重庆市西南大学附属中学2023届11月高三期中质检数学试题含答案

重庆市西南大学附属中学2023届11月期中质检

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数的模是（    ）

A.    B.    C.0    D.1

2.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.函数的图象大致是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（    ）

A.11        B.13       C.15       D.17

5.把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号的，那么不同分法种数为

A. 240     B. 144    C. 196    D. 288

6．已知，且，则

A． B． C． D．

7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是

A． B． C． D．

8．正边形内接于单位圆O，任取其两个不同顶点，则的概率是

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题正确的有（    ）

A．若，则     B．若，则

C．若，则             D．，则

10．已知为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（    ）

A．           B．双曲线C的渐近线方程为

C．双曲线C的离心率为     D．

11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质），则（    ）

A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增

C. 数列的前5项和等于 D. 数列为等比数列

12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面，下面说法正确的是（    ）

A. 若NDD1中点，当AM+MN最小时，CM=

B. 当点M与点C1重合时，若平面截正方体所得截面图形面积越大，则其周长就越大

C. 若点M为CC1中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为

D. 直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知均为实数．若，则_____.

14.已知的图象向右平移个单位后得到的图象.则函数 的最大值为_____；若值域为，则的最小值为_____.

15．设随机变量，满足．若，则_____．

16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________（第一空2分，第二空3分）．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．

18．（12分）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．

（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；

（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．

20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．

（1）证明：平面；

（2）若，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21.（12分）在平面直角坐标系中，，直线､相交于点，且它们的斜率之积是.

（1）求点的轨迹方程；

（2）过的直线与的轨迹交于两点，试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，证明：.

重庆市西南大学附属中学2023届11月期中质检

数学答案

选择题：DCCCBCBB BD CD AD AC

填空题：13. 0  14. 15．3/2  16．2；29.9

解答题：

17．（10分）解：因为

所以                                  

设函数的周期为，由题意可知，即

解得           

因此函数的解析式       

（2）由可得,即，解得，

因为，所以   

因为角的平分线交于，所以,  

即

可得 ，     

由余弦定理得：，，可得

因此.   

18．（12分）解：（1）设等差数列的公差为，由得：；

整理得    

因为，，成等比数列

所以

故（舍去），或

又由

解得，，满足条件．

故．    

（2）由（1）得

所以  

所以，

所以

则

两式相减得：

所以 

19．（1）3次向A桶投球投进2次的概率．

．

令，得．

当时，；当时，．

∴在上单调递增，在单调递减，

∴所以的最大值点．

（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为．

设投进A桶的纯收入为X元，；

设投进B桶的纯收入为Y元，；

设投进C桶的纯收入为Z元，；

因为

所以游客甲选择向B桶投球更有利．

20．（1）证明：取中点F，连接．

∴，

∴四边形为菱形，四边形为平行四边形．

∴，

∴．

又∵，

∴平面．

又∵平面，

∴．

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

（2）∵平面，

∴，

∴．

又∵，

∴，

又∵，

∴底面是直角梯形．

以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则．

，．

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

由得取．

∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21.（1）解：设点的坐标为，其中，

则直线的斜率为，直线的斜率为，

由已知有，化简得点的轨迹方程为.

（2）解：点在圆外，理由如下：

若直线与轴重合，则该直线与曲线无公共点，

故可设，另记，

联立，可得，

由韦达定理知，

，

则有

其中无解，则，故，

即点在以为直径的圆外.

22.（1）的定义域为.

①当时，当或时，单调递增；

当时，单调递减.

②当时，当或时，单调递减；

当时，单调递增.

（2）由，得，

因为，所以，

令，则，

设，则，

所以在上单调递增，

又因为，

（由（1）知当时，，所以当时，，

即.）

所以，存在，使得，即.

所以，当时，单调递减；

当时，单调递增，

所以，

所以，

所以.

设，

则，

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，所以.