数学必修 第二册5.1 向量的数量积集体备课ppt课件

这是一份数学必修 第二册5.1 向量的数量积集体备课ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了自主预习·新知导学，合作探究·释疑解惑，易错辨析，答案A，图2-5-2，故选A答案A，探究一，探究二，探究三等内容，欢迎下载使用。
一、向量数量积的定义【问题思考】1.如图2-5-1,一个物体在力F的作用下产生位移s.(1)如何求这个力所做的功?(2)力做功的大小与哪些量有关?提示:(1)W=|F||s|cs θ.(2)与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形
二、投影【问题思考】1.在初中我们学过的投影的定义是什么?提示:一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的投影.
3.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在b方向上的投影数量为(　　)B.4C.-2D.2
三、数量积的运算律与运算性质【问题思考】1.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.(1)根据数量积公式,计算a·e,a·a.(2)若a·b=0,则a与b有什么关系?(3)当θ=0°和180°时,数量积a·b分别是什么?
提示:(1)a·e=|a||e|cs θ=|a|cs θ,a·a=|a|·|a|cs 0°=|a|2.(2)∵a·b=0,a≠0,b≠0,∴cs θ=0,θ=90°,a⊥b.(3)当θ=0°时,a·b=|a|·|b|;当θ=180°时,a·b=-|a|·|b|.
2.(1)数量积的运算律对任意向量a,b,c与实数λ:①交换律:a·b= b·a ;②与数乘的结合律:λ(a·b)= (λa)·b = a·(λb) ;③关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
3.想一想:a·(b·c)=(a·b)·c成立吗?提示:(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线.因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
【例1】 已知|a|=4,|b|=5,且a与b的夹角为60°.求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)(a-b)2;(4)a2-b2.解:设a与b的夹角为θ,由题知θ=60°,|a|=4,|b|=5.(1)a·b=|a||b|cs θ=4×5×cs 60°=10.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=42-20+52=21.(4)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.
反思感悟 向量数量积的求法:(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
1.本例2的条件不变,求|3a+b|.
2.例2的已知条件若改为|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5,如何求|3a+b|的值?解:因为|3a-2b|2=9a2-12a·b+4b2=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,又因为|3a-2b|=5,所以325-12a·b=25,即a·b=25.所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400.所以|3a+b|=20.
反思感悟 1.求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,不要忘记开方.2.a·a=a2=|a|2或|a|= ,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
【例3】 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若(a-b)⊥(a+λb),求实数λ的值.分析:(1)根据向量数量积的运算律,利用已知可求得a·b=6,再由数量积的定义可求得cs θ,进而求得结果;(2)先利用平方运算,求得|a+b|2,再开方得到结果;(3)利用已知(a-b)·(a+λb)=0,根据数量积运算律可构造出关于λ的方程,解方程求得结果.
解:(1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=64-8a·b+27=43,∴a·b=6,即|a|·|b|cs θ=12cs θ=6,