的定义，它是方程的根，而不是点坐标

试一试：若函数在区间上的图象为连续的一条曲线，则下列说法正确的是（   ）

A．若，不存在实数使得；

B．若，存在且只存在一个实数使得；

C．若，有可能存在实数使得；

D．若，有可能不存在实数使得.

解：对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一，故选C.

例2. 某公司生产某种消防安全产品，年产量台时，销售收入函数（单位：百元），其成本函数满足（单位：百元）.已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）.

（1）求利润函数；

（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？

（3）在经济学中，对于函数，我们把函数称为函数的边际函数，

记作．对于（1）求得的利润函数，求边际函数；并利用边际函数

的性质解释公司生产利润情况（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）.

解：（1）由题意，，所以       

（2）  （，）

所以或       

（百元）

（3）（，）

边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大.

例3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

解：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，

设，显然在是减函数，

由已知得，解得

故函数的表达式为=

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立．

所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

（注意分段函数求最值时一定要先求每一段上的最值进行比较）

例4. 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

解：题意得xy＋x2＝8，

    ∴y＝＝(0<x<4).

    于是， 框架用料长度为

    l＝2x＋2y＋2()＝(＋)x＋≥4.

    当(＋)x＝，即x＝8－4时等号成立.

    此时， x≈2.343，y＝2≈2.828.

    故当x为2.343m，y为2.828m时， 用料最省.

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 已知函数f (x)在区间 [a，b]上单调，且f (a)•f (b)<0，则方程f (x)=0在区间[a，b]内（   ）.

   A.至少有一实根；    B.至多有一实根；     C.没有实根；       D.必有惟一实根.  

解：分析题目条件，判断函数f (x)是否与轴有交点，因为函数单调并且在端点函数值乘积小于0，所以存在惟一零点，所对应的方程有惟一实根，故选D.

2. 函数的实数解落在的区间是(     )     B

A．   B．   C．   D．

3. 若方程在区间上有一根，则的值为（  ）  C

A．    B．    C．     D． 

4. 某自来水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注水60吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水为120,吨（0≤t≤24）.

（1）问多少小时后蓄水池中的水量最少.

（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问每天有几小时出现这种现象.

解：求变量之间的关系，换元化归为二次函数区间上问题和二次不等式解法求解.

（1）设t小时后蓄水池水量为y吨,则y=400+60t-120(0≤t≤24).

换元法令x=,则y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,

当x=6,即t=6时，y有最小值40吨.供水6小时，水池中水最少为40吨.

（2）由400+10x2-120x<80，解得0〈x<4,即0〈<4,解得<t<,

故每天有8小时供水紧张.

5. 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d正比例于车速v（千米/小时）的平方和车身长的积（米），且最小车距不得小于半个车身长，假定车身长为均为S（米），且当车速为50（千米/小时），车距恰好为车身长（车流量即为1小时所通过的车辆数）.问交通繁忙时，应规定怎样的车速才能使此地的车流量最大？

解：理解车距和车流量概念，探求车距和车速的分段函数式，

从而构建车流量和车速的分段函数，研究其最值解决.

依题设，d=kv2S(k为系数)，代入待定系数有，

又，

∴， (千米/小时).

则车距d与车速v的关系为分段函数 ,

而车流量y=.

故车流量为车速的分段函数y= 

y1=,y2=.

车速为50千米/小时车流量最大.

本节课主要知识点：零点的定义，二分法求零点，函数应用问题

【巩固练习】

1. 设函数，则函数的零点是            .

答案：0，1  

2. 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是                .  

3. 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元。为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工。据估计，如果能动员户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为（）万元．

（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数的最大值．

解（1）由题意得 ，

即，解得，

又因为，所以；

（2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为万元，

从事蔬菜种植农民的年总收入为万元，

根据题意得，恒成立，

即恒成立。

又，所以恒成立，

而5（当且仅当时取得等号），所以的最大值为5.

【预习思考】

1．下面说法正确的选项    （    ）

A．函数的单调区间可以是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2．在区间上为增函数的是   （    ）

 A．  B．  

 C．        D．

3．函数是单调函数时，的取值范围 （    ）

 A．  B．  C ． D．

4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有  （    ）

 A．最大值        B．最小值  C ．没有最大值 D． 没有最小值

5．函数，是   （    ）

 A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与有关