山东滨州邹平市第二中学高一下学期期末考试数学模拟试题

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山东滨州邹平市第二中学高一下学期期末考试数学模拟试题                                         2023.5一、单选题1．已知向量，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：由题意得：故选：C2．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数运算法则直接计算即可.【详解】.故选：C.3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（    ）A．4 B．3 C． D．0【答案】C【解析】根据，得到，进而求得的值，得到答案.【详解】在平面直角坐标系中，向量，，，，因为，可得，即，所以.故选：C．4．已知数据的平均数为，设为该组数据的“阶方差”，若，则与的大小关系为（    ）A． B． C． D．与奇偶性有关【答案】A【分析】由，得，当为偶数时，可得，，再累加可得；当为奇数时，可得，，再累加可得.【详解】因为，所以，因为，且，所以当为偶数时，为偶数，所以，当时，；当时，则，所以，综上， ，所以，当为奇数时，为奇数，所以，当时，；当时，则，所以，综上，，所以，综上所述：.故选：A5．在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，利用相似关系可得的轨迹是以为圆心，半径为的圆，再根据点到圆上距离最值关系求解即可.【详解】由于，则点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接如图，则，当三点共线时，点在之间时，取最小值，；当点在之间时，取最大值，，从而的的取值范围是.故选：B．6．如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.【详解】解法一：连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，故选：D. 解法二：由，得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，所以，所以，所以在方向上的投影为，故选：D. 【点睛】本题考查向量的投影的定义和运算，关键在于由向量间的关系得出三角形的特殊性，属于中档题.7．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为故选：B 8．在正方体中，记直线与过，，三点的截面所成的角为，则（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】在正方体正作出截面，可证平面，找到线面角即可解三角形求解.【详解】如图，过，，三点的截面为：，连接交于，连接，可得平面，所以，设，则，，所以，故.故选：C 二、多选题9．已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ）A． B．z的虚部是4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】AD【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】复数，则，故A正确；的虚部是，故B错误；，是实数，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：AD10．已知向量，，，，设的夹角为，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由向量坐标运算可求得；根据可知A正确；由模长坐标运算知B错误；由知C正确；由向量夹角的坐标运算可知D正确.【详解】，，，；对于A，，，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，，，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD.11．某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】令且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.【详解】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立.从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，所以；从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，综上，A、D正确.故选：AD12．如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且．点D是外一点，，下列说法中，正确的命题是（    ）A．的内角B．的内角C．四边形的面积最大值为D．四边形的面积无最大值．【答案】ABC【分析】由正弦定理化边为角后求得，从而得三角形的内角，判断AB，用角表示出四边形的面积（先由余弦定理求得），然后由三角函数知识得最值判断CD．【详解】因为，由正弦定理得，为三角形内角，，所以，，所以，或，又，所以不合题意，所以，从而，AB正确；中，，所以，，，所以，即时，为最大值，无最小值．C正确，D错．故选：ABC． 三、填空题13．已知，则_______．【答案】【分析】根据平面向量的坐标运算求解.【详解】由题可知,,所以,故答案为:.14．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．【答案】－25【分析】根据已知向量的模长即线段的长度，解三角形求出角A，B，C，然后利用平面向量的数量积定义即可求解【详解】因为所以B＝90°，所以因为cosC＝，cosA＝，所以＝4×5×＝－16.＝5×3×＝－9.所以，故答案为：.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则角B的大小为______．【答案】/45°【分析】利用余弦定理求出，得到，利用正弦定理即可求出.【详解】由，得，则由余弦定理有．又，所以．由正弦定理得，解得，又，，所以．故答案为：.16．已知平面向量、、满足，，则的取值范围是______．【答案】【分析】利用三角不等式推导出，然后再利用三角不等式可求得的取值范围.【详解】由三角不等式可得，当且仅当与同向时，等号成立，，当且仅当与反向时，等号成立，即，由三角不等式可得，当且仅当与同向时，等号成立，另一方面，当且仅当与反向时，等号成立，即.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量模的三角不等式求平面向量模的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题17．某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检测结果如下表所示:抽取球数n501002005001 0002 000优等品数m45921944709541 902优等品频率      (1)计算表中乒乓球为优等品的频率.(2)从这批乒乓球产品中任取一个,检测出为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)【答案】（1）0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951；（2）0.950【详解】试题分析：根据优等品频率为，结合表中数据计算即可；根据频率估计概率的知识进行解答即可．解析：(1)依据公式fn(A)=,可以计算表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知抽取的球数n不同,计算得到的频率值虽然不同,但随着抽球数的增多,都在常数0.950的附近摆动,所以任意抽取一个乒乓球检测时,质量检测为优等品的概率约为0.950.18．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，试求得到黑球、黄球、白球的个数分别是多少?【答案】黑球2个，黄球4个，白球3个.【分析】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到白球”，根据题意，得到，，的方程组，从而解得答案.【详解】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到白球”，且事件两两互斥，由概率加法公式知得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，综上得，解得.所以取到黑球、黄球、绿球的概率分别是，故袋中有黑球2个，黄球4个，白球3个.19．若虚数同时满足下列两个条件：①是实数；②的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由.【答案】存在，或【分析】本题首先可设，然后通过的实部与虚部互为相反数得出，再然后根据是实数得出，最后通过联立上述式子并计算即可得出结果.【详解】设虚数，因为的实部与虚部互为相反数，，所以，，因为是实数，所以，联立，解得或，或，经过验算，满足题意，故或.20．如图所示，在直三棱柱中，D为的中点，．（1）求证：平面；（2）求点到面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接交于点E，则点E是及的中点.连接DE，可以证明.利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面ADC1；（2）利用等体积法计算.【详解】（1）证明:连接交于点E，则点E是及的中点.连接DE，由三角形中位线定理得：.因为DE平面ADC1, A1B平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.（2）点到面BA1C1的距离设为h，所以底面是直角三角形.由可得:解得:,所以点B1到面BA1C1的距离为.21．在中，内角、、的对边分别为、、，且满足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2；（2）【分析】（1）对两边同除以，即可求得，结合正弦定理即可得解．（2）由余弦定理及可得，再利用余弦定理即可求得，问题得解．【详解】（1）因为，，所以，得或（舍去），由正弦定理得.（2）由余弦定理得  ①将，即代入①，得，得，由余弦定理得：，即：，则.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题．22．如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点． (1)求证：平面平面；(2)若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．【答案】(1)证明见解析(2)作图见解析；截面的面积为 【分析】（1）由中位线得到两组线线平行，推得两组线面平行，进而证明面面平行；（2）利用平行法作出截面，得到截面为平行四边形，进一步证明其为菱形，最后利用对角线计算面积.【详解】（1）证明：如下图所示，连接SB，由为△的中位线，可得，由平面，平面，可得EG平面；由为△的中位线，可得，由平面，平面，可得平面，又，面，可得平面平面；（2）取的中点N，连接，，显然，所以为平行四边形，可得，，取的中点M，连接，，显然，所以为平行四边形，可得，，综上，截面为平行四边形，又，所以截面为菱形，截面的面积为．