新高一数学暑期衔接教材第12讲-函数的奇偶性

主    题

函数的奇偶性

教学内容

1. 掌握函数奇偶性的概念，并能判断简单函数的奇偶性；

2. 掌握函数的奇偶性和函数图像的关系。

1.  函数与的图像有什么共同特征？从对称的角度，你发现了什么？

把表填好，再观察表，你看出了什么？

结论：当自变量任意取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

偶函数：如果对于函数的定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数。

由上述定义可以知道，函数定义域关于原点对称式这个函数为偶函数的必要条件。

如果函数是偶函数，那么的图像关于轴成轴对称图形；反过来，如果一个函数的图像关于轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。

偶函数的定义及后面的结论教师可以向学生简单说明原因，有助于学生理解记忆。

2. 函数和又有什么共同特征呢？

把表填好，再观察表，你看出了什么？

结论：当自变量任意取一对相反数时，相应的两个函数值互为相反数。

奇函数：如果对于函数的定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数。

类比上述偶函数，也会发现奇函数的一些性质：

函数定义域关于原点对称式这个函数为偶函数的必要条件。

如果函数是奇函数，那么的图像关于原点对称；反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数必是奇函数。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 求证：函数是偶函数。

证明：函数的定义域是，在中任取一个实数，则有                                        ，

，，

因此，函数是偶函数。

试一试：求证：函数是奇函数。

证明：函数的定义域是，在中任取一个实数，则有

      ， 

因此，函数是奇函数。

小结：用定义判断函数奇偶性的步骤：

（1）先求定义域，看是否关于原点对称；

（2）再判断或是否恒成立。

例2.  设奇函数，，满足，则_______.

解析：-11 

试一试：已知是偶函数，定义域为.则      ，      

答案：

例3. 已知偶函数，当时，解析式为；则当时，的解析式为____________．

解析：设，则，

因为是偶函数，所以，所以当 时解析式为=

试一试：已知为奇函数，求的解析式？

解析：

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1.若为奇函数，则b=     .       0

2.若定义在区间上的函数为偶函数，则a=      .          -5

3．若函数是奇函数，，则的值为________ .    -3

4. 已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为_____． 0

5. 函数是（　　）

　A．偶函数　　 　B．奇函数　　 　　C．非奇非偶函数　　　 　D．既是奇函数又是偶函数

此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．　　答案：B

6. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

解：f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．

　　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，

　　∴f（x）＝x3－2x2＋1．

　　因此，

7. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，求函数f（x）的解析式．

解：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

可得，

联立，∴．

本节课主要知识点：函数奇偶性的判定方法，奇偶性的性质应用

【巩固练习】

1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（　　） A

　　A．奇函数　　　　B．偶函数　　　C．既奇又偶函数　　　　D．非奇非偶函数

2. 函数的图像关于（    ）      C

A．轴对称  B． 直线对称  C． 坐标原点对称  D． 直线对称

3. 已知函数为奇函数，若，则　　　　．  1

4. 已知函数，且，求的值

先证明是奇函数，然后可得

【预习思考】

1．如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？   

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大  气 温逐渐升高”这一特征？

问题3: 对于任意的、时，当时，是否都有呢?