2021北京昌平二中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京昌平二中高一（下）期中

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一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1．（5分）的值为　　)

A． B． C． D．

2．（5分）已知角的终边经过点，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）下列函数中，在，上递增，且周期为的偶函数是　　

A． B． C． D．

4．（5分）函数图象的对称轴方程可能是　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知向量，，且，则，等于　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，，则的值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，，，所对的边长分别为，，，如果，那么一定是　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形

8．（5分）设函数，命题“是奇函数”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（5分）如图为一直径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点到水面的距离与时间满足关系式，，表示在水面下），则有　　

A．， B．， C．， D．，

10．（5分）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为　　

A．505 B．506 C．507 D．508

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）

11．（5分）弧长为的扇形的面积为，则这个扇形的圆心角为　　．

12．（5分）　　．

13．（5分）已知矩形中，，，为边的中点，为边上的动点（可以与端点重合），则　　，的最大值为　　．

14．（5分）函数的最小值为　　．

15．（5分）已知函数，若函数在上具有单调性，且，则　　．

16．（5分）已知函数，，，其中表示不超过的最大整数．例如：，，．

①　　；

②若对任意，都成立，则实数的取值范围是　　．

三、解答题：本大题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（14分）已知，且，均为锐角．

（1）求的值；

（2）求的值．

18．（14分）已知函数．

（1）用“五点法”画出在一个周期内的闭区间上的简图；

（2）写出的对称中心．

19．（14分）已知函数，为常数），求：

（1）的单调递增区间；

（2）若在上的最小值为2，求在上的最大值．

20．（14分）在中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

条件①：；

条件②：

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的面积．

21．（14分）已知，．

（1）若函数的最小正周期为，

①求的值；

②当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（2）若函数在区间，上恰有5个零点，求的取值范围．

参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1．【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．

【解答】解：．

故选：．

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．

【解答】解：因为角的终边经过点，

所以．

故选：．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3．【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可得出结论．

【解答】解：对于，为奇函数，不符合题意；

对于，为偶函数，周期，但在，上递减，不符合题意；

对于，为奇函数，不符合题意；

对于，为偶函数，周期，当，时，为增函数，符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的单调性、奇偶性与周期性，属于基础题．

4．【分析】令求出的值，然后根据的不同取值对选项进行验证即可．

【解答】解：令，

当时为选项，

故选：．

【点评】本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．

5．【分析】根据可得出，进而可求出，然后根据向量夹角的余弦公式可求出的值，进而可求出的值．

【解答】解：，，且，

，解得，

，且，

．

故选：．

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．

6．【分析】由已知，结合两角和的正切公式即可直接求解．

【解答】解：因为，，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角差的正切公式，解题的关键是拆角技巧的应用，属于基础题．

7．【分析】根据图形得，在直角和直角中，两次利用正弦定理得到，又因为，所以得到，而和为锐角，所以，所以三角形为等腰三角形．

【解答】

解法1：过作，垂足为，

在直角中，根据正弦定理得：，

解得，

在直角中，根据正弦定理得：，

解得，

所以，

又因为

两个等式联立得：，

而和为锐角，所以，

所以三角形为等腰三角形；

解法，

，又根据正弦定理，

，即，

，又和都为三角形的内角，

，

即三角形为等腰三角形．

故选：．

【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及运用同角三角函数基本关系的能力．

8．【分析】函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，不一定存在，利用充要条件的定义即可求得答案．

【解答】解：函数，

由条件：“”，

函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，

当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，

不一定存在，

命题“是奇函数”是“”的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题考查条件的判断，本题解题的关键是当函数是一个奇函数时，不一定在原点处有定义，所以不一定有函数值等于0，属于基础题．

9．【分析】根据题意求出的值，利用转速求周期和的值．

【解答】解：由题意知，水轮的半径为3，水轮圆心距离水面，

所以；

又水轮每分钟旋转2圈，所以转一圈需要30秒，

所以，

解得．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数模型的构建与应用问题，也考查分析解决问题的能力，是基础题．

10．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．

【解答】解：由的值域可得，，即，

故，即，

当时，，

当时，，

故正整数的最小值为507．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）

11．【分析】设扇形的圆心角为，半径为，根据扇形的弧长和面积公式列方程组求出的值．

【解答】解：设扇形的圆心角为，半径为，

则扇形的弧长为，①

扇形的面积为，②

由①②解得，．

所以这个扇形的圆心角为．

故答案为：．

【点评】本题考查了扇形的弧长和面积计算问题，是基础题．

12．【分析】由题意利用两角和差的三角公式，计算求得结果．

【解答】解：

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题．

13．【分析】画出图形，建立坐标系，然后求解向量的数量积，以及向量数量积的最大值即可．

【解答】解：如图，建立直角坐标系，则，，，，，

所以，，，

当在处时，的最大值为，，．

故答案为：0；12．

【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，考查数形结合以及计算能力，是中档题．

14．【分析】利用二倍角公式以及二次函数的性质，结合余弦函数的值域，求解函数的最小值即可．

【解答】解：函数，

当时，函数取得最小值：．

故答案为：．

【点评】本题考查三角函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，是基础题．

15．【分析】由题意利用正弦函数的单调性求得的范围，根据图象的对称性求得的值，可得函数的解析式，从而求得要求式子的值．

【解答】解：函数，若函数在上具有单调性，

，且，．

，，故的图象关于点，对称，

故，，．

则，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．

16．【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及的定义，可得所求值；

②由题意可得对任意，都成立，分别讨论在各个象限和坐标轴的取值情况，结合的定义，可得所求范围．

【解答】解：①；

②若对任意，都成立，

即为对任意，都成立，

当或时，或；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，，，

可得；

同理可得当时，可得；

当时，可得；

当时，可得．

综上可得，的取值范围是，．

故答案为：；，．

【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和差和的三角公式，计算求得结果．

（2）先求出的范围，再求出的余弦值，可得的值．

【解答】解：（1），，，，

．

（2），，，．

，，

，

．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差和的三角公式，属于中档题．

18．【分析】（1）利用列表、描点、连线，在坐标系中画出函数的图象即可；

（2）根据余弦函数的性质求出的对称中心．

【解答】解：（1）根据题意列表如下；

在坐标系中画出图象，如图所示；

（2）令，，

解得，；

所以的对称中心为．

【点评】本题考查了五点法画三角函数的图象应用问题，也考查了函数的对称问题，是基础题．

19．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．

（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．

【解答】解：（1）函数，

由，

，

所以，的单调递增区间为．

（2），，，，

．

由函数的最小值为，得，在上的最大值为．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

20．【分析】选①由已知结合正弦定理可求，，然后结合和差角及诱导公式可求；

结合正弦定理及三角形面积公式即可求解；

选②：结合同角平方关系先求，然后结合正弦定理即可求解；

由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求．

【解答】解①：（Ⅰ）因为，

所以．

所以．

所以．

（Ⅱ）由正弦定理．

得，

，

解②：（Ⅰ）由，

得，

由正弦定理，

得．

（Ⅱ）由余弦定理，得．

即，

解得舍）．

．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

21．【分析】（1）①根据题意，由数量积的运算性质可得的解析式，由三角函数周期的计算方法可得的值，

②结合的解析式求出，进而可得即恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案；

（2）根据题意，求出的取值范围，结合正弦函数的性质可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，，

①若函数的最小正周期为，则，解可得，

②若，即，则有，变形可得

则有，

对任意，不等式恒成立，即，

而即恒成立，

当时，成立，

当时，有，解可得；

综上；

（2）根据题意，若，即，变形可得，

又由，则有，

若函数在区间，上恰有5个零点，则有，即，

解可得：，即的取值范围，．

【点评】本题考查三角函数的性质以及数量积的计算，涉及函数零点的判定定理，属于中档题．