2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. cos(−510°)的值为(    )
A. 32 B. − 32 C. 12 D. −12
2. 在空间直角坐标系中，a=(−2,m,3),b=(3,1,2),a⊥b，则m的值为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. −1
3. 已知复数z满足(2+i)z=2−4i，则z的虚部为(    )
A. −2i B. 2i C. −2 D. 2
4. 已知椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>0,n>0)，离心率e= 32，则下列选项中不满足条件的为(    )
A. x24+y2=1 B. x28+y22=1 C. x22+y2=1 D. x2+4y2=1
5. 设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为(    )

A. 12−p,12 B. p,12 C. 12−p,14 D. p,14
6. 根据如下样本数据得到回归直线方程y=b x+a ，其中b=9，则x=7时y的估计值是(    )
x
2
3
4
5
y
25
38
50
55

A. 73.5 B. 64.5 C. 61.5 D. 57.5
7. 由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为(    )
A. 42031 B. 42103 C. 42130 D. 42301
8. 已知数列{an}满足an+1=3an，且a1=−1，则数列{an+2n}的前5项和为(    )
A. −151 B. −91 C. 91 D. 151
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若f(x)=cosx+2xf′(π6)，则(    )
A. f′(π6)=−12 B. f′(π6)=12 C. f′(π3)=1− 32 D. f′(π3)=1+ 32
10. “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0～9的写法依次为〇、刂、川、㐅、δ、亠、、、攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“〇”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着的“亠〇”代表距离始发车站的里程为60公里.已知每隔3公里摆放一个里程碑，A点处里程碑上刻着“川攵”，B点处里程碑上刻着“㐅”，则(    )
A. 从始发车站到A点的所有里程碑个数为14
B. 从A点到B点的所有里程碑个数为16
C. 从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987
D. 从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984
11. 如图所示，一个平面图形ABCD的直观图为A′B′C′D′，其中O′A′=O′C′=1，O′B′=O′D′=2，则下列说法中正确的是(    )

A. 该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B. 该平面图形的面积是8
C. 该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是16π3
D. 以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为 17
12. 已知直线l：mx−y−m+2=0与圆C：x2+y2=9相交于A，B两点，则(    )
A. 直线l过定点(1,2)
B. 若△ABC的面积取得最大值，则m=−1
C. AC⋅AB的最小值为8
D. 线段AB的中点在定圆上
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (3x3−1x)6展开式中x2的系数为______ ．
14. 已知f(x)=1+ae2x−1是奇函数，则实数a= ______ ．
15. 如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线E的一部分，设该双曲线E的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且|CF|=3|FB|，点B关于原点O的对称点为点A，若AF⋅BF=0，则双曲线E的离心率为______ ．


16. 已知函数f(x)=eˣlnx−aeˣ(a∈R)，若f(x)在定义域上单调递增，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcosx．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[−π12,π2]上的值域．
18. (本小题12.0分)
设{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Tn，且a1=b1=1，S3=9，T3=7．
(Ⅰ)求{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求Tn−Sn的最小值．
19. (本小题12.0分)
2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)完成如表的2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男


55
女



合计



(2)若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望和方差．
附表：
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
20. (本小题12.0分)
如图所示，在三棱锥S−ABC中，SC⊥平面ABC，SC=3，AC⊥BC，CE=2EB=2，AC=32，CD=ED．
(1)求证：DE⊥平面SCD；
(2)求平面ASD与平面CSD的夹角余弦值；
(3)求点A到平面SCD的距离．

21. (本小题12.0分)
在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，c=2，过点(0,b)与(a,0)的直线的斜率为− 33．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当|MN||PF|取最大值时，求直线MN的方程．
22. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ae2x+(1−x)ex+a(a∈R)．
(1)当a=e−22时，求g(x)=f′(x)e2−x的单调区间；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1 ①求a的取值范围；
②证明：x1+2x2>3．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：cos(−510°)=cos510°=cos(360°+150°)
=cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=− 32．
故选B
利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：在空间直角坐标系中，a=(−2,m,3),b=(3,1,2),a⊥b，
∴a⋅b=−6+m+6=0，
解得m=0．
故选：A．
利用向量垂直的定义直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：(2+i)z=2−4i，
则z=2−4i2+i=(2−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=−2i，其虚部为−2．
故选：C．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：由x24+y2=1，可得a=2，b=1，∴c= a2−b2= 3，故离心率e= 32，故A正确；
由x28+y22=1，可得a=2 2，b= 2，∴c= a2−b2= 6，故离心率e= 62 2= 32，故B正确；
由x22+y2=1，可得a= 2，b=1，∴c= a2−b2=1，故离心率e=1 2= 22，故C不正确；
由x2+4y2=1，可得x2+y214=1，可得a=1，b=12，c= a2−b2= 32，故离心率e= 32，故D正确．
故选：C．
根据椭圆的几何性质，求解即可判断每个选项的正确性．
本题考查椭圆的离心率，属基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：根据题意，且P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)=1−2p2=12−p，
由正态曲线得ξ～N(1,(12)2)，所以D(ξ)=14．
故选：C．
根据题意和正态曲线即可求得P(0<ξ<1)，又根据正态曲线可得ξ～N(1,(12)2)，进而即可求得D(ξ)．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：自变量x的平均数x=4+2+3+54=3.5，自变量y的平均数y=25+38+50+554=42，
∵线性回归直线方程y =b x+a 过样本中心点(x−,y−)，其中b =9，
∴42=9 ×3.5+a ，即a =10.5，
∴当x=7时，y =9×7+10.5=73.5．
故选：A．
根据线性回归直线方程y =b x+a 过样本中心点(x−,y−)，其中b =9，求得a =10.5，把x=7代入即可求解．
本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，属于中档题．

7.【答案】C 
【解析】解：①当万位是1或2时，共有A44=2×24=48个数，
②当万位是3，千位是0，1，2，4时，共有A33=4×6=24个数，
③当万位是4，千位是0，1时，共有2A33=2×6=12个数，
④当万位是4，千位是2，百位为0，1时，共有2A22=2×62=4个数，
∴共有48+24+12+4=88个数，
故第88个数为42130．
故选：C．
先讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计算即可．
本题考查了排列、组合的运用，考查了分类讨论思想的运用，是中档题．

8.【答案】B 
【解析】解：∵数列{an}满足an+1=3an，且a1=−1，
∴数列{an}是首项为−1，公比为3的等比数列，
∴an=−1×3n−1=−3n−1，
∴数列{an+2n}的前5项和为S5=(−30+2)+(−31+4)+(−32+6)+(−33+8)+(−34+10)=(−30−31−32−33−34)+(2+4+6+8+10)=−1×(1−35)1−3+(2+10)×52=−121+30=−91．
故选：B．
由等比数列的定义判断出数列{an}为等比数列，再使用分组求和法求解，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

9.【答案】BC 
【解析】解：由f(x)=cosx+2xf′(π6)，得f′(x)=−sinx+2f′(π6)，
则f′(π6)=−sinπ6+2f′(π6)，解得f′(π6)=sinπ6=12，B正确，A不正确；
所以f′(x)=−sinx+1，
则f′(π3)=−sinπ3+1=− 32+1，故C正确，D不正确．
故选：BC．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查了函数的求导，属于基础题．

10.【答案】ABD 
【解析】解：由题意知，A点处里程碑刻着数字39，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，
对于选项A，从始发车站到A点的所有里程碑个数为393+1=14，即选项A正确；
对于选项B，从A点到B点的所有里程碑个数为84−393+1=16，即选项B正确；
对于选项C，从A点到B点的所有里程碑上的数字之和为16×39+16×152×3=984，即选项C错误；
对于选项D，从A点到B点的所有里程碑上的数字之和为16×39+16×152×3=984，即选项D正确．
故选：ABD．
先阅读题意，然后结合等差数列的通项公式及等差数列前n项和公式逐一判断即可得解．
本题考查了等差数列的通项公式及等差数列前n项和公式，重点考查了阅读理解能力，属基础题．

11.【答案】BC 
【解析】解：如图所示将直观图还原为平面图形，

由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形，即A错误；
面积S=12×4×4=8，即B正确；
将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，
故体积V=2×13×π×22×2=163π，即C正确；
以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为 8+8+32=5，即D错误．
故选：BC．
对于AB选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于CD根据几何体的体积公式和对角线计算即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．

12.【答案】ACD 
【解析】解：直线l：mx−y−m+2=0即直线m(x−1)−y+2=0，
联立x−1=0−y+2=0，解得x=1，y=2，
∴直线l过定点(1,2)，故A正确；
若△ABC的面积取得最大值，则AC⊥BC，可得C(0,0)到直线l：mx−y−m+2=0的距离为3 22，
即|−m+2| m2+1=3 22，解得m=−1或m=−17，故B错误；
AC⋅AB=AC⋅(AC+CB)=AC2+AC⋅CB=9+AC⋅CB，
原点C到点(1,2)的距离为 5，此时cos∠ACB=2×( 53)2−1=19，
则(AC⋅CB)min=3×3×(−19)=−1，可得AC⋅AB的最小值为8，故C正确；
联立y=mx−m+2x2+y2=9，得(1+m2)x2−2m(m−2)x+(m−2)2−9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=2m(m−2)1+m2，y1+y2=m(x1+x2)−2m+4=4−2m1+m2，
设AB的中点坐标为(x,y)，则x=m2−2m1+m2y=2−m1+m2，消去m，可得x2+y2−x−2y=0．
∴线段AB的中点在定圆上，故D正确．
故选：ACD．
由直线系方程求得直线所过定点坐标判断A；由三角形面积取得最大值，可得原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求解m值判断B；求出向量数量积的最小值判断C；联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系求出AB的中点的轨迹方程判断D．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】135 
【解析】解：(3x3−1x)6展开式的通项公式为Tr+1=(−1)r×C6r×36−r⋅x18−4r，
令18−4r=2，解得r=4，
所以含x2的项的系数为(−1)4×C64×36−4=135．
故答案为：135．
根据二项式展开式的通项公式Tr+1=(−1)r×C6r×36−r⋅x18−4r，令18−4r=2，解出r即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．

14.【答案】2 
【解析】解：由题意得f(x)=−f(−x)，所以1+ae2x−1=−1−ae−2x−1，
解得a=2．
故答案为：2．
利用奇函数的定义f(x)=−f(−x)代入函数式，化简即可求出所要的a值．
本题主要考查了奇函数的定义，属于基础题．

15.【答案】 102 
【解析】解：设双曲线的左焦点为F1，
连接AF、AF1，BF1，
则四边形AF1BF为矩形，
设|BF|=t，|CF|=3t，
由双曲线的性质可得：|BF1|=2a+t，|CF1|=2a+3t，
∵△CBF1为直角三角形，
∴|BC|2+|BF1|2=|CF1|2，
∴(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2，
∴t=a，
又∵△BFF1为直角三角形，
∴a2+9a2=4c2，
∴c2a2=52，
∴ca= 102．
故答案为： 102．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．

16.【答案】(−∞,1] 
【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=eˣ(lnx+1x−a)，
因为f(x)在定义域上单调递增，所以f′(x)=eˣ(lnx+1x−a)≥0在(0,+∞)上恒成立，
又eˣ>0，所以lnx+1x−a≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≤lnx+1x，
设g(x)=lnx+1x，原问题等价于求g(x)在(0,+∞)上的最小值，
因为g′(x)=1x−1x2=x−1x2，
所以当01时，g′(x)>0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=1，
所以a≤1，即实数a的取值范围是(−∞,1]．
故答案为：(−∞,1]．
采用参变分离法，可将原问题转化为a≤lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，设g(x)=lnx+1x，再利用导数求出g(x)在(0,+∞)上的最小值，即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，理解函数的单调性与导数的正负性之间的关系，熟练掌握参变分离法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)因为f(x)=sin2x+ 3sinxcosx
= 32sin2x+12(1−cos2x)
= 32sin2x−12cos2x+12
=sin(2x−π6)+12，
即f(x)=sin(2x−π6)+12
函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z，
即f(x)在[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z上单调递增，
所以函数f(x)的最小正周期为π，单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3],(k∈Z)．
(2)因为x∈[−π12,π2]，则2x−π6∈[−π3,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[− 32,1]，
所以sin(2x−π6)+12∈[− 32+12,32]，
所以f(x)在区间[−π12,π2]上的值域为[− 32+12,32]． 
【解析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数f(x)即可求解；
(2)由x的取值范围求出2x−π6的范围，再借助正弦函数性质即可求解．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．

18.【答案】解：(Ⅰ)设{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)，
则S3=9=3+3×22d，解得d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
由T3=7=b1+b2+b3=1+q+q2，
解得q=2或q=−3(舍)，
所以bn=2n−1．
(Ⅱ)由题可知Sn=n(1+2n−1)2=n2，Tn=1−2n1−2=2n−1，
所以Tn−Sn=2n−n2−l，
当n=1时，T1−S1=0，当n=2时，T2−S2=−1，
当n=3时，T3−S3=−2，
当n≥3时，Tn+1−Sn+1−(Tn−Sn)=2n+1−(n+1)2−1−(2n−n2−l)=2n−2n−l>0，
所以 当n≥3时，Tn−Sn递增，即Tn−Sn≥T3−S3=−2，
所以Tn−Sn的最小值为−2． 
【解析】(Ⅰ)利用等差数列，等比数列的基本量计算即可求得{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)由题可得Tn−Sn=2n−n2−l，迸而可得当n≥3时，Tn−Sn递增，即可求得Tn−Sn的最小值．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差与等比数列的通项公式以及前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．

19.【答案】解：根据题意，2×2列联表如下所示：

有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
根据列联表中的数据，得到K2=100×(45×15−10×30)255×45×75×25=10033≈3.030，
K2≈3.030>2.706，
所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
(2)由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是34，
将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是34，
X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B(5,34)，
则P(X=k)=C5k(34)k⋅(14)5−k，k=0，1，2，3，4，5，
从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
11024
151024
901024
2701024
4051024
2431024
E(X)=np=5×34=154，D(X)=np(1−p)=5×34×(1−34)=1516． 
【解析】(1)根据题意完成2×2列联表，并结合独立性检验公式判断即可；
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B(5,34)，计算X的分布列、期望和方差即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．

20.【答案】解：(1)证明：以C为原点，CA、CB、CS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图

则S(0,0,3)，E(0,2,0)，C(0,0,0)，A(32,0,0)，
取CE的中点M，作DN⊥AC交AC于点N
因为CD=ED
所以又AC⊥BC，DM⊥CE，
所以DN//BC，DM//AC，
所以BMBC=DMAC，四边形DNCM为平行四边形，
又CE=2EB=2，
所以BM=2，CM=DN=1，BC=3，
由AC=32
所以23=DM32⇒DM=1，故D(1,1,0)，
∵DE=(−1,1,0)，CS=(0,0,3)，CD=(1,1,0)，
∴DE⋅CD=−1+1+0=0，DE⋅CS=0+0+0=0，
即DE⊥CS，DE⊥CD，
∵CD∩CS=C，CD⊂平面SCD，CS⊂平面SCD，
∴DE⊥平面SCD；
(2)设平面SAD的法向量为n=(x,y,z)，而AD=(−12,1,0)，AS=(−32,0,3)，
则n⋅AD=−12x+y=0n⋅AS=−32x+3z=0，令x=2，可得n=(2,1,1)，
又由(1)可知DE=(−1,1,0)为平面SCD的一个法向量，
设平面ASD与平面CSD的夹角为θ，
∴cosθ=|cos〈DE,n〉|=|−2+1+0 2⋅ 6|= 36，
即平面ASD与平面CSD的夹角的余弦值为 36；
(3)AD=(−12,1,0)，平面SCD的法向量为DE=(−1,1,0)，
设点A到平面SCD的距离为d，
∴d=|AD⋅DE|DE||=12+1 2=3 24，
即点A到平面SCD的距离为3 24． 
【解析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明DE⊥CD，DE⊥CS，由线线垂直证明线面垂直，即得证；
(2)由(1)DE为平面SCD的一个法向量，求解平面SAD的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；
(3)由(1)DE为平面SCD的一个法向量，利用点面距离的向量公式d=|AD⋅DE|DE||即得解
本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．

21.【答案】解：(1)由题意可得c=2= a2−b2b−a=− 33，解得a2=6，b2=2，
所以椭圆的标准方程为：x26+y22=1；
(2)由题意可得F(2,0)，
当P为x=3与x轴的交点时，则|PF|=3−2=1，
则直线MN的方程为x=2，可得|MN|=2b2a=4 6=2 33，
这时|MN||PF|=2 33；
显然直线PF的斜率存在，当斜率不为0时，设直线直线PF的方程为y=k(x−2)，令x=3，可得P(3,k)，
则|PF|= 1+k2，
此时直线MN的方程为x=−ky+2，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=−ky+2x2+3y2=6，整理可得：(3+k2)y2−4ky−2=0，
显然Δ>0，y1+y2=4k3+k2，y1y2=−23+k2，
所以|MN|= 1+k2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+k2⋅ 16k2(3+k2)2−4⋅−23+k2= 1+k2⋅2 6 1+k23+k2，
这时|MN||PF|= 1+k2⋅2 6⋅ 1+k2(3+k2)⋅ 1+k2=2 6⋅ 1+k22+(1+k2)=2 62 1+k2+ 1+k2≤2 62 2= 3，
当且仅当2 1+k2= 1+k2时取等号，解得k=±1，
因为 3>2 33，
综上所述|MN||PF|的最大值为 3，此时直线MN的方程为x=±y+2，
即此时直线MN的方程为：x±y−2=0． 
【解析】(1)由直线的斜率及c的值和a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；
(2)分直线PF的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线PF的方程，由题意可得P的坐标，进而求出|PF|的值，由题意设直线MN的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出|MN|的表达式，再求|MN||PF|的表达式，由均值不等式，可得|MN||PF|的最大值，进而求出此时直线MN的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，均值不等式的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(1)当a=e−22时，f(x)=e2x−22+(1−x)ex+e−22,f′(x)=e2x−2−xex，
故g(x)=ex−xe2，
所以g′(x)=ex−e2，
当x∈(−∞,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)的单调递减区间为(−∞,2)，单调递增区间为(2,+∞)．
(2)①f′(x)=ex(2aex−x)，依据题意可知f′(x)=0有两个不等实数根，
即2aex−x=0有两个不等实数根x1，x2．
由2aex−x=0，得a=x2ex，
所以2aex−x=0有两个不等实数根可转化为
函数y=a和y=x2ex的图象有两个不同的交点，
令h(x)=x2ex，则h′(x)=1−x2ex，
由h′(x)>0，解得x<1；由h′(x)<0，解得x>1；
所以h(x)在(−∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，
所以h(x)≤h(1)=12e．
又当x>0时，h(x)>0，当x<0时，h(x)<0，
因为y=a与y=h(x)的图象有两个不同的交点，所以a∈(0,12e)．
②证明：由①可知2aex−x=0有两个不等实数根x1，x2，
联立2aex1=x1,2aex2=x2,可得a=x1−x22(ex1−ex2)，
所以不等式x1+2x2>3等价于x1+2x2=2aex1+4aex2=x1−x2ex1−ex2(ex1+2ex2)=x1−x2ex1−x2−1(ex1−x2+2)>3．
令t=x1−x2，则t<0，且x1+2x2>3等价于tet−1(et+2)>3．
所以只要不等式(3−t)et−2t−3>0在t<0时成立即可．
设函数m(t)=(3−t)et−2t−3(t<0)，则m′(t)=(2−t)et−2(t<0)，
设p(t)=(2−t)et−2(t<0)，则p′(t)=(1−t)et>0(t<0)，
故p(t)=m′(t)在(−∞,0)单调递增，得m′(t) 所以m(t)在(−∞,0)单调递减，得m(t)>m(0)=0．
综上，原不等式x1+2x2>3成立． 
【解析】(1)利用导函数与单调性的关系求解；
(2)①根据方程的根与函数的图象的关系，利用导数讨论单调性最值即可数形结合求解；
②根据2aex1=x1,2aex2=x2,可得a=x1−x22(ex1−ex2)，再将要证不等式x1+2x2>3双变量转化为单变量问题证明求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于难题．