2022-2023学年山东省邹平市高三上学期期末考试数学模拟试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省邹平市高三上学期期末考试数学模拟试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省邹平市期末考试模拟试题
2022.12.28
一、单选题
1．设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．下列统计量可用于度量样本，，......，离散程度的是（    ）
A．，，......，的众数 B．，，......，的中位数
C．，，......，的极差 D．，，......，的平均数
3．在中，角A､B､C对边分别为a､b､c，且，当，时，的面积是（    ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（    ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件满足，则事件与事件为对立事件
C．“事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件
D．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件
6．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ）
A． B． C． D．
7．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（   ）

A． B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题
9．已知函数，则（    ）
A． B．为奇函数
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
10．已知方程，则下列说法中正确的有（    ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．对于函数，下列说法正确的有（    ）
A．函数的增区间为 B．在处取得极大值
C．有两个不同的零点 D．
12．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（    ）

A．
B．AB与PF所成角为45°
C．该二十四等边体的体积为
D．该二十四等边体多面体有12个顶点，14个面
三、填空题
13．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.
14．设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．
15．在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为___________.
16．《孙子算经》是中国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“现有5个级别不同的诸侯，共分60个橘子，级别高的比级别低的多分3个，问：5个人各分得几个橘子？”根据这个问题，分得的橘子最多的个数是______，分得的橘子最少的个数是______．

四、解答题
17．已知集合．
(1)判断8、9、10是否属于集合A；
(2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．
18．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；
(2)求的余弦值.
19．已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式，
(2)设数列满足（），求数列的前项和为
20．一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等．
(1)若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率；
(2)若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率．
21．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若，求k的值．
22．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．



山东省邹平市期末考试模拟试题
一、单选题
1．（2022春·河北邯郸·高三统考开学考试）设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】，则
∴在复平面内对应的点为，位于第四象限
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）下列统计量可用于度量样本，，......，离散程度的是（    ）
A．，，......，的众数 B．，，......，的中位数
C．，，......，的极差 D．，，......，的平均数
【答案】C
【详解】解：众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平；中位数是统计数据中选取中间的数，是一种衡量集中趋势的数值；极差是用来表示统计资料中的变异数量，反应的是最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度；平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.
故选：C
3．（2022秋·山东菏泽·高一统考期末）在中，角A､B､C对边分别为a､b､c，且，当，时，的面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于，用正弦定理得：.
因为，且,所以.
由余弦定理得：,
解得：（舍去）.
所以的面积是.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（，2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．
则

故选：B
5．（2022·上海·高二专题练习）下列说法中正确的是
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件满足，则事件与事件为对立事件
C．“事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件
D．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件
【答案】C
【详解】对A，基本事件可能的有C,D…，故事件与事件互斥，但不一定有
对B,由几何概型知，则事件与事件不一定为对立事件，；
对C,由对立，互斥的定义知，对立一定互斥，但互斥不一定对立，故C正确，
对D, “至少有一次中靶”的对立事件为“两次都不中”，故D错误；
故选C.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
即，
即，
又，
，
解得，，
所以.
故选：C
7．（2022春·江西九江·高二九江市同文中学校考期中）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.
故选：B.
8．（2022春·北京朝阳·高三统考期中）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接，交点为，如图所示：

，且是公共边，
，，
易得，，
即，又，，
，平面，
平面，又平面，
平面平面.
过点作平面，垂足为，连接，
，，
平面，，，
由是公共边，，
即有，
三点在以为直径的圆周上，
，，，
，
，
.
故选：C

二、多选题
9．（2022春·安徽六安·高一校考期中）已知函数，则（    ）
A． B．为奇函数
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
【答案】AD
【详解】因为，则，故A正确；
由解析式知定义域为，显然不关于原点对称，不是奇函数，故B错误；
的图象可看作是由反比例函数的图象向右移动1个单位长度得到，
故在上递减且关于对称，故C错误，D正确．
故选：AD．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知方程，则下列说法中正确的有（    ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
【答案】BCD
【分析】分别将的值代入各个命题，根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断．
【详解】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.
对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.
对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
故选：BCD
11．（2022秋·广东湛江·高二校考阶段练习）对于函数，下列说法正确的有（    ）
A．函数的增区间为 B．在处取得极大值
C．有两个不同的零点 D．
【答案】AD
【分析】求导，利用导数可得的单调区间可极值，即可判断A、B、D的正误，根据零点存在性定理，结合函数单调性，特殊值，即可判断C的正误，即可得答案.
【详解】由题意得，，故D正确；
所以时，，则为单调递增函数，故A正确；
当时，，则为单调递减函数，
当时，有极大值，故B错误；
由时，为单调递增函数，且，
根据零点存在性定理可得，在上有唯一的零点，
当时，恒成立，
所以恒成立，
所以在上没有零点，故C错误；
故选：AD
12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（    ）

A．
B．AB与PF所成角为45°
C．该二十四等边体的体积为
D．该二十四等边体多面体有12个顶点，14个面
【答案】CD
【分析】将该二十四等边体补形为正方体, 利用与是异面直线判定选项A错误，利用和的形状判定选项B错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项C正确，利用该二十四等边体顶点数和面数判定选项D正确.
【详解】将该二十四等边体补形为正方体（如图所示），
因为该二十四等边体的所有棱长都为，所以正方体的棱长为2，

对于A：正方体的体对角线平面，而与是异面直线，
所以平面不成立，即选项A错误；
对于B：因为，
所以是AB与PF所成角或其补角，
在中，，，
因为，所以，即选项B错误；
对于C：因为该二十四等边体的所有棱长都为，
所以正方体的棱长为2，
所以该二十四等边体的体积为，即选项C正确；
对于D：该二十四等边体多面体有共12个顶点，
有面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面，面共14个面，即选项D正确.
故选：CD.

三、填空题
13．（2022春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由题可得，然后可得当时不合题意，进而即得；或等价于恒成立，即恒成立，进而即得.
【详解】法一：令，解得（负值舍去），
当时，，
当时，，
且当时，总存在，使得，
故，
若，易得，
所以，
即实数的取值范围为；
法二：原命题等价于任意，
所以恒成立，
即恒成立，又，
所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
14．（2022·高二课时练习）设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．
【答案】①②
【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.
【详解】①当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；
②当时，；当时，，符合，所以，数列为等差数列；
③当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列；
④当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列.
故答案为：①②.
15．（2022·高二单元测试）在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为___________.
【答案】##
【分析】由等体积法求出到平面的距离，根据正方体的性质有面，即可求到平面的距离.
【详解】由，且，
若到平面的距离为h，则，可得，
由正方体的性质易知：面，
故到平面的距离为.
故答案为：


16．（2022·高二课时练习）《孙子算经》是中国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“现有5个级别不同的诸侯，共分60个橘子，级别高的比级别低的多分3个，问：5个人各分得几个橘子？”根据这个问题，分得的橘子最多的个数是______，分得的橘子最少的个数是______．
【答案】     18     6
【分析】根据题意，分得的橘子个数从少到多构成一个等差数列，且公差为3，根据等差数列前n项和公式，可求得，进而可求得分得的橘子最多的个数，即可得答案.
【详解】由题意知，5个人分得的橘子个数从少到多构成一个等差数列，记为，且公差为3，
设分得的橘子最少的个数为，最多的个数为，
则，可得，
所以分得的橘子最多的个数为．
故答案为：18；6.

四、解答题
17．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学统考阶段练习）已知集合．
(1)判断8、9、10是否属于集合A；
(2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析

【分析】（1）∵，，∴，，
假设，m，，
则，且，
∵，或，
显然均无整数解，∴，
∴，，.
（2）∵集合，
则恒有，∴，
∴即一切奇数都属于A，
又∵，，
∴“”的充分不必要条件是“”.
18．（2022·全国·高一期末）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)的余弦值为

【分析】(1)又已知为的中点，
所以，
所以，
所以，
又，，，
所以，
所以，
(2)因为为的中点，所以，
又，
所以,
所以，
，
所以，
又与的夹角相等，
所以，
所以的余弦值为.
19．（2022春·福建·高三福建师大附中阶段练习）已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式，
(2)设数列满足（），求数列的前项和为
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）因为，
当时，，解得：，
当时，则有，
两式相减可得：，所以，
因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由可得：，
所以

两式相减可得：

所以.
20．（2022春·湖北宜昌·高二校联考期中）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等．
(1)若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率；
(2)若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率．
【答案】(1)；
(2).

【详解】（1）设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于8”，   
∵ 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是{1、2、3}，{1、2、4}，{1、3、4}，{2、3、4}共4个，
其中数字之和大于8的是{2、3、4}，
∴.
（2）设B表示事件“至少一次抽到2”，  
∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1），（1、2），（1、3），（1、4），（2、1），（2、2），（2、3），（2、4），（3、1），（3、2），（3、3），（3、4），（4、1），（4、2），（4、3），（4、4），共16个．   
事件B包含的基本结果有（1、2），（2、2），（2、1），（2、3），（3、2），（2、4），（4、2），共7个基本结果．
∴所求事件的概率为
21．（2022·全国·高二假期作业）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若，求k的值．
【答案】(1)；
(2).

【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．
又，所以，，
所以，椭圆的方程为．
（2）
设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．
因为，所以有，，，
所以，即．
易知直线的方程为，由方程组
消去y，可得．
由方程组消去，可得．
由，可得，两边平方，整理得，
解得，或．
当时，由可得，，不合题意，舍去；
当时，由可得，，.
所以，.
22．（2022秋·高二课时练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)的单减区间为，单增区间为和．
(2)

【分析】(1)解：由，则，
，
令，得或；令，得，
所以的单减区间为，单增区间为和．
(2)解：由当时，恒成立，∴，解得；
当时，，
记，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，所以，即．
综上可知，实数a的取值范围是．