新高一数学暑期衔接教材第11讲-函数的概念与关系式

主    题

函数的概念与关系式

教学内容

1. 加深理解函数的概念；

2. 掌握求解函数定义域的基本方法.

（以提问的形式回顾）

1. 初中阶段我们学过哪些函数？请分别画出他们的图像。

我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数。也会有学生说，常值函数也是可以的。

2. 对于二次函数当x值确定了，y值是否也唯一确定？，如果y值确定了（y>0），是否x值也唯一确定？

当x值确定了，y值就唯一确定。但y值确定了，x值并没有唯一确定。

探究一：

一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标.炮弹的射高为，且炮弹距离地面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的规律是：

思考1：这里的变量的变化范围是什么？变量的变化范围是什么？试用集合表示？

答：

思考2：高度变量与时间变量之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？

答：从问题的实际意义可知，对于数集中的任意一个时间，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的高度和它对应.所以它们的对应关系是函数。其中是自变量。

探究二：

近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

思考1：根据曲线分析，时间的变化范围是什么？臭氧层空洞面积的变化范围是什么？试用集合表示？

答：

思考2：时间变量与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？

答：对于数集中的任意一个时间，按照图中曲线，在数集中都有唯一确定的臭氧层空洞面积和它对应.而数集中的某些值却有多个和它对应，并不唯一确定。自变量是.

探究三：

思考1:从集合与对应的观点分析，上述两个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？

答：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的和它对应，记作.

思考2:上述两个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？

答：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中，叫做自变量，与值相对应的值叫做函数值.

思考3:在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？

答：自变量的取值范围叫做函数的定义域；函数值的集合叫做函数的值域.

思考4:在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？

答：值域是集合的子集.

思考5:一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

答：一个函数由定义域、对应关系、值域三个部分组成，称为函数的“三要素”；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；两个函数相等的条件是定义域相同，对应关系完全一致.

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 求下列函数的定义域：

；    ；      ；

解：（1）函数的定义域由不等式组所确定，解不等式组，得：

        所以函数的定义域为

（2）函数的定义域由不等式所确定，解不等式，得：

        所以函数的定义域为

（3）函数的定义域由不等式组确定，

         由，得：，由得：，

         所以函数的定义域为。

总结： 求函数的定义域时要注意以下几点：

     ①分母不能为零

     ②根号里面的式子应大于等于零。

试一试：求下列函数的定义域：

（1）        （2）

解：（1）解方程，得所求定义域为。

（2）解方程组，得所求定义域为。

例2. 已知，求的值.

解：

试一试：

解：

当时，

当时，。

例3. 已知.

（1）求①；②；③；

（2）与是同一函数吗？

解：（1）；

；

（2）不是同一函数，因为对应法则不同.

试一试：已知，求.

解：，

∴.

例4. 设函数,，求和函数.

解：对于的定义域，由，得到，

对于可得，

∴的定义域为.

∴.

（求函数的和或者积时，要注意函数的定义域是取交集所得.）

试一试：设函数, 求.

解：对于的定义域，由，得到，

对于由，可得，

∴的定义域为.

∴.

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 函数y＝＋的定义域是(　　)

A．[－1，1]    B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)     C．[0，1]    D．{－1，1}

答案：D

2. 函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数有(　　)

A．必有一个   B．一个或两个         C．至多一个      D．可能两个以上

答案：C

3. 函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是            

分析：定义域为R，说明x取任意实数，分母都不为零，也就是说的函数图像与x轴没有交点，且过（0，3）点。注意讨论a=0的情况。

答案：

4. 已知，求证：，.

解：，，

∴，即证.

5. 求一次函数f(x)，使f[f(x)]＝9x＋1.

设f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋1，比较对应项系数得，

⇒或，  ∴f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－.

本节课主要知识点：函数的三要素，定义域求解方法。

【巩固练习】

1. 设函数,若,则=           .

解：，，

∴（舍）；

，，

∴，∴；

，

.

综上.

2. 求下列函数的定义域．

(1)y＝x＋；　(2)y＝；  (3)y＝＋(x－1)0.

解：(1)要使函数y＝x＋有意义，应满足x2－4≠0，∴x≠±2，

∴定义域为{x∈R|x≠±2}．

(2)函数y＝有意义时，|x|－2>0，∴x>2或x<－2.

∴定义域为{x∈R|x>2或x<－2}．

(3)∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，

∴要使此函数有意义，只须x－1≠0，∴x≠1，∴定义域为{x∈R|x≠1}．

【预习思考】

1.  函数与的图像有什么共同特征？从对称的角度，你发现了什么？

把表填好，再观察表，你看出了什么？

2. 函数和又有什么共同特征呢？

把表填好，再观察表，你看出了什么？