2022-2023学年北京市顺义区高一（下）期末考试数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市顺义区高一（下）期末考试数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，A−2,1,B1,0，则向量AB=( )
A. −3,1B. 3,−1C. −3,−1D. 3,1
2.在以下4项调查中：
①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间；
②调查某省的一种结核病的发病率；
③调查一批食品的合格率；
④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例；
适合用全面调查的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
3.复数z=i2+i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知向量a=m,2,b=−2,1，若a⊥b，则实数m=( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
5.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为( )
A. 14B. 16C. 28D. 32
6.若α,β是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足m//β,n//α”是“α//β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.为了得到函数y=csπ4−x的图象，只需把函数y=sinx的图象( )
A. 向左平移π4个单位长度B. 向右平移π4个单位长度
C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度
8.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,a⊥b，则b与c的夹解为( )
A. π4B. π2C. 3π4D. 5π6
9.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是( )
A. 53πB. 36πC. 16πD. 512π
10.已知半圆的直径AB=2,O为圆心，圆周上有两动点C,D满足∠AOC=∠COD=θ,θ∈0,π2.设弦CD与弦BD的长度之和y与θ的关系为y=fθ，则fθ最大值为( )
A. 3B. 94C. 1+ 2D. 2 2
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
11.sin4π3=__________.
12.已知z是复数z的共轭复数，z=1−3i，其中i是虚数单位，则z=__________.
13.在△ABC中，a=2,b=2 3,A=π6，则B=__________.
14.为了解某小区6月份的用电量情况，近过随机抽样获得其中300户居民的月用电量(单位：度)，发现都在50,350之间．将所有数据按照50,100,100,150,⋯,300,350分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则x=__________；该小区居民6月份用电量的45%分位数大约是__________.
15.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1内的动点，且A1F//平面AD1E，有以下四个说法：
①A1F可能与B1E相交；
②A1F与D1E不可能平行；
③A1F与BE是异面直线；
④三棱锥F−AC1D的体积为定值；
其中，所有正确说法的序号是__________.
16.某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)：
(1)从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；
(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；
(3)记x是表中8场命中率的平均数，x1是表中4个主场命中率的平均数，x1是表中4个客场命中率的平均数，比较x,x1,x2的大小．(只需写出结论)》
17.已知平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点坐标为A0,0,B2,0，点C在第一象限，点D是平面内任意一点．
(1)若A,B,C,D四点能构成一个平行四边形，求点D的坐标；(写出所有满足条件的情况)
(2)若点E为线段BC边上一动点(包含B,C点)，求AB⋅AE的取值范围．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
已知函数fx=2sin12x−π6.
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的单调递增区间；
(3)求方程fx=1的解集．
19.(本小题12分)
在△ABC中，2cs2B2−2sinB2csB2=1.
(1)求∠B；
(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：csA=−12；
条件②：b= 2；
条件③：AB边上的高为 62.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥A−EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF//BC,BC=2,EF=a,∠EBC=∠FCB=60∘,O为EF的中点．
(1)求证：BC//平面AEF；
(2)求证：AO⊥BE；
(3)若BE⊥平面AOC，求实数a的值．
21.(本小题12分)
设集合A为n元数集，若A的2个非空子集B,C满足：B∪C=A,B∩C=⌀，则称B,C为A的一个二阶划分．记B中所有元素之和为SB,C中所有元素之和为SC.
(1)若A=1,2,3，求A的一个二阶划分，使得SB=2SC；
(2)若A=1,2,⋯,10.求证：不存在A的二阶划分B,C满足SC=2SB；
(3)若A=1,2;⋯,nn≥3,n∈N*,B,C为A的一个二阶划分，满足：①若x∈B，则2x∉B；②若x∈C，则2x∉C.记fn为符合条件的B的个数，求fn的解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】A
【解析】略
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】C
【解析】略
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】 − 32
【解析】略
12.【答案】 10
【解析】略
13.【答案】 π3 或 2π3
【解析】略
14.【答案】 0.0044
175

【解析】略
15.【答案】①③④
【解析】略
16.【答案】(1)0.5
(2)58
(3)x1>x>x2

【解析】场，分别是主场1，主场2，主场4，客场4.
∴在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5”．
则 C=AB+AB,A,B 相互独立．
根据投篮统计数据， PA=34,PA=14 .
故 PC=PAB+PAB=34×34+14×14=58
∴在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5的概率是 58 .
(3)x1>x>x2
17.【答案】(1)D的坐标为 D3, 3 或 D1,− 3 或 D−1, 3
(2)2,4

【解析】【详解】解：(1)∵等边 △ABC 的顶点坐标为 A0,0,B2,0 ，点 C 在第一象限
∴点 C 的坐标为 C1, 3
又∵若 A,B,C,D 四点能构成一个平行四边形
∴AC=BD 或者 AC=DB 或者 BC=AD
设 Dx,y ，则 AC=1, 3,BC=−1, 3
由 AC=BD 可得 1, 3=x−2,y 即 x=3,y= 3 ∴D3, 3
由 AC=DB 可得 1, 3=2−x,−y 即 x=1,y=− 3 ∴D1,− 3
由 BC=AD 可得 −1, 3=x,y 即 x=−1,y= 3 ∴D−1, 3
∴D的坐标为 D3, 3 或 D1,− 3 或 D−1, 3 .
(2)∵点 E 为 BC 边上一动点(包含 B,C 点)， BC=−1, 3
∴可设 BE=λBC=λ−1, 3,λ∈0,1
∴E2−λ, 3λ,AE=2−λ, 3λ
∴AB⋅AE=22−λ+0=4−2λ
∴当 λ=0 时， AB⋅AE 的最大值为4，
当 λ=1 时， AB⋅AE 的最小值为2.
∴AB⋅AE 的取值范围是 2,4 .
18.【答案】(1)4π
(2)−2π3+4kπ,4π3+4kπk∈Z
(3){x|x=4kπ+2π3或x=4kπ+2π,k∈Z}

【解析】【详解】解：(1)最小正周期 T=2πϖ =2π12=4π
(2)∵y=sint 在 t∈−π2+2kπ,π2+2kπk∈Z 上单增
∴令 −π2+2kπ≤12x−π6≤π2+2kπ
∴−2π3+4kπ≤x≤4π3+4kπ
∴fx 的单增区间为 −2π3+4kπ,4π3+4kπk∈Z
(3)令 fx=1 即 sin12x−π6=12
∴12x−π6=2kπ+π6 或 2kπ+5π6
∴x=4kπ+2π3 或 4kπ+2π
∴方程 fx=1 的解集是 {x|x=4kπ+2π3或x=4kπ+2π,k∈Z}
19.【答案】(1)B=π4
(2)3− 34

【解析】【详解】解：(1)在 △ABC 中， 2cs2B2−2sinB2csB2=1
∴2cs2B2−1=2sinB2csB2
∴csB=sinB
∵在 △ABC 中， 0∴B=π4
(2)选择①②，则 csA=−12,b= 2,B=π4
∵B=π4 ，∴sinB= 22
∵csA=−12 ∴sinA= 32
∵asinA=bsinB ， b= 2
∴a= 3
∵在 △ABC 中， sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB
∴sinC= 32 22−12 22= 6− 24
∴S△ABC=12absinC=3− 34
选择①③，∵AB 边上的高为 62 ， B=π4
∴a= 62sinB= 3
∵在 △ABC 中， sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB
∴sinC= 32 22−12 22= 6− 24
∴S△ABC=12absinC=3− 34
选择②③，∵AB 边上的高为 62,B=π4
∴a= 62sinB= 3
∵asinA=bsinB,b= 2
∴sinA= 32
∵在 △ABC 中， 0∴A=π3 或 2π3 ，此时 △ABC 不唯一．(选择②③最多得8分)
20.【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)a=43

【解析】【详解】证明：(1)∵EF//BC
AE⊂ 平面 AEF
BC⊄ 平面 AEF
∴BC// 平面 AEF
(2)∵△AEF 为等边三角形， O 为 EF 的中点
∴AO⊥EF
又∵平面 AEF⊥ 平面 EFCB
平面 AEF∩ 平面 EFCB=EF
AO⊂ 平面 AEF
∴AO⊥ 平面 EFCB
又∵BE⊂ 平面 EFCB
∴AO⊥BE
(3)延长 CO 文 BE 于点 D
∵BE⊥ 平面 AOC
OC⊂ 平面 AOC
∴BE⊥OC
∴BD⊥CD 即 ∠EDO=90∘
∵∠EBC=∠FCB=60∘,EF//BC
∴BE=CF
∵∠EBC=∠DEO=60∘
∴∠FOC=∠DOE=30∘
∴OF=CF ，又 O 为 EF 的中点， EF=a
∴BE=CF=OF=EO=12a
∵在 Rt△DEO 中， DE=12EO=14a
∴BD=BE+ED=3a4
∴在 Rt△DBC 中， BD=12BC=1
∴3a4=1 即 a=43
21.【答案】(1)1,3
(2)证明见解析
(3)f(n)={2n2,n是偶数2n+12,n是奇数
【详解】解：(1)B 中所有元素之和为 SB,C 中所有元秦之和为 SC
且 SB=2SC
∴SA=SB+SC=3SC=6
∴SC=2 ，即可知 C=2
∵B∪C=A,B∩C=⌀
∴B=1,3
(2)假设存在符合条件的一个二阶划分 B,C 满足 SC=2SB ，
则 SA=SB+SC=3SB ，从而 SA 是3的倍数
又 A=1,2,⋯,10 ∴SA=1+2+⋅⋅⋅+10=55
∵55不是3的倍数
∴假设不成立
∴不存在 A 的二阶划分 B,C 满足 SC=2SB
(3)任取偶数 x∈A ，将 x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…经过 k 次以后．
商必为奇数，此时记商为 m ，即 x=m⋅2k ，其中 m 为奇数．
∵x∈B ，则 2x∉B ，即 2x∈C
∴若 m∈B,k 为奇数时， x=m⋅2k∉B ，即 x∈C ；当 k 为偶数时， x=m⋅2k∈B ；
∴A中的任意一个偶数 x=m⋅2k 的位置都是确定的，且与 m 的位零相关．
∴可知 B 是由 A 中的奇数1，3，5，…的位置确定．
设 Qn 表示 A 中所有的奇数的集合，则 fn 等于 Qn 的子集的个数．
当 n 是奇数时， A 中的奇数个数有 n2 个，此时 Qn 的子集个数有 2n2 个，即 fn=2n2
当 n 是偶数时， A 中的奇数个数有 n+12 个，此时 Qn 的子集个数有 2n+12 个，
即 fn=2n+12
所以 f(n)={2n2,n是偶数2n+12,n是奇数

【解析】略场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
14
客场1
18
6
主场2
15
12
客场2
13
5
主场3
22
8
客场3
21
7
主场4
23
17
客场4
18
15