2023年吉林省长春市九台区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市九台区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在实数− 2，12，0，−2中，最大的数是( )
A. − 2B. 12C. 0D. −2
2. 第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口成功举办，本届冬奥会的运动员达到2892人，历史规模第二．数据2892用科学记数法表示应是( )
A. 0.2892×104B. 2.892×104C. 2.892×103D. 28.92×103
3. 某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是( )
A. 圆柱
B. 长方体
C. 四棱锥
D. 五棱锥
4. 不等式3x−1≥5x+1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为( )
A. asin32∘
B. 2atan32∘米
C. 2a⋅tan32°米
D. 2a⋅cs32°米
6. 如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，则∠AFB的大小为( )
A. 75°
B. 80°
C. 100°
D. 110°
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，若AE=2，BC=7.则△BEC的面积为( )
A. 7B. 8C. 14D. 16
8. 在如图，Rt△AOB中，∠BAO=90°，∠B=60°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°，双曲线y=kx经过点A，则k的值为( )
A. −92
B. −9
C. −2 3
D. −6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 分解因式：a2−9b2=______．
10. 已知一个正n边形的每个内角都为120°，则n=______．
11. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈(1丈=10尺)，折断后顶端落在离竹子底端3尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？
如图，设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列出关于x方程为：______ ．
12. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO相交于点F，则OFAO的值为______．
13. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=3，则对角线BD的长为______ ．
14. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为___ ___ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
先化简，再求值：2(a−1)2−a(2a+3)−2，其中a=− 2．
16. (本小题6.0分)
中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，对激发社会大众特别是青少年弘扬科学精神、热爱航天事业具有特殊优势，“天宫课”第三课已于2022年3月23日下午开讲并直播．航天员相互配合，生动演示了微重力环境下A.太空冰雪实验、B.液桥演示实验、C.水油分离实验、D.太空抛物实验．某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．
(1)该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率=______；
(2)小丽和小雨也是该班同学，利用树状图或列表的方法求小丽和小雨抽到相同实验的概率．
17. (本小题6.0分)
在抗击“新型冠状病毒”期间，某车间接收到一种抗疫物资的加工任务，该任务由甲、乙两人来完成，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.2倍，现两人各加工600件这种物资，甲比乙少用2天，求乙每天加工多少件这种物资？
18. (本小题7.0分)
如图，AB是圆O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD．
(1)证明：CD是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°，AB=4，则AC的长为______ ．
19. (本小题7.0分)
促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容.为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有学生一分钟的跳绳数不少于100次，现随机抽取了部分学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成A、B、C、D四组，并绘制了如下统计图表：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)上述样本数据的中位数落在______ 组；
(3)若A组学生一分钟跳绳的平均次数为110次，B组学生一分钟跳绳的平均次数为130次，C组学生一分钟跳绳的平均次数为150次，D组学生一分钟跳绳的平均次数为190次，请你估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是多少？
20. (本小题7.0分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图(要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法)．
(1)在图①中，在线段AB上找到一点E，使AEBE=23；
(2)在图②中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cs∠BAC= 22，点C为格点；
(3)在图③中，画出一个四边形ACBD，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为12，C、D为格点．
21. (本小题8.0分)
某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资180吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因故停止，1天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的12，甲、乙运输队调运物资的数量y(吨)与甲工作时间x(天)的函数图象如图所示．
(1)a=______；b=______．
(2)求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y(吨)与工作时间x(天)的函数关系式；
(3)直接写出乙完成运输工作前，甲、乙运输队运输的物资相等时x的值．
22. (本小题9.0分)
【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．

【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=CF，连接EF交AC于点G．
①求证：G是EF的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：______ ；
【拓展延伸】
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=2CF，连接EF交AC于点G.则BE和CG之间的数量关系是：______ ．
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC= 2，点D为AB的中点，动点P在BC上(点P与点C不重合)，做点C关于直线PD的对称点C′，连结PD、C′D．
(1)线段AB的长为______ ．
(2)设C′到AC的距离为h，求h的最大值．
(3)当△PDC′是锐角三角形时，求PC的取值范围．
(4)当直线PC′与△ABC的一条边平行时，直接写出PC的长．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c(b、c为常数)的对称轴为直线x=1，与y轴交点坐标为(0,3)．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)当点(m−1,1)在此抛物线上，且抛物线在x>m时，y随x的增大而减小，求m的值．
(3)点A、点B均在这个抛物线上(点A在点B的左侧)，点A的横坐标为m，点B的横坐标为4−m．
将此抛物线上A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G
①当点A在x轴上方，图象的最高点到两坐标轴的距离和为p，图象的最低点到x轴的距离为q，当q=12p时，求m的值．
②设点D(m,m)，点E(m,1−m)，将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，当△DEF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵12>0>− 2>−2，
∴在实数− 2，12，0，−2中，最大的数是12．
故选：B．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：2892=2.892×103．
故选：C．
根据科学记数法−表示较大的数，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数．
本题主要考查了科学记数法−表示较大的数，熟练掌握科学记数法−表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．
故选：C．
根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：3x−1≥5x+1，
3x−5x≥1+1，
−2x≥2，
x≤−1，
在数轴上表示为：

故选：A．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵BD=a，∠CDB=32°，AB⊥BD，
∴BC=BD⋅tan32°=a⋅tan32°，
∵点C是AB的中点，
∴AB=2BC=2a⋅tan32°．
故选：C．
先根据锐角三角函数的定义求出BC的长，然后根据中点的定义可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答此题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠A=35°，∠C=45°，
∴∠FDB=∠A+∠C=35°+45°=80°，
∵∠B=30°，
∴∠AFB=∠B+∠FDB=30°+80°=110°，
故选：D．
根据∠A=35°，∠C=45°，∠FDB=∠A+∠C，可以得到∠FDB的度数，再根据∠AFB=∠B+∠FDB，即可得到∠AFB的度数．
本题考查三角形外角的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：过E点作EH⊥BC于H点，如图，
由作法得CE平分∠ACB，
∵EM⊥CB，EA⊥CA，
∴EM=EA=2，
∴△BEC的面积=12×7×2=7．
故选：A．
过E点作EH⊥BC于H点，如图，利用基本作图得到CE平分∠ACB，则根据角平分线的性质得到EM=EA=2，然后根据三角形面积公式可计算出△BEC的面积．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
8.【答案】B
【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

在Rt△AOB中，∠BAO=90°，∠B=60°，
∴∠AOB=30°，
设AB=a，则OB=2a，OA= 3a，
由题意可知，∠COA=30°，
∵∠COA=∠AOB=30°，∠ACO=∠BAO=90°，
∴△COA∽△AOB，
∴S△COAS△AOB=(OAOB)2，即SCOA6=( 3a2a)2，
∴S△COA=92，
∴|k|=2SCOA=9，
∴k=−9．
故选：B．
过点A作AC⊥x轴于点C，易得∠AOB=30°，设AB=a，利用含30°角的直角三角形的性质可得OB=2a，OA= 3a，易证△COA∽△AOB，利用相似三角形的性质可得S△COAS△AOB=(OAOB)2，进而求得S△COA=92，再利用反比例函数系数k的几何意义即可求解．
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方求出S△COA=92是解题关键．
9.【答案】(a+3b)(a−3b)
【解析】解：原式=(a+3b)(a−3b)．
故答案为：(a+3b)(a−3b)．
直接运用平方差公式进行解答即可．
此题考查的是因式分解，准确掌握平方差公式是解决此题的关键．
10.【答案】6
【解析】解：∵正n边形的每个内角都为120°，
∴正n边形的每个外角=180°−120°=60°，
∴多边形边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
根据多边形外角和360°进行求解即可．
本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形的外角和为360°．
11.【答案】x2+32=(10−x)2
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+32=(10−x)2，
故答案为：x2+32=(10−x)2．
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，根据勾股定理得出答案．
本题考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，运用方程思想是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，
∴OC是△ABC斜边AB上的中线，
∴OA=OC，
∵AE是△ABC的中线，
∴点F是△ABC的重心，
∴OF：OC=1：3，
∴OFAO=13，
故答案为：13．
由等腰直角三角形的性质得到点O是AB的中点，即可得到OA=OC，然后由中线AE得到点E是BC的中点，进而得到点F是△ABC的重心，从而得到OF：OC=1：3，最后得到OF：AO的值．
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心的性质．
13.【答案】6
【解析】解：如图，连接AC交BD于点H，

由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，
∠CHD=∠CFD∠HDC=∠FDCDC=DC，
∴△CDH≌△CDF(AAS)，
∴DH=DF=3，
∴DB=2DH=6．
故答案为：6．
连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．
14.【答案】40米
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，再把y=150代入函数解析式则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．
【解答】
解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：

∴A(−40,0)，B(40,0)，E(0,200)，
设内侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x−40)，
将(0,200)代入，得：200=a(0+40)(0−40)，
解得：a=−18，
∴内侧抛物线的解析式为y=−18x2+200，
将y=150代入得：−18x2+200=150，
解得：x=±20，
∴C(−20,150)，D(20,150)，
∴CD=40m，
故答案为：40米．
15.【答案】解：原式=2(a2−2a+1)−2a2−3a−2
=2a2−4a+2−2a2−3a−2
=−7a．
当a=− 2 时，原式=−7×(− 2)=7 2．
【解析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了整数的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：(1)该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率=14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中小丽和小雨抽到相同实验的有4种结果，
所以小丽和小雨抽到相同实验的概率为416=14．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设乙每天加工x件，则甲每天加工1.2x件，
由题意得：600x−6001.2x=2，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×50=60．
答：甲每天加工60件这种物资，乙每天加工50件这种物资．
【解析】设乙每天加工x件，则甲每天加工1.2x件，由题意：现两人各加工600件这种物资，甲比乙少用2天，列出分式方程，解方程即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】2π3
【解析】(1)证明：连结OC，则OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠BAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC//AD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=180°−∠ADC=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠ABC=30°，AB=4，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，OA=12AB=2，
∴lAC=60π×2180=2π3，
故答案为：2π3．
(1)连结OC，则∠OCA=∠BAC，而∠CAD=∠BAC，所以∠OCA=∠CAD，则OC//AD，所以∠OCD=180°−∠ADC=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
(2)由∠ABC=30°，AB=4，得∠AOC=2∠ABC=60°，OA=12AB=2，则lAC=60π×2180=2π3，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】10 30% C
【解析】解：(1)调查总人数为：4÷10%=40(人)，
∴m=40−4−12−14=10(人)，n=1−10%−25%−35%=30%，
故答案为：10；30%；
(2)由题意可知，样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
(3)140×(4×110+12×130+14×150+10×190)
=140×6000
=150(次)，
答：估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是150次．
(1)由A组的频数和A组所占的比例可得调查总人数，进而得出m、n的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)根据加权平均数公式计算即可．
此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
20.【答案】解：(1)如图1，点E即为所求；

(2)如图，点C即为所求；
(3)如图，C、D即为所求．
【解析】(1)在图①中，找格点M，N，连接MN交AB于点E，使AEBE=23即可；
(2)在图②中，画ABC为等腰直角三角形，且cs∠BAC= 22即可；
(3)在图③中，根据中心对称图形，轴对称图形，且邻边之比为12，C、D为格点．即可画出一个四边形ACBD．
本题考查作图−旋转变换，作图−轴对称变换，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】4 10
【解析】解：(1)∵甲运输队工作3天后因故停止，1天后重新开始工作
∴a=3+1=4，
∵甲运输的工作效率降低到原来的12，
∴原来3天调运90吨，现在需6天调运90吨．
∴b=4+6=10，
故答案为：4；10；
(2)设函数关系式为y=kx+b，
∵图象过(4,90)，(10,180)，
∴4k+b=9010k+b=180，
解得k=15b=30，
∴甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y(吨)与工作时间x(天)的函数关系式为y=15x+30；
(3)乙的速度为：180÷9=20(吨/天)，
由题意，得20x=15x+30，
解得x=6，
故甲、乙运输队运输的物资相等时x的值为6．
(1)根据题意可以求a，b的值．
(2)设解析式为y=kx+b且过(4,90)，(10,180)，用待定系数法可求解析式．
(3)根据题意列方程解答即可．
本题考查一次函数的图象性质，本题关键是用待定系数法求一次函数解析式．
22.【答案】BE= 2CG BE=4 55CG
【解析】(1)①证明：过点E作EI//BC交AC于点I，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠AEI=∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠AIE=∠BAC=45°，
∴AE=EI，
∵AE=CF，
∴CF=EI，
∵EI//BC，
∴∠EIG=∠FCG，∠IEG=∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
∠EIG=∠FCGEI=CF∠IEG=∠CFG，
∴△EIG≌△FCG(ASA)，
∴EG=FG，
∴G是EF的中点；
②解：在Rt△AEI中，∠AEI=90°，AE=EI，
∴△AEI是等腰直角三角形，
∴AI= 2AE，
∴AIAE= 2，
∵EI//BC，
∴AIAE=ICEB= 2，
∴IC= 2BE，
∵△EIG≌△FCG，
∴IG=CG=12IC，
∴CG=12× 2BE= 22BE，
∴BE= 2CG；
故答案为：BE= 2CG；
(2)解：BE和CG之间的数量关系为：BE=4 55CG，理由如下：
过点E作EI//BC 交AC于点I，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEI=∠ABC=90°，AB//CD，AB=CD，
在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC=∠AEI=90°，AB=2BC，
∴tan∠IAE=IEAE=BCAC=12，
∴AE=2IE，
∵AE=2CF，
∴IE=CF，
∵EI//BC，
∴∠EIG=∠FCG，∠IEG=∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
∠EIG=∠FCGEI=CF∠IEG=∠CFG，
∴△EIG≌△FCG(ASA)，
∴EG=FG，IG=CG，
设IE=a，则AE=2a，
在Rt△AEI中，∠AEI=90°，
∴AI= IE2+AE2= a2+(2a)2= 5a，cs∠IAE=AEAI，
即AEAI=2a 5a=2 55，
∵EI//BC，
∴ICEB=AIAE= 52，
∴IC= 52EB，
∵IG=CG=12IC，
∴CG= 54BE，
∴BE=4 55CG．
故答案为：BE=4 55CG．
(1)①过点E作EI//BC交AC于点I，证明△EIG≌△FCG(ASA)，得出EG=FG即可；
②由等腰直角三角形的性质得出 AI= 2AE，由平行线证出IC= 2BE，由全等三角形的性质得出IG=CG=12IC，即可得出结论；
(2)作EI//BC 交AC于点I，由三角函数证出AE=2IE，得出IE=CF，证△EIG≌△FCG(ASA)，得出EG=FG，IG=CG，设IE=a，则AE=2a，求出IC= 52EB，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．
23.【答案】 3
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB= AC2+BC2= 12+( 2)2= 3；
故答案为： 3；
(2)由题意可知：当C′D⊥AC时，h最大，
∵D是AB的中点，
∴C′D=CD=AD=12AB= 32，
过点D作DE⊥AC于点E，如图1，
∵CD=AD，
∴CE=AE，
∴DE=12BC= 22，
∴h= 22+ 32，
即h的最大值为 22+ 32；

(3)当△PDC′是锐角三角形时，则△PDC是锐角三角形；
当∠PDC=90°时，
∵BD=CD，
∴∠PBD=∠PCD，
又∵∠BCA=∠PDC，
∴△ABC∽△PCD，
∴BCAB=CDPC，
即： 2 3= 32PC，
解得：PC=3 24，
当∠DPC=90°时，点P是BC的中点，
∴PC=12BC= 22，
∴PC的取值范围是 22(4)当PC′//AC时，过点D作DH⊥BC于点H，如图2，
∵BD=CD，
∴CH=BH=12BC= 22，
∵PC′//AC，
∴∠HPC′+∠PCA=180°，
∴∠HPC′=90°，
∴∠HPD=12∠HPC′=45°，
∵∠PHD=90°，
∴∠HPD=∠HDP，
∴PH=DH=12AC=12，
∴PC=PH+HC=12+ 22；
当PC′//AB时，如图3，
同理可求：PC= 2− 32或PC= 22−12；
∴PC的长为12+ 22或 2− 32或PC= 22−12．
(1)由勾股定理直接计算即可求得；
(2)由题意可知：当C′D⊥AC时，h最大，过点D作DE⊥AC于点E，得到DE是三角形的中位线，从而求得结果；
(3)分∠PDC=90°和∠DPC=90°两种临界情况进行讨论即可；
(4)分PC′//AC，PC′//AB两种情况进行讨论即可．
本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴−b2×(−1)=1，
∴b=2，
∵抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，
∴c=3，
∴此抛物线对应的函数表达式为y=−x2+2x+3；
(2)∵点(m−1,1)在此抛物线上，
∴−(m−1)2+2(m−1)+3=1，
解得m=2+ 3或m=2− 3，
∵x>m时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
∴m=2+ 3；
(3)①当−1解得m=6− 262或m=6+ 262(舍)；
当1解得m=9− 292或m=9+ 292(舍)；
综上所述：m的值为6− 262或9− 292；
②∵A点的横坐标为m，
∴A点坐标为(m,−m2+2m+3)，
当F点在DE左侧时，如图1，
当A点与D点重合时，−m2+2m+3=m，
解得m=1+ 132或m=1− 132；
当A点与E点重合时，−m2+2m+3=1−m，
解得m=3+ 172或m=3− 172；
∴1− 132≤m≤3− 172时，△DEF与图象G有公共点；
当F点在DE右侧时，如图2，
∵D(m,m)，E(m,1−m)，
∴DE=2m−1，
∵DE=DF，
∴F(3m−1,m)，
当F点在抛物线上时，m=−(3m−1)2+2(3m−1)+3，
解得m=0或m=119；
当B点在DF上时，m=−(4−m)2+2(4−m)+3，
解得m=5− 52或m=5+ 52；
∴当119≤m≤5+ 52时，△DEF与图象G有公共点；
综上所述：1− 132≤m≤3− 172或119≤m≤5+ 52时，△DEF与图象G有公共点．
【解析】(1)根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值；
(2)将点(m−1,1)代入抛物线解析式求出m的值，再由x>m时，y随x的增大而减小，确定具体的m值；
(3)①当−1②当F点在DE左侧时，当A点与D点重合时，−m2+2m+3=m，解得m=1+ 132或m=1− 132；当A点与E点重合时，−m2+2m+3=1−m，解得m=3+ 172或m=3− 172；结合图象可知1− 132≤m≤3− 172时，△DEF与图象G有公共点；当F点在DE右侧时，可求出F(3m−1,m)，当F点在抛物线上时，m=−(3m−1)2+2(3m−1)+3，解得m=0或m=119；当B点在DF上时，m=−(4−m)2+2(4−m)+3，解得m=5− 52或m=5+ 52；当119≤m≤5+ 52时，△DEF与图象G有公共点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
等级
次数
频数
A
100≤x<120
4
B
120≤x<140
12
C
140≤x<160
14
D
x≥160
m