湘教版七年级下学期期末数学试卷-(含解析)

这是一份湘教版七年级下学期期末数学试卷-(含解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，图形操作与证明，实践与应用等内容，欢迎下载使用。
七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a2﹣1） B．a（a﹣1）2
C．a（a+1）2 D．a（a+1）（a﹣1）
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6 B．a6•a3＝a18
C．a3•a3＝2a3 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
4．如图四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．在下列各式中，运算结果为x2的是（　　）
A．x4﹣x2 B．x6÷x3 C．x4÷（﹣x）2 D．x•（﹣x）2
6．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF等于（　　）

A．115° B．130° C．120° D．65°
7．下列四个说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．平移不改变图形的形状和大小，但改变图形的位置
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
8．把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（　　）
A．x（3x+y）（x﹣3y） B．3x（x2﹣2xy+y2）
C．x（3x﹣y）2 D．3x（x﹣y）2
9．如图，下面结论正确的是（　　）

A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是内错角
C．∠3和∠4是同旁内角 D．∠1和∠4是内错角
10．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（　　）
A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（a+2b）（ 　 　）＝a2﹣4b2．
12．将整式3x3﹣x2y+x2分解因式，则提取的公因式为　 　．
13．已知一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的平均数是 　 　，中位数是 　 　．
14．若多项式x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值为 　 　．
15．已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，则∠AOC＝　 　度，∠COB＝　 　度．

17．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”（大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马拉3片瓦，3匹小马拉1片瓦，问大马和小马各多少匹？）
若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为 　 　．
18．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　 　（用a、b的代数式表示）．

三.解答题（第19题8分，第20、21题每小题8分，共20分）
19．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
20．（6分）因式分解：
（1）x3y﹣2x2y2+xy3；
（2）2a3﹣18a．
21．（6分）已知|x+2|+（y﹣1）2＝0，求（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2的值．
四、图形操作与证明（第22题6分，第23题题6分，共12分）
22．（6分）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．

23．（6分）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．

五、实践与应用（第24题6分，第25题8分，共14分）
24．（6分）在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年级参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的赋分依次为100分，90分，80分，70分．该校发展处的陈主任将七年级和八年级的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中八年级成绩在80分及其以上的人数是　 　人；
（2）求出下表中a，b，c的值；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
87.6
b
100
138.24
八年级
a
90
c
106.24
（3）学校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你的理由．
25．（8分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．含有三个求知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．第二个方程是二次方程，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
2．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a2﹣1） B．a（a﹣1）2
C．a（a+1）2 D．a（a+1）（a﹣1）
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故选：D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6 B．a6•a3＝a18
C．a3•a3＝2a3 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方解决此题
【解答】解：A．根据合并同类项法则，由a3+a3＝2a3，故A不符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，由a6•a3＝a9，故B不符合题意．
C．根据同底数幂的乘法，由a3•a3＝a6，故C不符合题意．
D．根据积的乘方以及幂的乘方，由（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D符合题意．
故选：D．
4．如图四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A的标志内找到这样的一条直线，使这个图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B、C、D中的标志内不能找到这样的一条直线，使这个图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它们不是轴对称图形；
故选：A．
5．在下列各式中，运算结果为x2的是（　　）
A．x4﹣x2 B．x6÷x3 C．x4÷（﹣x）2 D．x•（﹣x）2
【分析】选项A根据同类项的定义以及合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项B、C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项D根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：A．x4与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；
C．x4÷（﹣x）2＝x4÷x2＝x2，故本选项不合题意；
D．x•（﹣x）2＝x•x2＝x3，故本选项不合题意；
故选：C．
6．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF等于（　　）

A．115° B．130° C．120° D．65°
【分析】根据折叠前后角相等可知．
【解答】解：∵∠1＝50°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝180°﹣（180°﹣50°）÷2＝115°
故选：A．
7．下列四个说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．平移不改变图形的形状和大小，但改变图形的位置
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】根据对顶角、平移的性质和平行线的性质和判定解答．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，说法错误，不符合题意；
B、平移不改变图形的形状和大小，但改变图形的位置，说法正确，符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，说法错误，不符合题意；
D、在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误，不符合题意；
故选：B．
8．把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（　　）
A．x（3x+y）（x﹣3y） B．3x（x2﹣2xy+y2）
C．x（3x﹣y）2 D．3x（x﹣y）2
【分析】先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：3x3﹣6x2y+3xy2，
＝3x（x2﹣2xy+y2），
＝3x（x﹣y）2．
故选：D．
9．如图，下面结论正确的是（　　）

A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是内错角
C．∠3和∠4是同旁内角 D．∠1和∠4是内错角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．
【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、∠2和∠3的邻补角是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、∠3和∠4是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠4是内错角，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
10．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（　　）
A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+2”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，
∴an＝2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+2．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（a+2b）（ 　a﹣2b　）＝a2﹣4b2．
【分析】根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：根据平方差公式得：（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2＝a2﹣4b2，
故答案为：a﹣2b．
12．将整式3x3﹣x2y+x2分解因式，则提取的公因式为　x2　．
【分析】直接利用公因式的定义结合提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：3x3﹣x2y+x2
＝x2（3x﹣y+1），
故提取的公因式为：x2．
故答案为：x2．
13．已知一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的平均数是 　5　，中位数是 　5　．
【分析】将数据从小到大重新排列，再根据中位数和平均数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为3、4、5、6、7，
所以这组数据的中位数为5，平均数为＝5，
故答案为：5，5．
14．若多项式x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值为 　6和﹣6　．
【分析】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2＝x2﹣kxy+（3y）2，
∴kxy＝±2x×3y，
解得k＝±6．
故答案为：6和﹣6．
15．已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　．
【分析】方法一：首先解二元一次方程组，解得x、y，然后求得x﹣y；方法二：直接让两个方程相减，即可求解．
【解答】解：方法一：，
解这个方程组得：，
∴x﹣y＝﹣1．
方法二：两个方程相减，得
x﹣y＝﹣1．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，则∠AOC＝　52　度，∠COB＝　128　度．

【分析】由已知条件和观察图形可知∠EOD与∠DOB互余，∠DOB与∠AOC是对顶角，∠COB与∠AOC互补，利用这些关系可解此题．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
又∠EOD＝38°，
∴∠DOB＝90°﹣38°＝52°，
∵∠AOC＝∠DOB，
∴∠AOC＝52°，
∵∠COB与∠AOC互补，
∴∠COB＝180°﹣52°＝128°．
故答案为：52；128．
17．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”（大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马拉3片瓦，3匹小马拉1片瓦，问大马和小马各多少匹？）
若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为 　　．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故答案是：．
18．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　ab　（用a、b的代数式表示）．

【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，

解得，

②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．
故答案为：ab．
三.解答题（第19题8分，第20、21题每小题8分，共20分）
19．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）两个方程相减消去未知数x即可求解；
（2）①×2+②，消去未知数x即可求解．
【解答】解：（1），
①﹣②，得9y＝﹣18，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，得3x﹣10＝5，
解得x＝5，
故方程组的解为；
（2），
①×2+②，得﹣9y＝﹣9，
解得y＝1，
把y＝1代入①，得2x﹣5＝﹣3，
解得x＝1，
故方程组的解为．
20．（6分）因式分解：
（1）x3y﹣2x2y2+xy3；
（2）2a3﹣18a．
【分析】（1）直接提取公因式xy，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式2a，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝xy（x2﹣2xy+y2）
＝xy（x﹣y）2；

（2）原式＝2a（a2﹣9）
＝2a（a+3）（a﹣3）．
21．（6分）已知|x+2|+（y﹣1）2＝0，求（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2的值．
【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）﹣5y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2
＝﹣2x2﹣6xy，
∵|x+2|+（y﹣1）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣2，y＝1，
则原式＝﹣8+12＝4．
四、图形操作与证明（第22题6分，第23题题6分，共12分）
22．（6分）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．

【分析】直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．
【解答】解：如图所示：

23．（6分）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．

【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
五、实践与应用（第24题6分，第25题8分，共14分）
24．（6分）在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年级参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的赋分依次为100分，90分，80分，70分．该校发展处的陈主任将七年级和八年级的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中八年级成绩在80分及其以上的人数是　20　人；
（2）求出下表中a，b，c的值；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
七年级
87.6
b
100
138.24
八年级
a
90
c
106.24
（3）学校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你的理由．
【分析】（1）根据题意和扇形统计图中的数据，表格中的数据，可以计算出此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数；
（2）根据题意和表格中的数据，可以计算出a、b、c的值；
（3）根据表格中的数据，可以得到选择哪一个班参加，本题答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）此次竞赛中八年级成绩在80分及其以上的人数是：（11+1+9+4）×（1﹣20%）＝20（人），
故答案为：20；
（2）由七年级比赛成绩统计图可知，一共有25个数据，按从大到小的顺序排列后，第13个数据是80，所以中位数b＝80，
每个年级参加比赛的人数相同，八年级参加的人数是：11+1+9+4＝25，
a＝100×24%+90×48%+80×8%+70×20%＝87.6，
c＝90，
即a＝87.6，b＝80，c＝90；
（3）选择八年级参加，
理由：由表格可知，两个班的平均数相同，八年级的中位数高于七年级，并且八年级的方差小于七年级，学生成绩发挥比较稳定，故选择八年级．
25．（8分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
（2）（方法一）合买笔芯，合算，
小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．
两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．
∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，
∴他们合在一起购买笔芯（合算），既买到各自的文具，又都买到小工艺品；
（方法二）合买笔芯，单算，
小贤购买完文具后剩余钱数为0.5×3+2＝3.5（元），3.5＞3；
小艺购买完文具后剩余钱数为0.5×7＝3.5（元），3.5＞3．
∴他们合在一起购买笔芯（单算），既买到各自的文具，又都买到小工艺品．