重庆市西南大学附属2021-2022高一上学期数学期中试卷及答案

西南大学附中2021—2022学年度上期期中考试

高一数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，B={-2x-3<0}，则AB=（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 下列图形是函数图像的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3 已知，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 函数f(x)=1-的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（    ）

A  B.  C.  D.

7. 某工厂要在一个正三角形ABC的钢板上切割一个四边形的材料DCEF来加工，若AB=2，DC=，DCEF(如图)，则四边形DCEF面积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数是指数函数的有（     ）

A.  B.  C.  D.

10. 关于x不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（     ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

11. 命题“对任意x>0，都有mx+1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 对于定义在D函数f(x)若满足:

①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;

②对任意的，存在D，使得=.

则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”为（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 集合A={-ax+2=0}的子集有两个，则实数a=______.

14. 已知2=m，则36=_____.

15. 已知函数，则其单调增区间为_____.

16. 已知且，则的最小值为_______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算:

（1）+++

（2）15++-36

18. 已知集合A={x|2|x|m}，B={-+8x>0}，C={-2x-15=0}.

（1）若AC=A，求实数m的最小值;

（2）若，求实数m取值范围.

19. 冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y与x的函数关系为y=(0<a<1)，依据图中信息，回答下列问题：

（1）写出从药物喷洒开始，y与x的函数关系式;

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.0001克以下时，工人才可以进入厂区，那么从药物喷洒开始，至少需要经过多少小时后，工人才能回到厂区?

20. 已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).

（1）判断y=f(x)的奇偶性并证明;

（2）若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.

21. 已知函数y=f(x)的定义域为R，且对一切xR都有f(x)+2f(-x)=-(+1)x+3a恒成立.

（1）求函数y=f(x)的解析式;

（2）求关于x的不等式f(x)>0的解集.

22. 已知函数.

（1）判断f(x)的单调性，并用定义法证明;

（2）设函数g(x)=f(|x|)，且存在x[-1，1]，使得成立，求实数a的取值范围.

西南大学附中2021—2022学年度上期期中考试

高一数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，B={-2x-3<0}，则AB=（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先解出集合A和B,再求.

【详解】因为，，

所以.

故选：A

2. 下列图形是函数图像的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的定义，对四个选项一一判断.

【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.

对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；

对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；

对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；

对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；

故选:C

3. 已知，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.

【详解】对于A选项，若，则，A错；

对于B选项，取，，，，则，B错；

对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对；

对于D选项，取，，，，则，D错.

故选：C.

4. 函数f(x)=1-的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用反比例型函数值域求法求解.

【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为，

所以，则，

所以函数f(x)=1-值域为，

故选：A

5. 已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a的范围.

【详解】因为在上单调递减，且最小值为-1.

所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，

只需，解得：.

故选：C

6. 已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由得到，进而求出.

【详解】由得：，所以

故选：A

7. 某工厂要在一个正三角形ABC的钢板上切割一个四边形的材料DCEF来加工，若AB=2，DC=，DCEF(如图)，则四边形DCEF面积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出高线，设EF=x，表达出高，四边形DCEF面积，配方求出最大值.

【详解】过点F作FG⊥BC于点G，因为DCEF，所以△AEF是等边三角形，设EF=x，，则AF=x，BF=2-x，所以，所以四边形DCEF面积为,故当时，取得最大值，最大值为.

故选：B

8. 已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】函数的图象关于直线对称的充要条件是，利用此充要条件逐一判断即可.

【详解】对于A

因为为偶函数

所以

即

即

即的图象关于直线对称

而的图象是由的图象向左平移个单位得到的

所以的图象关于直线对称

所以A正确

对于B

构造函数则

所以，显然其图象不关于对称

故B错误

对于C

构造函数则

所以，显然其图象不关于对称

所以C错误

对于D

构造函数则

所以，显然其图象不关于对称

所以D错误

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数是指数函数的有（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.

【详解】解：对于A，函数不是指数函数，

对于B，函数是指数函数；

对于C，函数是指数函数；

对于D，函数不是指数函数.

故选：BC.

10. 关于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（     ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

【答案】AC

【解析】

【分析】在限定条件下讨论的取值情况，从而判断解集中x的个数

【详解】由题(其中xZ，a)，当时，，解得，即解集中有3个元素；

当时，，故，解集中只有一个解，即解集中只有1个元素；

故选：AC

11. 命题“对任意x>0，都有mx+1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】对任意x>0，都有mx+1>0，即，求得的范围，即可得解.

【详解】解：因为对任意x>0，都有mx+1>0，

所以，

又，所以，

所以.

故选：BCD.

12. 对于定义在D函数f(x)若满足:

①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;

②对任意的，存在D，使得=.

则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于四个选项中的函数，分别验证是否满足题干中的两个条件，特别是条件②，A选项，对任意的，存在满足要求；B选项，对任意的，则存在满足要求；C选项，对任意的，存在满足要求.

【详解】A选项，，若，则，则，同理，则，则，

对任意的，存在，使得，

对任意的，则存在，使得，

综上：满足条件①②，故是“等均值函数”，A正确；

B选项，，定义域为，，

对任意的，存在，使得，符合要求，故B正确；

C选项，，定义域为R，且，对任意的，存在，使得，C符合要求，故C正确；

D选项，，定义域为，不能使得对于任意的均有，故D选项不合题意，舍去

故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 集合A={-ax+2=0}的子集有两个，则实数a=______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得集合中仅有一个元素，则方程只有一个解，从而有，即可得出答案.

【详解】解：因为A={-ax+2=0}的子集有两个，

所以集合中仅有一个元素，

所以方程只有一个解，

所以，解得.

故答案为：.

14. 已知2=m，则36=_____.

【答案】

【解析】

【分析】由换底公式化简计算

【详解】，由换底公式得

又

故答案为：

15. 已知函数，则其单调增区间为_____.

【答案】##

【解析】

【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性，即可得到答案；

【详解】，函数的定义域为，

令，则当单调递减，在单调递增，

，在定义域内单调递增，

在在单调递增，

故答案为：

16. 已知且，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】将已知等式化为，由得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.

【详解】由得：，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.
故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算:

（1）+++

（2）15++-36

【答案】（1）154    （2）3

【解析】

【分析】（1）利用指数幂运算求解；

（2）利用对数的运算求解.

【小问1详解】

解：，

；

小问2详解】

，

.

18 已知集合A={x|2|x|m}，B={-+8x>0}，C={-2x-15=0}.

（1）若AC=A，求实数m的最小值;

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1）5    （2）

【解析】

【分析】（1）由并集结果得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围，得到m的最小值；（2）由交集结果分与进行分类讨论，求出m的取值范围.

【小问1详解】

由题有，若，则，则

可知，解得：，所以的最小值为.

【小问2详解】

，由，则

①当时，；

②当时，，有，从而有

综上：数m的取值范围是.

19. 冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y与x的函数关系为y=(0<a<1)，依据图中信息，回答下列问题：

（1）写出从药物喷洒开始，y与x的函数关系式;

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.0001克以下时，工人才可以进入厂区，那么从药物喷洒开始，至少需要经过多少小时后，工人才能回到厂区?

【答案】（1）   

（2）至少需要经过11小时后工人才能回到厂区

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法分别求出两段函数的函数解析式，即可得出答案；

（2）根据题意应该在药物喷洒完成，药物释放一定时间方可进入厂区，可得，结合（1）即可得出答案.

【小问1详解】

解：由于在药物的喷洒过程中，与成幂函数关系，

故设，将点代入得：

，解得，

则当，；

药物的喷洒后，又将点代入中，

，解得，

所以则当时，.

综合；

【小问2详解】

由题，应该在药物喷洒完成，药物释放一定时间方可进入厂区，

所以有，即解得，

20. 已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).

（1）判断y=f(x)的奇偶性并证明;

（2）若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.

【答案】（1）奇函数，证明见解析   

（2）118

【解析】

【分析】（1）令，结合题意根据奇偶性的定义即可得出结论；

（2）令，可得，再结合函数的奇偶性分别求出即可得出答案.

【小问1详解】

解：为奇函数，

证明：令，则有，

所以，故为奇函数；

【小问2详解】

解：令，则；

又，令，则，

即，

所以，则，

，

，

，

所以所求式子的值为.

21. 已知函数y=f(x)的定义域为R，且对一切xR都有f(x)+2f(-x)=-(+1)x+3a恒成立.

（1）求函数y=f(x)的解析式;

（2）求关于x的不等式f(x)>0的解集.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意有，消去，即可得出答案；

（2），分类讨论，即可得出答案.

【小问1详解】

解：由题，

消去，得；

【小问2详解】

解：由(1)有，

①当时，；

②当时，

1)若，即时，解为或；

2)若，即时，解为或；

③当时，

1）若，即时，解为；

2）若，即时，解为；

综合有：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或；

当时，解集为或.

22. 已知函数.

（1）判断f(x)的单调性，并用定义法证明;

（2）设函数g(x)=f(|x|)，且存在x[-1，1]，使得成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）单调递增，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）定义法证明函数单调性；（2）对不等式进行变形得到存在，使得，即，结合第一问函数的单调性，求出的最小值，利用对勾函数求出的最大值，从而得到答案.

【小问1详解】

单调递增，理由如下：

由题可知，的定义域为R，设；

因为单调递增，又，所以，

又，所以，

所以单调递增

【小问2详解】

，

即

因为单调递增，所以

所以原名题等价于存在，使得

即，

因为单调递增，所以当时，

令，则

可证在上递增，所以，故，所以实数a的取值范围是.