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    压轴题07二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)

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    压轴题07二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)

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    2023年中考数学压轴题专项训练

    压轴题07二次函数与线段最值定值问题(八大类型)

    题型一: 二次函数与单线段最值问题

    1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+bx+cx轴交于A50),B(﹣10)两点,与y轴交于点C0).

    1)求抛物线的解析式;

    2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;

    3)点G为抛物线上的一动点,过点GGE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点Dx轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点G的坐标.

    题型二: 二次函数与将军饮马型问题

    2.如图1,抛物线yax2+2x+cx轴交于A(﹣40),B10)两点,过点B的直线ykx分别与y轴及抛物线交于点CD

    1)求直线和抛物线的表达式;

    2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;

    3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于EF两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点MN的坐标;若不存在,请说明理由.

    题型三: 二次函数与胡不归型线段最值问题

    3.已知抛物线yx2+bx+cbc为常数)的图象与x轴交于A10),B两点(点A在点B左侧).与y轴相交于点C,顶点为D

    (Ⅰ)当b2时,求抛物线的顶点坐标;

    (Ⅱ)若点Py轴上一点,连接BP,当PBPCOP2时,求b的值;

    (Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(40),对称轴交x轴于点E,点Q是线段DE上一点,点N为线段AB上一点,且AN2BN,连接NQ,求DQNQ的最小值.

     

     

     

     

    题型四: 二次函数与三线段和最值问题

    4.如图1,已知一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别交于AB两点,抛物线y=﹣x2+bx+cAB两点,且与x轴交于另一点C

    1)求bc的值;

    2)如图1,点DAC的中点,点E在线段BD上,且BE2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;

    3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2P为△ACG内一点,连接PAPCPG,分别以APAG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR

    求证:PGRQ

    PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

     

     

     

    题型五: 二次函数与线段倍分关系最值问题

    5.抛物线y=﹣x2+4ax+ba0)与x轴相交于OA两点(其中O为坐标原点),过点P22a)作直线PMx轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中BC不重合),连接APy轴于点N,连接BCPC

    1a时,求抛物线的解析式和BC的长;

    2)如图a1时,若APPC,求a的值;

    3)是否存在实数a,使?若存在,求出a的值,如不存在,请说明理由.

     

    题型六: 二次函数与线段乘积问题

    6.已知直线yx+2分别交x轴、y轴于AB两点,抛物线yx2+mx2经过点A,和x轴的另一个交点为C

    1)求抛物线的解析式;

    2)如图1,点D是抛物线上的动点,且在第三象限,求△ABD面积的最大值;

    3)如图2,经过点M(﹣41)的直线交抛物线于点PQ,连接CPCQ分别交y轴于点EF,求OEOF的值.

     

     

     

    题型七: 二次函数与线段比值问题

    7.抛物线yax2+cx轴交于AB两点,顶点为C,点P为抛物线上一点,且位于x轴下方.

    1)如图1,若P1,﹣3),B40).

    求该抛物线的解析式;

    D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;

    2)如图2,已知直线PAPBy轴分别交于EF两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.

    题型八: 二次函数与倒数和定值问题

    8.如图,已知抛物线yax2+bx+cx轴分别交于A(﹣10)、B30)两点,与y轴交于点C,且OBOC

    1)求抛物线的函数表达式;

    2)如图1,点D是抛物线顶点,点Pmn)是在第二象限抛物线上的一点,分别连接BDBCBP,若∠CBD=∠ABP,求m的值;

    3)如图1,过BCO三点的圆上有一点Q,并且点Q在第四象限,连接QOQBQC,试猜想线段QOQBQC之间的数量关系,并证明你的猜想;

    4)如图2,若∠BAC的角平分线交y轴于点G,过点G的直线分别交射线ABAC于点EF(不与点A重合),则的值是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出它的值.

     

     

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