2023年吉林省长春市九台区城子街中心学校中考数学质检试卷（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市九台区城子街中心学校中考数学质检试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市九台区城子街中心学校中考数学质检试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如图是由个完全相同小正方体组成的立体图形，其主视图为(    )A.
B.
C.
D. 2.  年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲并直播，央视新闻号进行全程直播，共吸引长春市万网友观看，其中万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  不等式的解集表示在数轴上正确的是(    )A.
B.
C.
D. 4.  如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 5.  如图，为了量取垂直于地面的树高，测量员站在距树米的点处，用测倾角仪量得树顶端的仰角为若测倾角仪离地面高为米，则树高的高可表示为(    )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米6.  如图，四边形是的内接四边形，，，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D.
 7.  如图，在中，，按下列步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；作直线，与边相交于点，与边相交于点，连结下列说法不一定正确的是(    )
A.  B.
C.  D. 8.  已知，如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，与反比例函数交于点，以为边向下作，点恰好在轴上，且，，若的面积为，则的值为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  分解因式： ______ ．10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______ ．11.  九章算术是中国古代一部重要的数学典籍，被视为“算经之首”其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三百；人出三百，盈三千四百问人数，金价各几何？其大意是，假设合伙买金，每人出钱，还剩余钱；每人出钱，还剩余钱问人数，金价各是多少？如果设有个人，根据题意所列方程为______ ．12.  如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心重合，斜边与半圆交于点，顶点在量角器的半圆上，已知，则扇形的面积与弧的比______ ．
13.  已知如图，是等边三角形，分别以点、、为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，，为弧上任一点，连接，则 ______ ．
 14.  已知抛物线图象上有、两点，我们把、两点间的图象记为图象，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．16.  本小题分
课间有、、、四名学生做游戏，他们需要随机进行手拉手围成一圈，、两名学生不能拉手，求、两名学生同时与同一名同学拉手的概率
 17.  本小题分
九台区城子街中心学校进行秋季学生运动会，九班的何佳与九班的陈春阳分别参加了米和米跑的比赛，如果何佳在米比赛中的速度是陈春阳在米比赛中速度的倍，且比陈春阳早秒到达终点，求陈春阳的速度是多少米秒？18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图中确定一点，使四边形是平行四边形；
在图中，在边上确定一点，使；
在图中确定一点，使与关于对称．

 19.  本小题分
已知如图，等腰梯形中，，，为边的中点，连结、．
求证：四边形是菱形；
的值为______ ．
20.  本小题分
九台区城子街中心学校校为了解九年级名学生月份体育锻炼的情况，在九年级随机抽取了名男生和名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据单位：分钟：
【收集整理数据】
男生：，，，，，，，，，，，，，，，，，；
女生：，，，，，，，，，，，，，，，，，；
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表： 组别平均数单位：分钟中位数单位：分钟众数单位：分钟男生女生、根据以上信息解答下列问题：
______ ， ______ ；
如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在分钟以上不包含分钟同学的人数；
王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．21.  本小题分
某广告公司需要印刷一批宣传单，某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷这批宣传单，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷，两台机器需印刷总量份与印刷时间分钟函数关系如图所示．
甲机器维修时间是______ 分钟，甲、乙两台机器一分钟共印宣传单______ 份
求线段对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
若甲机器没有发生故障，则可提前______ 分钟印刷完这批宣传单．
22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材页的部分内容．如图，在中，是边的四等分点，，，，求四边形的周长．【问题解决】请结合图给出解题过程．
【问题探究】
如图，在中，是边上的一点，过点作，交于点，过点作，交于点，延长至，使，连接交于若，的面积为，则的面积为______．
如图，在中，是边上的一点，且，连接，点为上一点，连接交于点，若为的中点，的面积为，则的面积为______用含的代数式表示

 23.  本小题分
如图，在中，，，，点是中点，连接，动点从点出发沿折线方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作，垂足为点，以，为邻边作平行四边形设点的运动时间为秒．
______；
当点在上时，求的长度；用含的代数式表示
当平行四边形与重合部分图形的面积为时，求与之间的函数关系式；
当点落在的某个内角平分线上时请直接写出的值．

 24.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，点为常数，且，将点绕线段中点顺时针旋转得到点经过、、三点的抛物线记为．
当时，求抛物线所对应的函数表达式．
用含的式子分别表示点的坐标和抛物线所对应的函数表达式．直接写出即可
当抛物线在直线和之间的部分包括边界点的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围．
连结，点在线段上，过点作轴的平行线与抛物线交于、两点，连结、当点将线段分成：两部分，且的面积为时，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：从正面看，可得如下图形：
．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

故选：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、由图得，，故A不正确，不符合题意；
B、、异号，，故B正确，符合题意；
C、，，故B不正确，不符合题意；
D、，，故B不正确，不符合题意；
故选：．
根据图中的点、点的取值及绝对值逐个判断即可．
本题考查了用数轴表示数，确定、的取值范围及绝对值是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：如图：

由题意得：米，米，，
在中，，
米，
米，
故选：．
根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：连接，

，，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，再根据圆周角定理得出即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，，
，
故选项B不符合题意；
，
，，
，
不确定为，
不确定，
故选项A符合题意；
，，
，
故选项C不符合题意；
，
，
，
，
，
，
线段是的中位线，
，
故选项D不符合题意．
故选：．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到，即可得出；根据，即可得到；根据平行线等分线段定理证得线段是的中位线，得到；证得，由于不确定为，不确定；进而得出结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等腰三角形的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 8.【答案】 【解析】解：作于点，
轴，
轴，，
设，则，
，
，
，
的面积为，
，
负数舍去，
，
把代入得，，
，
反比例函数过点，
．
故选：．
由三角形面积求得点的坐标，代入即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得的坐标是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：原式

故答案为：
原式变形后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 10.【答案】且 【解析】解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
故答案为：且．
先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 11.【答案】 【解析】解：设有个人，
依题意，得：．
故答案为：．
设有个人，根据金的价钱不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：扇形的面积，弧的长度为，
扇形的面积与弧的比为．
故答案为：．
利用扇形面积公式和弧长公式求得扇形的面积与弧的长度，进一步即可求得扇形的面积与弧的比．
本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
由题意得：，
．
故答案为：．
由等边三角形的性质得到，由锐角的正弦求出值，而，即可求解．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，关键是求出．
 14.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，，
，
当时，，
，
到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
，
，
当时，图象上最高点为，最低点为，
当时，图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为：．
故答案为：．
先确定图象的最高点和最低点，即可求得图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差．
本题考查二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是确定图象的最高点和最低点．
 15.【答案】解：

．
当时，
原式

． 【解析】先利用整式的乘法法则化简，再代入求值．
本题主要考查了整式的化简求值，掌握乘法的平方差公式和单项式乘多项式法则是解决本题的关键．
 16.【答案】解：如图，，，，分别表示四名学生的位置，

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中、两名学生位置不相邻的结果有种，
即、两名学生同时与同一名同学拉手的结果有种，
、两名学生同时与同一名同学拉手的概率为． 【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中、两名学生位置不相邻的结果有种，即、两名学生同时与同一名同学拉手的结果有种，
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 17.【答案】解：设陈春阳的速度是米秒，则何佳的速度是米秒，依题意有：
，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：陈春阳的速度是米秒． 【解析】设陈春阳的速度是米秒，则何佳的速度是米秒，根据何佳比陈春阳早秒到达终点，可得方程，解出即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．
 18.【答案】解：在图中点即为所求；
在图中点，即为所求；
在图中点即为所求．
 【解析】根据平行四边形的性质结合网格，即可求解；
取格点连接交于点，则点即为所求；
作的全等图形，作，交的垂线于点，则点即为所求．
本题考查作图轴对称变换，平行四边形的判定和性质，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】证明：，，
，
四边形为等腰梯形，，
，，，
，，
为边的中点，
，
为等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
解：，，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据等腰梯形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据菱形的判定定理证明；
根据的正切值是解答即可．
本题考查的是等腰梯形的性质、菱形的判定、特殊角的三角函数值，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：这名男生体育锻炼时间出现次数最多的是分钟，因此众数是分钟，即；
将这名女生的体育锻炼时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为分钟，因此中位数是分钟，即；
故答案为：；；
人，
答：该校九年级周末在家锻炼的时间在分钟以上不包含分钟同学的人数大约为人；
理由一：因为，所以女生周末锻炼时间的平均时间比男生的长，因此女生做得更好；
理由二：因为，所以女生周末锻炼时间的中位数比男生的高，因此女生做得更好．
根据中位数、众数的意义进行计算即可；
求出男、女生中“优秀”所占的百分比即可；
从平均数、中位数的比较得出结论即可．
本题考查了中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是关键．
 21.【答案】     【解析】解：由图象可知，甲机器维修的时间是：分钟，
甲乙两台机器一分钟共印宣传单：份，
故答案为：；；
，
设线段对应的函数关系式为．
将点，代入，
得，
解得，
所以与之间的函数关系式为；
若甲机器没有发生故障，所需时间为：分，
分，
若甲机器没有发生故障，可提前分钟印刷完这批宣传单，
故答案为：．
根据图象的特殊点的坐标求解即可；
先求出的值，利用待定系数法求解即可；
根据甲、乙两台机器的工作效率和解答即可．
本题考查了一次函数的应用：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据一次函数性质解决实际问题．注意自变量的取值范围．
 22.【答案】  【解析】解：【问题解决】是的四等分点，
，，
，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长为；
连接，

由【问题解决】同理可得：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
连接，过点作，交于，

点为的中点，，
，，
，
设，则，
的面积为，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【问题解决】根据平行线分线段成比例可得，，再证四边形是平行四边形即可；
首先证明≌，得，再利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比解决问题；
连接，过点作，交于，类比中解题方法即可．
本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：如图中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．

当点在上时，，
，
，
，
，


如图中，当时，重叠部分是四边形，延长交于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，

当时，重叠部分是四边形，

，
综上所述，．

如图中，当平分时，过点作于点，则≌，

，，
设，
在中，则有，
，
，
．

如图中，当平分时，

，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
由，可得，由此构建关系式，可得结论．
分两种情形：如图中，当时，重叠部分是四边形，当时，重叠部分是四边形，分别求解，可得结论．
分两种情形：如图中，当平分时，过点作于点，则≌，设，利用勾股定理求出，再构建方程，求出如图中，当平分时，证明，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 24.【答案】解：由题意可知，点为抛物线的顶点，
当时，，
设所对应的函数的表达式为，
将点代入得，
解得．
．
抛物线对称轴为直线，
点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
．
时，在直线和之间的部分的抛物线最高点为顶点，最低点为直线与抛物线交点，
时，解得．
当时，图象最高点为直线与抛物线交点，最低点为直线与抛物线交点，
，
符合题意，
．
作于点，

点将线段分成：两部分，
，
，
，
，
设，则，
点的坐标为，
．
解得
点坐标为，，
的面积为，
，
解得或舍．
． 【解析】利用旋转的性质，求出点，利用顶点式，将点代入式中求解即可；
根据旋转的性质可知，点的横坐标为、的中点，纵坐标在原来的基础上加上，再利用顶点求出解析式即可；
分两种情况来讨论，第一类，当函数的对称轴时；第二类，当函数的对称轴 时来讨论，分别求出的取值，再和在一起；
当将线段分成：两部分，可得出线段之间的关系，引进含的坐标，根据的面积建立的等式，求解即可．
本题考查函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合的方法求解．