2022-2023学年黑龙江省七台河市重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年黑龙江省七台河市重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知点是角终边上一点，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  ，，，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  的内角，，的对边分别为，，已知，，若该三角形有两个解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知的三边分别是，，，设向量，且，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知等边的边长为，为它所在平面内一点，且，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则(    )

A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 为奇函数
D. 为偶函数

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，则(    )

A. 当时， B. 的最小值为
C. 当时， D. 当时，

10.  设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为(    )

A. 当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B. 若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C. 若复数是纯虚数，则
D. 在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则

11.  在中，内角，，所对的边分别为，，若，，则下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 为钝角三角形

12.  设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别为，，，则正确的是(    )

A. 为的外心
B. 为的重心
C. 为的垂心
D. 为的内心

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则的值为______ ．

14.  设复数，满足，，则______．

15.  函数在上的单调递增区间是______ ．

16.  设的内角，，所对的边分别为，，，，则面积的最大值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，，，，以所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．

18.  本小题分
已知向量，，设，．
求的值；
求，夹角的大小．

19.  本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，且．
求；
若是线段的中点，且，，求的面积．

20.  本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的周长的取值范围．

21.  本小题分
已知．
求的单调区间；
已知，对总存在，使得成立，求的取值范围．

22.  本小题分
为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户将自己的一块直角三角形地按如图规划成个功能区：区域规划建设果园和养殖土鸡土鸭等，区域规划建设小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．区域规划为农家乐区域，规划建餐厅、儿童小型乐园以及住宿农舍．为安全起见，在农家乐区域周围筑起护栏．已知，，，．
若时，求护栏的长度的周长；
为了更大区域的进行养殖和发展三农产业，规划使得农家乐区域占地面积最小，怎样设计的大小，使的面积最小，并求出最小面积是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为点是角终边上一点，
所以，，
所以．
故选：．
直接利用任意角的三角函数的定义可求，的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：
故选：．
作图，根据条件利用平面向量加减法的运算法则表示即可．
本题考查了向量加减法的表示，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，即，
则，，，
，
．
故选：．
利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用二倍角公式求得 的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．
利用对数函数和指数函数的性质求解即可．

【解答】

解：，，
，，
，，即，
，
故选D．

5.【答案】 

【解析】解：该三角形有两个解，
，即，
．
故选：．
由三角形有两个解，可得，解之即可．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：的三边分别是，，，设向量，且，
，
由正弦定理得：，
整理，得，
．
．
故选：．
由向量平行，得，由正弦定理得：，从而，由此利用余弦定理能求出角的大小．
本题考查角的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证、分析与解决问题的能力，考查函数与方程思想，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设为线段的中点，连接，则由向量模的三角不等式得，即，
，
在中，，代入 得
．
故选：．
利用三角不等式，建立所求向量的模的不等式，其中向量、的和要应用向量的加法做出来，再解三角形求长度．
求在已知几个向量运算结果的模的约束条件下，求其中某个向量模的最值，一般要应用向量模的三角不等式建立起关于目标的绝对值不等式求解．同时对向量的加减法运算要熟练，会应用解三角形的知识求边长．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的部分图象，可令，
它的经过点，，，
故
令，求得，不是最值，故A、都错误；
由于，故不是奇函数，故C错误；
由于，故是偶函数，故D正确，
故选：．
由定点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再利用函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由定点的坐标求出的值，函数的图象和性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
当时，，故，故A正确；
，，
其最小值为，故B错误；
当时，，则，，故C正确；
当时，，解得，则，故D错误．
故选：．
由已知结合向量共线定理判断；利用二次函数求得的最小值判断；由向量垂直与数量积的关系判断；由已知求解，进一步求得判断．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确；
对于，若复数在复平面上对应的点位于直线上，，，所以B错误；
对于，若复是纯虚数，则，，所以C正确；
对于，，，或，所以D错误．
故选：．
由得，然后逐个分析判断即可．
本题考查复数的概念及其几何意义，还考查了计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，得，
又，得，
两式作比得：，
所以，故A正确，
由，得，
由余弦定理，得，故B错误，
由于，可得为钝角，故D正确，
由于，可得，故C正确．
故选：．
由正弦定理得，结合，得，可判断，再由，得，代入余弦定理的推论可求的值，可判断，由，可判断，利用正弦定理可求的值，可判断，从而得解．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当为三角形的外心，由正弦定理可得：，故A错误；
B.当为三角形的重心，为中线的交点，延长交于点，可得，
所以，，
反之，取中点，若，则，
则可得，，三点共线且，即为三角形的重心．故B正确；
C.当为三角形的垂心，，，，
，同理可证，即，反之也成立，故C正确；
D.当为三角形的内心，，为三角形的角平分线，则，
如图过作的平行线交的延长线于点，过作的平行线交于点，则四边形为平行四边形，

 ，
所以，，反之也成立，故D正确；
故选：．
由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出结果．
本题考查了向量的线性表示，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
则，即，
故，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，先求出，再结合二倍角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
又，
，
可得，
，可得．
故答案为：．
由已知可得，平方求得，可得，则答案可求．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】和 

【解析】解：函数，
令，，
所以，，
因为，
所以或，
所以函数在上的单调递增区间是和．
故答案为：和．
先利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后由正弦函数的单调性进行分析求解即可．
本题考查了三角函数的性质的运用，主要考查了二倍角公式以及辅助角公式的应用，正弦函数的单调性的运用，考查了化简运算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理可得，
，
即，
由余弦定理可得，，
，当且仅当时取等号，
解可得，即的最大值为，此时三角形的面积最大．
故答案为：
由已知结合正弦定理及和角公式进行化简可求，然后结合余弦定理及基本不等式可求的最大值，再结合三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中等试题．
 

17.【答案】解：过点作，垂足为以所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，

这两个圆锥高的和为，
底面半径，
故

即所得旋转体的表面积为，体积为 

【解析】由已知三角形为直角三角形，斜边为轴旋转一周，所得旋转体是边的高为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．
本题考查圆锥的体积和表面积，考查转化能，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
，，，
．
，
，
同理可得，，
，，
，，
故，的夹角为． 

【解析】由平面向量的坐标运算可得，，，再由，展开进行运算，即可得解；
根据，，再分别求解，，，即可．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由，
可得，
即为，
即，
因为，所以，
因为
所以内角；
因为是线段的中点，
所以，
所以，
即有，
即为，
解得或舍去，
所以的面积为． 

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
由正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理可得所求角；
由向量的中点表示和向量数量积的定义和性质，解方程可得，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．
 

20.【答案】解：由正弦定理得，，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，，
为锐角三角形，，
，．
在中，，，
由正弦定理得，
，，
，
，，

．
为锐角三角形，
，，，
，

即周长的取值范围是． 

【解析】本题考查利用正弦定理解决范围与最值问题、正弦定理及变形、三角恒等变换的综合应用，属于困难题．
由正弦定理、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、诱导公式，化简，从而求出的值，结合的取值范围求出的大小．
由正弦定理求出周长关于角的表达式，利用两角差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，由正弦函数的性质求出周长的取值范围．
 

21.【答案】解：，
令，，
，，
的单调递减区间为，，
令，，
，，
的单调递增区间为，，
由题意得，值域值域，
，，，，
，，
当时，，，
，，
当时，，，
，，
当时，，，
，不等式组无解，
综上，的取值范围为． 

【解析】先得到，再求单调区间．
先得到值域值域，再分别求出的值域和的值域即可．
本题主要考查正弦函数的单调性和值域的求法，二次函数值域的求法，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，，所以，可得，
所以，由直角三角形可得，
在中，由余弦定理可得：
，
则，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以护栏的长度的周长为；
设，则，
在中，由正弦定理，可得，
又在中，由，得，
所以
，
，则，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为． 

【解析】求得，，利用直角三角形的几何性质可得，利用余弦定理可求得，利用勾股定理分析得出，再结合锐角三角函数的定义可求得、的长度，即可得解；
利用正弦定理求得、关于的表达式，利用三角恒等变换化简的面积关于的表达式，利用正弦型函数的基本性质可求得面积的最小值．
本题主要考查解三角形的实际应用，函数模型的建立等知识，属于中等题．