2022-2023学年重庆市西南大学附属中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市西南大学附属中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.

【详解】由题意知：图中阴影部分表示，而 ，

故，

故选：D．

2．已知 .则（    ）

A．5 B．11 C．18 D．21

【答案】A

【分析】由题意可知,将代入中，即可求得答案.

【详解】由题意令，则，

故，

故选：A.

3．已知集合，，则集合的真子集个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据集合的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解.

【详解】依题意，集合中有个元素，则其真子集的个数有个.

故选：C

4．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求的范围，再求的范围.

【详解】因为，所以，

而，所以.

故选：B

5．函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质列不等式，由此求得的取值范围，

【详解】二次函数的开口向上，对称轴，

由于在区间上单调递减，所以，

即的取值范围是.

故选：B

6．函数的图象如图所示.则不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】由图可知方程的两根分别为1和2，且，然后利用根与系数的关系表示出，代入中化简求解可得答案.

【详解】由图可知方程的两根分别为1和2，且，

所以，得，且，

所以可化为，

所以，

所以，解得，

所以不等式的解集为，

故选：D

7．的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由根式求得函数的定义域，再用换元法将函数转化为二次函数，由此利用二次函数的值域的求法即可求得函数的值域.

【详解】因为函数，所以，则，

令，则，所以，

因为开口向下，对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得最大值为，最小值为负无穷，

所以的值域为.

故选：A.

8．已知偶函数的定义域为R，当x[0，）时， ，则的解集为（    ）

A．（0，2） B．（，）

C．（，0）（2，） D．（，）（，）

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

【详解】解：当时，

，

当增大时，减小，减小，

故在上单调递减，

因为是偶函数，

所以，

，

，

解得：或．

故选：C．

9．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足下列条件：

①对任意的实数，都有；

②对任意的实数，都有；

③.则下列说法正确的有（    ）

A．

B．

C．函数在上单调递减

D．不等式> 0的解集为

【答案】A

【分析】选项A，令，代入求解即可判定；选项B，由函数是奇函数，可判定；选项C，任取，，结合，即可判定；选项D，结合函数的单调性，以及，即可求解判定.

【详解】选项A，令，正确；

选项B，由函数是定义在R上的奇函数，，错误；

选项C，任取，，

即，又，故，

故，即，即函数在上单调递增，错误；

选项D，由选项B，函数在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上也单调递增，又，故当时，的解为，当时，由，的解为，故不等式> 0的解集为，错误.

故选：A

二、多选题

10．下列说法正确的是（    ）

A． 与是同一个函数

B．若函数的定义城为，则函数的定义域为

C．函数的最小值是2

D．已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

【答案】BD

【分析】化简函数解析式判断A，根据抽象函数的定义域判断B，化简并换元后根据对勾函数的单调性判断C，根据必要不充分条件转化为集合的真子集关系求解.

【详解】对于A，与的解析式不同，不是同一个函数，故错误；

对于B，函数f（x + 1）的定义城为，所以，所以的定义域为，故正确；

对于C，，令，则在上单调递增，所以当，时，，故错误；

对于D，设，，由是的必要不充分条件知，所以，故正确.

故选：BD

11．若 ，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．  C． D．  

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质或作差法判断大小关系.

【详解】对于A：因为，所以，故，故A正确；

对于B：当时，不成立，故B错误；

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：因为，所以不能判断正确，故大小不能确定，故D错误.

故选：AC.

12．，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的是（    ）

A．函数为偶函数

B．若有7个根，则

C．当时，有

D．当时，

【答案】ACD

【分析】A选项，画出的图象，得到，从而根据函数奇偶性定义进行判断；

B选项，在同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到，B错误；

C选项，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合得到答案；

D选项，观察图象得到当时，，令，由题意可知：，故.

【详解】在同一直角坐标系中，作出的函数图象，如图所示：

则的图象如下：

从图象可知：，

当时，，

当时，，故，

故为偶函数，A正确；

在同一坐标系内画出与的图象，

显然当经过点时，即时，两函数图象有5个交点，

数形结合，要想有7个根，则，B错误；

当时，，故，

令，解得：，将与的图象画在同一坐标系内，

数形结合可得：当时，有，C正确；

从的图象可以看出，当时，，即当时，，

令，由题意可知：，故，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．函数的定义域为_________ .

【答案】

【分析】此题考查函数的定义域，根据分母不为和被开方数大于等于即可得到结果.

【详解】要使函数有意义，则，即且，

的定义域为.

故答案为：[-2,0)

14．不等式的解集是 _________ .

【答案】

【分析】通分后转化为一元二次不等式求解．

【详解】不等式化为，所以，或．

所以不等式的解集为．

故答案为：．

15．已知x > 0，y > 0，，则的最小值为 _________ .

【答案】

【分析】化简原式为，再利用基本不等式求解.

【详解】原式=

（当且仅当时等号成立）

,

（当且仅当时等号成立）

综合得当时，原式取到最小值.

故答案为：

四、解答题

16．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 _________ .

【答案】

【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.

【详解】因为命题“”为假命题，

所以命题“”为真命题，

因为集合，当时，集合，符合；

当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，

综上所述：实数的取值范围为，

故答案为：.

17．已知不等式 的解集为.

(1)求实数的值

(2)若，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）由解集可得一元二次不等式的两个解，有韦达定理可求得实数的值.

（2）由（1）可知的值，利用基本不等式求得的最小值.

【详解】（1）由不等式 的解集为可得.所以代入得.

当时， 的解集为，符合题意.

所以.

（2）由（1）可知，所以，由，所以当且仅当

，即时等号成立.所以的最小值为10.

18．已知集合，.

(1)若时，求，；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1),。

(2)

【分析】（1）先解分式不等式，再求交集和并集即可；

（2）分和两类情况讨论即可.

【详解】（1）由得，，

即，即，

所以，解得：，

所以，

当时，，

所以，.

（2）若，则，

①若，则，即.

②若，则有，解得.

综上:.

19．已知定义在上的函数满足:.

(1)求函数的表达式；

(2)若不等式在上恒成立.求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；

（2）该不等式是一个一元二次不等式，其对应的函数开口向上，要使在上恒成立，只需对应函数两个端点满足即可.

【详解】（1）将的替换为得，

联立

解得

（2）不等式为，化简得，

要使其在上恒成立，则，

解得.

20．已知函数定义在上的奇函数，且.

(1)求a，b；

(2)判断函数f（x）在上的单调性并加以证明；

(3)解不等式.

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解；

（2） 结合函数的单调性的定义即可判断；

（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．

【详解】（1）∵函数定义在上的奇函数.且，

∴，且，

∴；

（2）由（1）知，，在上单调递增，

理由如下：设，

则，

∵，∴，，，

∴，即，

所以在上的单调递增；

（3）∵，

∴，又为奇函数，

∴，又在上的单调递增，

∴，解得，

故不等式的解集为.

21．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，.

(1)求，的值；

(2)当x < 0时，求函数f（x）的表达式；

(3)若函数f（x）的图象与直线y =kx四个不同的交点，求实数k的取值范围.

【答案】(1)，.

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将代入函数解析式即可得的值，同理可得（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得（1）的值；

（2）设，则，由函数的解析式分析的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；

（3）若函数f（x）的图象与直线y =kx四个不同的交点，则函数的图象与直线有四个不同的交点，由数形结合法分析即可得答案．

【详解】（1）根据题意，当x≥0时，，

则，，

又由函数为偶函数，则，

∴；

（2）设，则，

则有，

又由函数为偶函数，

则，

则当时，；

（3）由（2）可知，，

函数f（x）的图象与直线y =kx四个不同的交点，

即方程有四个不等的实根，

又不适合上式，∴，

记，

问题等价于函数的图象与直线有四个不同的交点，

作出二者图象，

由图象可知，，

∴实数k的取值范围.

22．已知函数.

(1)函数在上的最小值为，求函数的表达式；

(2)若. 关于x的方程有两个不等的实根，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由二次函数的图像性质，比较对称轴与的关系，分别讨论、、即可；

（2）由得，令，讨论、时t的单调性，则原命题等价于关于t的方程的根满足或，

时可直接代入方程求出k；时列式求解即可

【详解】（1）二次函数的对称轴为，开口向上，

i. 当时，最小值；

ii. 当时，最小值；

iii. 当时，最小值

综上，

（2）由得，，令，故，

当时，为增函数，故；当时，（即时取等号），故在单调递减，单调递增.

根据t的单调性，关于x的方程有两个不等的实根等价于关于t的方程的根满足或.

i. 当时，代入方程可得；

ii. 当时，有，即解得.

综上，实数k的取值范围为

【点睛】求函数根的个数问题，一般采取换元法，令，则根的个数转化为与t，与x的对应关系问题，再分别讨论即可