2023年吉林省长春市九台区城子街中心学校中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市九台区城子街中心学校中考二模数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市九台区城子街中心学校中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是由10个完全相同小正方体组成的立体图形，其主视图为（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
2．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲并直播，央视新闻号进行全程直播，共吸引长春市35万网友观看，其中35万用科学记数法表示为（    ）
A．3.5×105 B．0.35×106 C．3.5×106 D．35×105
3．不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
4．如图，数轴上点A和点B分别表示数和，则下列式子不正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
5．如图，为了量取垂直于地面的树高，测量员站在距树6米的点C处，用倾角仪量得树顶端A的仰角为α．若测倾角仪离地面高为2米，则树高的高可表示为（    ）
  
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
7．如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线，与边相交于点D，与边相交于点E，连结．下列说法不一定正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
8．已知，如图，点A是直线上一点，过点A作x轴平行线，与反比例函数交于点B，以为边向下作，点C恰好在轴上，且，，若的面积为，则的值为（    ）
  
A． B．2 C． D．

二、填空题
9．分解因式：____________．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为____________________．
11．《九章算术》是中国古代一部重要的数学典籍，被视为“算经之首”．其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈三百．问人数，金价各几何？其大意是，假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余300钱．问人数，金价各是多少？如果设有x个人，根据题意所列方程为______________________________．
12．如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心O重合，斜边与半圆交于点A，顶点B在量角器的半圆上，已知，则扇形的面积与弧的比_______．
  
13．已知如图，是等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，长为半径作圆，得到弧、弧、弧，，D为弧上任一点，连接，则=________．

14．已知抛物线图像上有两点，我们把两点间的图像记为图像，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为____________．

三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．课间有A、B、C、D四名学生做游戏，他们需要随机进行手拉手围成一圈，A、B两名学生不能拉手，则A、B两名学生同时与同一名同学拉手的概率．
17．九台区城子街中心学校进行秋季学生运动会，九（1）班的何佳与九（3）班的陈春阳分别参加了100米和400米跑的比赛，如果何佳在100米比赛中的速度是陈春阳在400米比赛中速度的倍，且比陈春阳早秒到达终点，求陈春阳的速度是多少米/秒？
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中确定一点D，使四边形是平行四边形．
(2)在图②中，在边上确定一点E，使．
(3)在图③中确定一点F，使与关于对称．
19．已知如图，等腰梯形中，，E为边的中点，连接．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)的值为_____________．
20．九台区城子街中心学校校为了解九年级180名学生4月份体育锻炼的情况，在九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）：
【收集整理数据】
男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；
女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109；
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：
组别
平均数（单位：分钟）
中位数（单位：分钟）
众数（单位：分钟）
男生


a
女生

b

根据以上信息解答下列问题：
(1)_________，__________．
(2)如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数；
(3)王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
21．在抗击“新冠肺炎”疫情期间，需要印刷一批宣传单．某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷．两台机器还需印刷总量(份)与印刷时间(分钟)的函数关系如图所示．

甲机器维修的时间是 分钟，甲乙两台机器一分钟共印宣传单 份；
求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
若甲机器没有发生故障，可提前多少分钟印刷完这批宣传单．
22．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在中，D是边的四等分点， ，，，．求四边形的周长．

问题解决：请结合图1给出解题过程．
问题探究

（1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______．
（2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）．
23．如图，在中，点D是中点，连接，动点P从点C出发沿折线方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作，垂足为点E，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t（秒）．

(1) ______；
(2)当点P在上时，求的长度；（用含t的代数式表示）
(3)当平行四边形与重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式；
(4)当点F落在的某个内角平分线上时请直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，点，点（为常数，且），将点绕线段中点顺时针旋转得到点.经过A、B、三点的抛物线记为.
（1）当时，求抛物线所对应的函数表达式.
（2）用含的式子分别表示点的坐标和抛物线所对应的函数表达式．（直接写出即可）
（3）当抛物线在直线和之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出的取值范围．
（4）连结，点在线段上，过点作轴的平行线与抛物线交于、两点，连结、．当点将线段分成1：3两部分，且的面积为时，求的值．

参考答案：
1．C
【分析】找到从几何体的前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：根据题意得：其主视图为
  ．
故选：C
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形是主视图是解题关键．
2．A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．
【详解】解：35万．
故选：A．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
3．A
【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示不等式的解集为：  ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键．
4．B
【分析】利用的位置，进而得出：，即可分析得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，故选项A错误；
异号，，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
5．C
【分析】解求出米，则米．
【详解】解：如图所示，过点D作于N，
由题意得米，米，
在中，米，
∴米
故选：C．
  
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题关键学会构造直角三角形进行求解即可．
6．A
【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据，可得，再由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
  
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据作法得：垂直平分，再由线段垂直平分线的性质可得，，然后结合相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据作法得：垂直平分，
∴，，
∴，，故B选项正确，不符合题意；
∴，，，
∴，，
∴，，故A选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．A
【分析】过点作于点，设，根据三角函数和等腰直角三角形的性质表示出的长，再根据三角形面积求得的长，求出点B的坐标即可．
【详解】解：过点作于点，设，
  
轴，，
，
在中，，
在中，，，
，，

，
∴，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，锐角三角函数，利用三角形面积求得的长是解题的关键．
9．
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
10．且
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得且，求解即可．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，且，
解得：且
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程根的个数的关系是解题的关键．
11．
【分析】根据金价不变列出方程即可．
【详解】解：如果设有x个人，根据题意所列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
12．
【分析】分别根据扇形面积公式和弧长公式求出扇形的面积与弧的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
∴，弧的长为，
∴扇形的面积与弧的比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，熟知弧长公式和扇形面积公式是解题的关键
13．
【分析】根据等边三角形的三线合一得出，设，则，，根据勾股定理得出，然后根据圆的定义可知，从而得出答案．
【详解】解：是等边三角形，，
，
设
则，
在中，

点A、D、C都在弧上，且弧是以B为圆心，长为半径作的圆，


故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的概念，等边三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
14．
【分析】根据可以找出点为最高，抛物线顶点为最低点，然后分别计算纵坐标作差即可．
【详解】解：，
故抛物线图像对称轴为：直线，
，
，
，
故当时，最大为：，
当时，最小为：，
图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线函数图像与性质，根据的取值范围找出两点间的图像的最低点与最高点是解题关键．
15．，
【分析】先根据平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：

，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
16．
【分析】画树状图表示、两名学生位置的情况，计算概率即可．
【详解】解：如图所示，1，2，3，4分别表示4个学生的位置
  
画树状图为：
  
根据树状图可知共有种等可能结果，、两名学生位置不相邻的结果有种，
∴、两名学生位置不相邻，即A、B两名学生同时与同一名同学拉手的概率是．
【点睛】本题考查树状图或列表求概率，掌握等可能性事件概率的求法是解题的关键．
17．陈春阳的速度为5米/秒
【分析】设陈春阳的速度为米/秒，则何佳的速度为米/秒，然后根据何佳比陈春阳早秒到达终点列出方程求解即可．
【详解】解：设陈春阳的速度为米/秒，则何佳的速度为米/秒，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴陈春阳的速度为5米/秒，
答：陈春阳的速度为5米/秒．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
18．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解

【分析】（1）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（3）根据全等三角形的判定，作出图形即可．
【详解】（1）解：过点作交格点于点，此时，，即四边形是平行四边形，如图所示：

四边形即为所求；
（2）解：为矩形的对角线，如图所示：连接矩形的对角线，则；

点即为所求；
（3）解：如（2）作的垂线，则点关于直线的对称点在上，作，再作，则与的交点为点，点即为所求，如图所示：
  
即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）如图所示，过点A作于G，过点D作于H，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，根据平行线的性质得到，，，证明，得到，则，即可推出，再证明，则四边形是平行四边形，即可证明平行四边形是菱形；
（2）根据（1）可得，由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，过点A作于G，过点D作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；

（2）解：由（1）得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，菱形的判定，等腰梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
20．(1)70；
(2)35人
(3)见解析

【分析】（1）根据中位数与众数的定义即可求解；
（2）根据样本中周末在家锻炼的时间在90分钟以上同学的人数的占比即可估计求解；
（3）根据平均数与中位数的实际含义言之有理即可求解．
【详解】（1）解：∵男生锻炼时间中70出现的次数最多，
∴男生的众数为70，即；
∵女生锻炼时间中第9位、第10位的锻炼时间分别为69，72
∴女生的中位数为，即，
故答案为：70；；
（2）解：（人）．
∴估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数35人．
（3）解：理由一：因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数、平均数及众数的定义与性质．
21．（1）10，400；（2）；（3）5分钟
【分析】（1）通过观察图象可以看出AB是甲机器维修的的时间，即可得出答案；从开始到A点，就是甲乙两个机器共同工作的图象示意图，时间共用30分钟，印刷了12000份，列出关系式即可；
（2）求出m的值，利用待定系数法，代入A、B两点的坐标即可求出AB段的关系式；利用图象容易得出自变量的取值范围；
（3）根据总量是20000，甲乙两台机器一分钟印刷的数量之和是400，求出需要的理论时间，然后用实际用的时间减去理论时间即可．
【详解】解:；
由图象可知：Ａ点出现了转折，意味着有事件的发生，即为甲出现了故障，B点又是一个转折，根据题意得出：此时甲修好和乙共同开始工作，
∴甲机器维修的时间是40-30=10分钟；
由图象可知：前30分钟甲乙两机器是共同工作的，共印刷了20000-8000=12000份，
∴甲乙两台机器一分钟共印宣传单12000÷30=400份；
故答案为：10,400；
．
．
设直线的解析式为



由图象可知：自变量的取值范围是：；
答：线段的函数解析式为，自变量的取值范围是；
由图象可知：共有20000份宣传单，
由可知：甲乙两台机器一分钟共印宣传单400份，
∴若甲机器没有发生故障，甲乙共同印刷用的时间：20000÷400=50分钟，
由图象可知：实际用了55分钟，
∴若甲机器没有发生故障，可提前55-50=5分钟印刷完这批宣传单；
答：若甲机器没有发生故障，可提前5分钟印刷完这批宣传单．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式、数形结合、读懂图象是解决问题的关键．
22．问题解决：18；问题探究：（1）；（2）
【分析】问题解决；先得到，再证明，求出，；进一步证明四边形是平行四边形．得到，由此即可得到答案；
问题探究：（1）首先证明，得，推出，则，证明，得到，再由，得到，则，进而得到，则；
（2）连接，过点D作，交于G，先得到，证明，推出，，设，则，则，，证明，推出，得到，则，即可得到，则．
【详解】解：问题解决：∵D是的四等分点，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴四边形周长；
问题探究：（1）连接，
由问题解决同理可得：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）连接，过点D作，交于G，
∵点F为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
设，则，
∵的面积为m，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，构造相似三角形是解题的关键．
23．(1)5
(2)
(3)
(4)或

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
（2）先求出，证明，可得，由此构建关系式，可得结论．
（3）分两种情形：如图2中，当时，重叠部分是四边形，当时，重叠分是四边形，据此求解可得结论．
（4）分两种情形：如图5中，当平分时，过点F作于点H，则 ，设，利用勾股定理求出x，再构建方程，求出t．如图6中，当平分时，证明，构建方程求解即可．
【详解】（1）解：如图1所示，

，
，
，
点D是中点，
，
故答案为： 5；
（2）解：如图2，点P在上时，

，，
，
，
，
，即，
；
（3）解：当时，平行四边形与重合部分图形的面积为S时，如图3所示，延长交于T，

，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，，

  ，
当时，重叠部分是四边形，如图4，

，
，
，
∵，
，，
，
，，
，，
，
，
，

，
，
，
，
，
综上所述，．
（4）解：如图5，当平分时，

过点F作于点H，
∴，
又∵，
∴ ，
，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得 ，
∴，
解得，
，
．
如图6，当平分时，



，
，
，
，


综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．
24．（1）；（2），；（3）；（4）
【分析】（1）利用旋转的性质，求出点，利用顶点式，将点代入式中求解即可；
（2）根据旋转的性质可知，点横坐标为的中点，纵坐标在原来的基础上加上，再利用顶点求出解析式即可，
（3）分两种情况来讨论，第一类，当函数的对称轴时；第二类，当函数的对称轴时来讨论，分别求出的取值，再和在一起；
（4）点将线段分成1：3两部分，可以得出线段之间的关系，引进含的坐标，根据的面积建立的等式，求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，点为抛物线的顶点.
当时，.
设所对应的函数表达式为.
将点代入，.
∴所对应的函数表达式为.
（2）由旋转可得：.
同理可得：为抛物线的顶点，
设抛物线为：
把代入得：

，
.
（3）第一类：如下图所示：

当时函数有最高点，
时，，
时，，
符合题意，
函数对称轴为，此时，即满足题意；
第二类：如下图所示：

当时函数有最高点，
时，，
时，，
，
，
解得：，
综上：时满足题意．
（4）过点作于点.
∵点将线段分成1：3两部分，
∴.
∴.
∵，
∴.
设，则.
∴点的坐标为.
∴.
∴.
∴点的坐标为，.
∵的面积为，
∴.
∴，（舍去）.
∴的值为.（如图所示）

【点睛】本题考查了二次函数的解析式与图形的性质，解题的关键是：掌握二次函数的顶点式，会利用旋转的性质求顶点坐标、通过数形结合的思想来解题．