山西省2022年普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)

山西省2022年普通高中学业水平考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，，则(   )

A. B. C. D.

2、设，，，则(   )

A. B. C. D.

3、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(   )

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

4、已知l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是(   )

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

5、函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6、如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数a的取值范围是(   )

A.  B.

 C.  D.

7、函数的图像是(   )

A.  B.

C.  D.

8、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么下列说法正确的是(   )

A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于点对称

C.函数为奇函数 D.函数的图象关于直线对称

9、已知平面内一点P及，若，则P与的位置关系是(   )

A.P在外部 B.P在线段AB上

C.P在线段AC上 D.P在线段BC上

10、已知正方体的棱长为2,E,F分别是棱BC,的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若面AEF，则线段的长度范围是(   )

A. B. C. D.

二、填空题

11、已知i是虚数单位，复数______.

12、已知，且，则______.

13、甲､乙､丙三位同学站成一排照相，则甲丙相邻的概率为______.

14、已知，，则的最小值为___________

15、已知函数，若，则________.

16、若不等式对一切恒成立，则a的最小值是__________.

17、半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_________

三、解答题

18、如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是______.

①若甲､乙射击成绩的平均数分别为，则

②若甲､乙射击成绩的方差分别为，则

③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数

④乙比甲的射击成绩稳定

19、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；

（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.

20、在中，内角A,B,C的对面分别为a,b,c，且满足.

（1）求C；

（2）若，求b及的面积.

21、已知函数.

（1）求的最小正周期：

（2）求在区间上的最大值和最小值.

22、如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为中点.

（1）求证：平面ACE；

（2）求证：.

23、为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）

(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

参考答案

1、答案：B

解析：集合，，，则，

故选：B

2、答案：B

解析：，.

故选：B.

3、答案：C

解析：当两个球都为黑球时， “至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故A中的两个事件不互斥；

当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与 “至少有一个红球”同时发生，故B中的两个事件不互斥；

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故C中两个事件互斥而不对立；

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故D中两个事件对立.

故选：C.

4、答案：A

解析：A选项：由线面垂直的性质定理可知A正确；

B选项：由线面垂直判定定理知，l需垂直于内两条相交直线才能说明，B错误；

C选项：若，则平行关系不成立，C错误；

D选项：l,m的位置关系可能是平行或异面，D错误.

故选：A

5、答案：D

解析：由题意，不妨设，因为，

所以，化简得.

故选：D.

6、答案：B

解析：，解得：，

所以成立的充分不必要条件是，

故是的真子集，

所以或，

解得：，

故实数a的取值范围是.

故选：B

7、答案：A

解析：由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与x轴的交点是，

故函数的图象与x轴的交点是，即函数的图象与x轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.

故选：A.

8、答案：C

解析：由题意得：；

对于A，的最小正周期，A错误；

对于B，当时，，不是的对称中心，B错误；

对于C，，为奇函数，C正确；

对于D，当时，，不是的对称轴，D错误.

故选：C.

9、答案：B

解析：因为，

所以

所以点P在线段AB上

故选：B

10、答案：D

解析：由题意，取的中点G，的中点H，连接，，GH，，，

作图如下：

在正方体中，易知，，，

则A,E,F,共面，平面，平面，

平面，同理可得：平面，

，平面平面，

当平面时，平面，

正方体的棱长为2，

在中，，解得，同理，

在中，，解得，

则中边GH上的高，

即，

故选：D.

11、答案：

解析：

故答案为：

12、答案：

解析：.

故答案为：.

13、答案：

解析：甲､乙､丙三位同学站成一排照相，基本事件总数为：，

甲丙相邻包含的基本事件总数为：

则所求概率为：

故答案为：

14、答案：

解析：因为，，且，所以有：

，当且仅当时取等号，即，时取等号，

故答案为：.

15、答案：-7

解析：根据题意有，可得，所以，故答案是-7.

16、答案：.

解析：不等式对一切成立，

等价于对于一切成立.

设，则.

因为函数在区间上是增函数，

所以，所以，所以a的最小值为.

故答案为：.

17、答案：

解析：由题可得，因为半径为R的半圆卷成一个圆锥，

所以该圆锥的底面半径满足，解得.

所以圆锥的高为.

所以该圆锥的体积为.

故答案为：

18、答案： ③④

解析：由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.

甲､乙射击成绩的平均数分别，

则，

，

所以，所以①错误；

从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，

即，所以②错误；

甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以③正确；

因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以④正确.

故答案为：③④

19、答案：(1) 数据的70%分位数估计值为77.5

(2) 160人

解析：（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，

从而有：样本中分数小于70的频率为，

又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，

所以样本数据的70%分位数必定位于之间.

计算为：

所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.

（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为，

从而有，样本中分数不小于70的男生人数为，

进而得，样本中的男生人数为，女生人数为，

所以总体中女生人数为(人).

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）因为，

由正弦定理得，

因为，所以，且易知

所以，又，

所以.

（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，

，

即，

因为，解得，

所以.

21、答案：(1)最小正周期为

(2)当，即时，取得最小值-1

解析：（1）因为

，

故最小正周期为       

（2）因为，所以.   

于是，当，即时，取得最大值2；

当，即时，取得最小值-1.

22、答案：(1)见解析

解析：证明：（1）设AC与BD交于点O，接OE，

底面ABCD是菱形，

O为DB中点，

又因为E是的中点，

，

面，平面

平面ACE.

（2）底面ABCD是菱形，

，

底面ABCD，底面ABCD，

，且，平面.

平面.

平面，

.

23、答案：(1)

(2)该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元

解析：（1）当时，，

当时，，

所以.

（2）当时，，当时，，

当时，，

当且仅当，即时取“”，显然，

所以，当，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.