2023届山东省滨州市邹平市第一中学高三下学期4月数学模拟试题

2023届山东省滨州市邹平市第一中学高三下学期4月数学模拟试题

一、单选题

1．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（    ）

A．的共轭复数为 B．的虚部为

C．在复平面内对应的点在第一象限 D．

3．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）在中，设，，为边上靠近的一个三等分点，则（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，则“方亭”的上､下底面边长之比为（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧.其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数，若，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

7．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是

A． B． C． D．

8．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的且，都有，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的有（       ）

A．直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值

B．三棱锥D－BPC1的体积为定值

C．异面直线C1P和CB1所成的角为定值

D．直线CD和平面BPC1平行

10．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数 ，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．在点处切线的 斜率为

D．是奇函数

11．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（    ）

A．C的准线方程是

B．过C的焦点的最短弦长为8

C．直线MN过定点(0，4)

D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为

12．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，，则有(    )

A．为奇函数 B．存在非零实数a，b，使得

C．为增函数 D．

三、填空题

13．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为___________.

14．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为________．

15．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）若，则过点的切线方程为_________________.

16．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为________．

四、解答题

17．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知数列的，前项和为，且成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前n项和．

18．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）在锐角中，分别是角的对边，，，且．

（1）求角的大小；

（2）求函数的值域．

19．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.

(1)证明：直线平面；

(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）旅游资源是旅游业发展的前提和基础，旅游资源主要包括自然风景旅游资源和人文景观旅游资源为了解市民的旅游爱好，某市旅游部门随机调查了60名成年人的旅游倾向，整理数据如下表所示：

(1)分别估计成年男性和女性旅游倾向为自然景观的概率；

(2)判断是否有90%的把握认为性别与旅游倾向有关？

参考公式：，其中，

参考数据：

21．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知双曲线的两条渐近线分别为，.

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.

22．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）

（1）若，求在上的极大值点；

（2）（）证明在上单调递增；

（ii）求关于的方程在上的实数解的个数．

参考答案：

1．B

【分析】由交集运算求解即可.

【详解】

故选：B

2．D

【分析】根据题意得，化简整理再根据复数性质求解即可.

【详解】，所以的共轭复数为，故A错误；的虚部为，故B错误；

在复平面内对应的点为，不在第一象限，故C错误；，故D正确.

故选：D.

3．B

【分析】利用平面的基本定理求解.

【详解】解：如图所示：

，

，

故选：B

4．A

【分析】设“方亭”的上底面边长为，下底面边长为，高为，通过，转化求解体积的比值即可．

【详解】解：设“方亭”的上底面边长为，下底面边长为，高为，

则，

，

，

．即

解得或（舍去）

故选：．

5．B

【分析】方法1：从正面考虑，根据古典概型概率的计算公式，即可解出.

方法2：从反面考虑，根据古典概型概率的计算公式，即可解出.

【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有： ，

求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：

第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有，

第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有： ，

所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有： ，

所以， .

故选：B.

方法2：

从24个节气中任选2个节气的事件总数有： ，

从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有： ，

从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：

所以， .

故选：B.

6．B

【分析】由，可得为偶函数，则可得，又由，可得，进而得，将代入即可得答案.

【详解】解：又因为，

当时，则有，

当时，则有，

所以为偶函数，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以以，

又因为，

所以，

所以，

所以.

故选：B.

7．D

【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇偶性与单调性可得结果.

【详解】，，

，，

当时，；

当时，，

即在上递增，

的图象关于对称，

向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，

即为偶函数，，

，

，

即，

，

即.

故选D.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．

.

8．D

【分析】将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形得[f（x1）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，进而分析函数f（x）为增函数或常数函数,据此可得答案．

【详解】根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形可得[f（x1）﹣f（x2）]

（x1﹣x2）≥0，所以函数f（x）为增函数或常数函数.

当f（x）为增函数时，则f（x）=x-3kx-x ，

所以3k ，h（x）=   ，

h（x）=>0, h(x)为增函数,

x , h(x) 1   3k ，    k .

因为f（x）不可能为常数函数，（舍）     所以k .

故选：D

【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），判断出函数f（x）为增函数或常数函数，利用导数求出k的范围，属于中档题.

9．BCD

【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.

【详解】选项A，由线面所成角的定义，令BC1与B1C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP和平面ABC1D1所成的角，当P移动时∠CPO是变化的，故A错误.

选项B，三棱锥D－BPC1的体积等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1大小一定，∵P∈AD1，而AD1//平面BDC1

∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离

∴三棱锥D－BPC1的体积为定值，故B正确；

选项C，∵在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，

∴CB1⊥平面ABC1D1，∵C1P⊂平面ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C正确；

选项D，直线CD和平面ABC1D1平行，∴直线CD和平面BPC1平行，故D正确.

故选：BCD.

10．AC

【分析】求导，运用导函数的符号判断单调性，并由此判断零点数量，运用定义法判断奇偶性.

【详解】 时，，

在 上单调递增，A正确；

当 时， ，单调递减，∴ 在 处有极小值， ，

有且仅有一个零点，错误；

，C正确；

为偶函数，错误；

故选：.

11．AD

【分析】由题可得为，进而判断A，利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B，设为，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C，由C分析所得的定点P，要使到直线的距离最大有，可得此时直线的方程判断D.

【详解】将代入中得：，则为，

所以的准线方程是，故A正确；

由题可知的焦点为，可设过的焦点的直线为，

由，可得，设交点为，

则，，

所以，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；

设，，直线为，联立抛物线得：，

所以，，又，

所以

，

因为，，即，

所以，整理得，

故，得，

所以直线为，所以直线过定点，故C不正确；

当时，到直线的距离最大，此时直线为，故D正确.

故选：AD.

12．ABC

【分析】对于A，对适当赋值即可判断；对于B，利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题进行判断；对于C，利用定义法进行判断；对于D，利用赋值法和单调性判断.

【详解】令，得，所以；

令，得，故，为奇函数，故A正确;

任取，则，

因为，故，

，，故为增函数，所以C正确；

，所以D错误；

，所以，

则，，当，，所以存在，使得，所以B正确.

故选：ABC.

13．

【分析】变换，根据二项式定理计算得到答案.

【详解】的展开式的通项为：，，

取和，计算得到系数为：.

故答案为：.

14．外切

【分析】先求出圆心距，再比较与两半径的和差，即可判断出两圆的位置关系.

【详解】依题意得，圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径，

故两圆圆心距离，

所以，可知两圆的位置关系是外切.

故答案为：外切.

15．或

【分析】先设切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，结合题意得到关于的方程组，求得，即可得出结果.

【详解】设切点坐标为

因为，所以，所以，

所以切线方程为：,

因为该切线过点，所以有，解之得或，

所以切线斜率或，

故切线方程为：或.

故答案为：或.

16．

【解析】求出△ABF1的周长和面积，可得内切圆半径．

【详解】因为椭圆的左、右焦点分别为，

所以直线为：，

代入椭圆方程可得：，

设两点坐标为， ，

则，

故的面积， 的周长C=4a=8，

所以的内切圆半径为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：考查三角形内切圆半径．椭圆中过一个焦点的弦与另一焦点构成的三角形的周长为长轴长的2倍，即．利用三角形面积可求解.

17．(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得当时，，两式作差消去,再利用等比数列的定义,可求出数列的通项公式；

（2）,利用裂项相消法求出数列的前项和．

【详解】（1）∵成等差数列．

∴①

当时，②

①②，得，

∴，∴，

当时，由①得，，∴3，∴．

∴{}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴=．

（2）∴．

∴

.

18．（1）；（2）

【解析】（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；

（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.

【详解】（1），，

由正弦定理得：，

即，

，，，

又，.

（2）在锐角中，，．

．

，，，，

函数的值域为．

【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）延长和交于点，连接交于点，连接，即可得到，从而得到为中点，即可得到且，从而得到，即可得解；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）证明：延长和交于点，连接交于点，连接，

由，故，所以，所以，

所以，所以为中点，

又且，且，

所以且，

故四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴

建立如图所示的空间直角坐标系.

则.

所以.

设平面的法向量，由，得，

取，

故所求角的正弦值为，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)成年男性和女性旅游倾向为自然景观的概率分别为和；

(2)有.

【分析】（1）先计算出样本中成年男性和女性旅游倾向为自然景观的概率，即可估计出成年男性和女性旅游倾向为自然景观的概率；（2）套公式求出，对照参数即可下结论.

【详解】（1）根据题意进行数据分析，可得：

在60人的样本中，成年男性的旅游倾向为自然景观的概率为；

成年女性的旅游倾向为自然景观的概率为；

由此可以估计，成年男性和女性旅游倾向为自然景观的概率分别为和.

（2）根据题意进行数据分析，可得：

所以有90%的把握认为性别与旅游倾向有关.

21．(1) (2)见解析.

【分析】（1）因为双曲线E的渐近线分别为，，求得，再根据离心率的定义，即可求解.

（2）解法一  由（1）知，当轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，根据的面积为8，解得，得到双曲线的方程，再利用直线与双曲线的位置关系，证得当直线l不与x轴垂直时，也满足题意；

（2）解法二   由（1）知，设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，化简求得，得到，即可求解.

【详解】（1）因为双曲线E的渐近线分别为，，

所以，所以，故，从而双曲线E的离心率.

（2）解法一  由（1）知，双曲线E的方程为.

设直线l与x轴相交于点C.

当轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则，，

又因为的面积为8，所以，因此，解得.

此时双曲线E的方程为.

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为.

线面证明当直线l不与x轴垂直时，此时双曲线的方程满足条件，

当直线l不与x轴垂直时，双曲线也满足条件.

设直线l的方程为，依题意，得或，

则.记，..

由得，同理得.

由得，，

即.

由得.

因为，所以，

又，所以，即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为.

（2）解法二   由（1）知，双曲线E的方程为.

设直线l的方程为，，.依题意得.

由，得，同理得.设直线l与x轴相交于点C，则.

由，得，

所以.

由得，.

因为，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当

，

即，即，即.

所以，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为.

【点睛】本题主要考查双曲线的的几何性质的应用、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

22．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）当时，方程在上的实数解的个数为，当时，方程在上的实数解的个数为.

【分析】（1）首先求出函数的导数，利用导数得到函数的单调区间，再根据单调区间即可得到函数的极大值点.

（2）（i）首先根据的单调性只需证明，将问题转化为证明，构造函数，再结合的单调性即可证明.（ii）首先证明，再证明函数的最大值，设，分别求出和的零点个数，从而得到方程解得个数.

【详解】（1）.

当时，.

所以函数的极大值点为.

（2）（i）因为，所以在上必存在唯一的实数，使得.

所以，，为增函数，

，，为减函数.

要证明在上单调递增，只需证明即可.

又因为，所以，

即证即可.

设，，所以在为减函数.

当时，，，即，

即证，

所以在上单调递增.

（ii））先证明时，.

设，，，

因为，所以，在为增函数.

所以，即.

再证明函数的最大值.

因为，所以，.

因为，所以.

所以.

下面证，令，则，

即证，，，.

设，，

所以函数为增函数.

当时，，即.

即证：.

设，，

当时，，，

且在为减函数，所以在上有唯一零点.

当时，，，且在为增函数.

①当时，，即，所以在上没有零点.

②当时，，即，所以在上有唯一零点.

综上所述：当时，方程在上的实数解的个数为，

当时，方程在上的实数解的个数为.

【点睛】本题主要考查函数的单调区间、极值和最值，同时考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了学生的计算能力，属于难题.