2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利高级中学高二（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  李同学有件不同颜色的衬衣、件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李同学不同的选择服装的方式有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2.  从名候选人中选派出人参加，，活动，且每项活动有且仅有人参加，甲不参加活动，则不同的选派方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

3.  (    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的清明，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是，连续两天下雨的概率是，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  复学后，某学校贯彻“科学防疫”，实行“戴口罩，间隔不相邻坐”一排个位置仅安排小华、小明等名同学就坐，且小华要坐在小明左侧，则不同的安排方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书、箱语文书到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失的是哪一箱，现从剩下的箱中任意打开两箱，两箱都是英语书的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动含，轴正半轴上的整点，其运动规律为或若该动点从原点出发，经过步运动到点，则有种不同的运动轨迹．(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知首项为正数的数列为等差数列，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(    )

A. 课程“射”“御”排在前两周，共有种排法
B. 某学生从中选门，共有种选法
C. 课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法
D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法

11.  若二项式的展开式共有项，则(    )

A.  B.
C. 第项为 D. 展开式中常数项是

12.  已知函数，使在定义域内恒成立的充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知随机变量，满足：，，且，则 ______

14.  已知等比数列的前项和为，且，则____．

15.  盒中有个小球，其中个白球，个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为，则      ，      ．

16.  已知函数满足，且当时，，设，，，则、、的大小关系是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设，求是多少；
设，若，求展开式中二项式系数最大的项是多少．

18.  本小题分
年月日是第个世界粮食日中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地测产，亩产超过公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，研发了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产现从试生产的产品中随机抽取了件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．
若将频率作为概率，从该产品中随机抽取件产品，记“抽出的产品中至少有件不是废品”为事件，求事件发生的概率；
若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；
若该产品的质量指标值与每件产品的利润单位：元的关系如下表：

试写出每件产品的平均利润的解析式．

19.  本小题分
设函数在及时取得极值．
求，的值；
若对于任意的，都有成立，求的取值范围．

20.  本小题分
在，；，；，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，．
求数列，的通项公式；
记，求数列前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21.  本小题分
年春节期间，湖北武汉爆发了新型冠状病毒肺炎，国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩，一时间各种品牌的口罩蜂拥而出，为了保障人民群众生命安全和身体健康，市某质检部门从药店随机抽取了包某种品牌的口罩，检测其质量指标．

求所抽取的包口罩质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
已知口罩的质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；
将频率视为概率，若某人从某药店购买了包这种品牌的口罩，记这包口罩中质量指标值位于内的包数为，求的分布列和方差．
附：计算得所抽查的这包口罩的质量指标的标准差为；
若，则，．

22.  本小题分
已知函数，．
Ⅰ若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；
Ⅱ设函数当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围为自然对数底数

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，李同学有件不同颜色的衬衣、件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，
即衬衣的选法有种，裙子的选法有种，又有套不同样式的连衣裙，
则有种不同的选择服装的方式，
故选：．
根据题意，分析李同学衣服搭配的方式，由加法原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的不同，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若甲参加活动：种，
若甲不参加活动：种，
所以不同的选派方案有种．
故选：．
分情况讨论：甲参加活动或甲不参加活动，分别利用组合以及排列数即可求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
根据二项式定理，计算化简即可．
本题考查二项式定理，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：清明节当天下雨为事件，第二天下雨为事件，，，
则．
故选：．
直接利用条件概率公式计算即可求解得到答案．
本题主要考查了条件概率的应用，考查了学生的计算能力及应用能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，甲班必须排在前三位，分种情况讨论：
，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，
此时有种安排方案；
，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，
此时有种安排方案；
、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，
此时有种安排方案；
则一共有种安排方案；
故选：．
根据题意，按甲的位置分种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，一排个位置仅安排小华、小明等名同学就坐，还有个空座位，
先把个空座位安排好，排好后有个空档可选，在其中任选个，安排人，要求小华要坐在小明左侧，
则有种不同的安排方法；
故选：．
根据题意，个位置安排给人，有个空座位，在个空座位的空档中任选个，安排人，要求小华要坐在小明左侧即可，由排列数公式计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，
用表示丢失的第箱，，，分别表示英语书、数学书、语文书，
由全概率公式，得：
．
故选：．
由全概率公式即可直接求出结果．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意知，该动点从原点出发，第一次运动到，第二次从点运动到或，依此类推，最后到达，如图所示．
则不同的运动轨迹有：
；
或；
一共有种不同的运动轨迹．
故答案为：．
故选：．
该动点从原点出发，第一次运动到，第二次从点运动到或，依此类推，最后到达，如图所示即可得出．
利用数形结合思想，分析各种运动情况，确定运动途径．
 

9.【答案】 

【解析】解：等差数列中，，
所以；
即，
所以，
所以；
又因为，所以且，，
所以，选项A正确，选项B正确，选项D正确；
又，所以选项C错误．
故选：．
根据等差数列的定义与性质，结合题意得出、且，由此判断即可．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，课程“射”“御”排在前两周，共有种排法，故A错误；
对于，某学生从中选门，共有种选法，故B正确；
对于，课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确；
对于，门课程任意排列，共种排法，
课程“乐”排在第一周，共种排法，课程“御”排在最后一周，共种排法，
课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周，共种排法，
故课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．
故选：．
根据排列的知识，即可判断，根据组合的知识，即可判断．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为二项式的展开式共有项，则，故A正确，B错误；
二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，则展开式的第项为，故C正确，
令，则展开式的常数项为，故D正确．
故选：．
根据二项式定理求出的值，由此即可判断选项A，，求出二项式的展开式，分别令，，进而可以判断选项C，．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，得，
当时，，函数在上为减函数，
又当时，，不满足在函数定义域内恒成立；
当时，由，解得．
当时，，当时，．
在上为减函数，在上为增函数，
．
由，得，即．
的取值范围是，
结合选项可得：BD正确．
故选：．
求出原函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于求得的范围，进而求解结论．
本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，解得，
所以，．
故答案为：．
由求出，然后利用方差的性质算出答案即可．
本题考查的是二项分布的方差的计算方法和方差的性质，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
由已知结合等比数列的通项公式可求公比，首项，代入即可求解．
【解析】
解：设公比为，
由，
可得，
两式相除可得，，，
则．
故答案为：  

15.【答案】

【解析】解：表示取出的为一个白球，，
表示取出两个黑球，，
表示取出的为一个白球，，
表示取出个球为白球，，
，
故答案为：；．
根据古典概型概率公式求得概率，期望即可．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由知，的图象关于对称，
又当时，是增函数，
所以，是减函数，
又，，
所以，即．
故答案为：．
将，，转化到函数的同一个单调区间内再比较．
本题考查函数的单调性、对称性，考查学生灵活运用函数性质解决相关问题的能力．
 

17.【答案】解：在中，
令，得，
令，得，
所以
所以
所以；
由题可知，，
令，则有，
令，则有，
n=3-1，解得，
则的展开式中二项式系数最大为，
则二项式系数最大的项为． 

【解析】本题根据二项式定理的性质，即可求得．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，
件产品为废品的概率为，
则；
由频率分布直方图得指标值大于或等于的产品中，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
利用分层抽样抽取的件产品中，的有件，
的有件，的有件，
从这件产品中，任取件，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：

．
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元的关系与表所示，

每件产品的利润：
，． 

【解析】设事件的合格率为，则根据概率分布直方图求出一件产品为合格或合格以上等级的概率，由此能求出事件发生的概率．
由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的件产品中，的有件，的有件，的有件，从这件产品中，任取件，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元的关系，从而求出每件产品的利润，．
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、利润最大值的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：方法一：函数，求导，．
函数在及时取得极值，则，则，
解得．
．
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
函数在及时取得极值．
，；
方法二：由函数，求导，．
函数在及时取得极值，
则，是方程的两个根，则，则，，
．
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
函数在及时取得极值．
，；
由可知：．
令，解得，，
令，解得：或，令，解得：，
故函数在区间，上单调递增；在区间上单调递减．
函数在处取得极大值，且．
而，，
函数在区间上的最大值为．
对于任意的，都有成立，
，由，解得或．
的取值范围是． 

【解析】本题考查导数的运用，考查求函数单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．
方法一：根据已知条件可得关于，的方程组，解出并验证即可；
方法二：由题意可得：，是方程的两个根，根据根于系数关系即可求得和的值，并验证即可；
利用导数先求出函数在区间上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值．又已知要求的问题：对于任意的，都有成立，进而解出即可．
 

20.【答案】解：方案一：选条件
，，，，，
，
解得或舍去，
，
，；
，
，
，
，


，
；
方案二：选条件
，，，，，
，，解得或舍去，
，
，
；
，
，
，
，


，
；
方案三：选条件
，，，，，
，
解得或舍去，
，
，
；
，
，
，
，


，
． 

【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入，通过基本公式求出首项，公差，公比即可；数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．
本题考查了等差，等比数列的通项公式和错位相减求和，属于中档题．
 

21.【答案】解：所抽取的包口罩质量指标值的样本平均数为．
服从正态分布，且，
，
，
落在内的概率是．
根据题意得，，，，．
的分布列为：

． 

【解析】利用频率分布表直接求解所抽取的包口罩质量指标值的样本平均数即可．
服从正态分布，且，，求解落在内的概率．
说明，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，正态分布的应用，是基本知识的考查．
 

22.【答案】解：，
由于直线的斜率为，
则，即，解得．
所以，
令，解得，则在上单调递减；
令，解得，则在上单调递增；
当时，取得极小值，
综上，极小值为，无极大值；
令，
则，
依题意，函数在区间上的最小值小于零，
令，得或．
当，即时，在上单调递减，
则的最小值为，
，解得，
，
，
当，即时，在上单调递增，
则的最小值为，
，解得，
，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
，
，
，此时不成立，
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算的值，求出，从而求出的单调区间，求出函数的极值即可；
Ⅱ令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．