2022北京昌平一中高一（下）期中数学（教师版）

2022北京昌平一中高一（下）期中

数    学

一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若角满足，，则（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（　　）

A. 3 B.  C.  D. ﹣3

3. 函数和函数在内都是（    ）

A. 奇函数 B. 增函数 C. 减函数 D. 周期函数

4. 的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知a，b满足，则（    ）

A.  B.  C. 4 D.

6. 已知函数的一部分图像，如下图所示，则下列式子成立的是（     ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)

A.  B.  C.  D.

8. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A. 区间上单调递减

B. 在区间上单调递增

C. 在区间上单调递减

D. 在区间上单调递增

9. 如图所示，三点在同一水平线上，是塔的中轴线，在两处测得塔顶部处的仰角分别是，，如果间的距离是，测角仪，则塔高为（精确到）（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.

11. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限.

12. 已知，且，那么___________.

13. 扇形的面积是，它的弧长是，则扇形的圆心角的弧度数为___________；弦的长为___________.

14. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.

15. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为则下列条件能推导出一定为锐角三角形的是___________.

①

②

③

④

三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知，且

（1）求的值；

（2）求的值.

17. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.

（1）若，求的值；

（2）若与的夹角为，求的值.

18. 在平面直角坐标系中，锐角与钝角的终边分别与单位圆交于，两点.

（1）如图1，若，两点的纵坐标分别为，求的值；

（2）如图2，已知点是单位圆上一点，且，求和的夹角.

19. 已知满足___________，且，，求的值及面积.

从①②③这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20. 已知函数，且满足的图象过点

（1）求函数的解析式及最小正周期；

（2）若关于方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.

21. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意实数，有成立.

（1）判断函数，是否属于集合（只需写出结论）；

（2）若函数，求实数取值范围.

参考答案

一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若角满足，，则在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据可知是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.

【详解】，是第二或第四象限角；

当是第二象限角时，，，满足；

当是第四象限角时，，，则，不合题意；

综上所述：是第二象限角.

故选：B.

2. 若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（　　）

A. 3 B.  C.  D. ﹣3

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.

【详解】因为,

且复数的实部与虚部互为相反数，

所以，，

解得，故选D.

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3. 函数和函数在内都是（    ）

A. 奇函数 B. 增函数 C. 减函数 D. 周期函数

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数和正切函数性质直接判断即可.

【详解】当时，，，

和在内都是奇函数，A正确；

在内为增函数，在内是减函数；

又在内是增函数，则BC错误；

最小正周期为，最小正周期为，

和在内不具有周期性，D错误.

故选：A.

4. 值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由两角和差余弦公式直接求解即可.

【详解】.

故选：D.

5. 已知a，b满足，则（    ）

A.  B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积的运算律计算可得；

【详解】解：

故选：B

6. 已知函数的一部分图像，如下图所示，则下列式子成立的是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）+B的图，分别求出A=2，B=2, 又T=﹣=得到ω=2，代入最值点得到φ的值即可．

【详解】根据函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象知，

A=2，B=2，∴A、C错误；

又T=﹣=，

∴T==π，解得ω=2，B错误；

由五点法画图知x=时，ωx+φ=2×+φ=，

解得φ=，∴D正确；

故选D．

【点睛】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.

7. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据正弦定理由可得,

, 在中,

,为边长为1正三角形, .故B正确.

考点：正弦定理.

【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.

8. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A. 在区间上单调递减

B. 区间上单调递增

C. 在区间上单调递减

D. 在区间上单调递增

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得，

∵，∴，∴函数在上为增函数．

考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．

9. 如图所示，三点在同一水平线上，是塔的中轴线，在两处测得塔顶部处的仰角分别是，，如果间的距离是，测角仪，则塔高为（精确到）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可知，在中，利用可得，由可求得结果.

【详解】，，，，

，

.

故选：A.

10. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.

【详解】因为点C为中点，，所以，

所以

，

因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，

所以的取值范围是,

故选：D.

二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.

11. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限.

【答案】二

【解析】

【分析】化简复数为a+bi的形式，即可得到结果．

【详解】复数

复数对应的点．在第二象限．

故答案为：二．

【点睛】本题主要考查了复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是容易题．

12. 已知，且，那么___________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用二倍角余弦公式直接求解即可.

【详解】.

故答案为：.

13. 扇形的面积是，它的弧长是，则扇形的圆心角的弧度数为___________；弦的长为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】①利用扇形面积公式及弧长公式即可求解；②取的中点，连接，则，且，在中可解得，进而求得

【详解】设扇形所在圆半径为，则

所以，所以

如图所示，取的中点，连接，则，且

在中，

所以

故答案为：；

14. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________.

【答案】 1,1

【解析】

【详解】根据平面向量的点乘公式,由图可知，, 因此=;

,而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1.

【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法．

15. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为则下列条件能推导出一定为锐角三角形的是___________.

①

②

③

④

【答案】②④

【解析】

【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐个分析判断即可

【详解】对于①，若，则余弦定理可得，得角为锐角，而不能得到其它两个角为锐角，所以不一定是锐角三角形，所以①错误，

对于②，由，得，所以由正弦定理得，设，则可知是最大的角，由余弦定理得，所以角为锐角，所以一定是锐角三角形，所以②正确，

对于③，因为，所以，所以，由正弦定理得，所以为直角，所以为直角三角形，所以③错误，

对于④，因为，所以，所以，

因为，所以，所以均为锐角，所以一定是锐角三角形，所以④正确，

故答案为：②④

三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知，且

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数平方和商数关系直接求解即可；

（2）利用二倍角余弦公式和两角和差的正弦公式直接求解即可.

小问1详解】

，，，

.

【小问2详解】

，，

.

17. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.

（1）若，求的值；

（2）若与的夹角为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

（2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得；

【小问1详解】

解：因为，且，

所以，即，所以；

【小问2详解】

解：因为，，

所以，，

因为与的夹角为，所以，即，

所以，因为，所以，所以，所以；

18. 在平面直角坐标系中，锐角与钝角的终边分别与单位圆交于，两点.

（1）如图1，若，两点的纵坐标分别为，求的值；

（2）如图2，已知点是单位圆上的一点，且，求和的夹角.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义求得, 的值,再利用两角和差的三角公式,求得的值.
（2）,平方求得,再利用两个向量数量积的定义求得和 的夹角的值.

【小问1详解】

由题意,可得,

,

,,

 

【小问2详解】

, 即

 

，又

与的夹角为.

19. 已知满足___________，且，，求的值及面积.

从①②③这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】选①，，；选②，不存在，故无解；选③，，.

【解析】

【分析】若选①，首先根据得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式求解面积即可；若选②，根据，，，即可判断此时不存在，故无解；若选③，首先根据，从而得到，根据得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式求解面积即可.

【详解】若选①，

，

因为，

所以.

若选②，因为，，，

所以，此时，不存在，故无解.

若选③，，

因为，所以，即.

所以，

因为，

所以.

20. 已知函数，且满足的图象过点

（1）求函数的解析式及最小正周期；

（2）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.

【答案】（1），最小正周期   

（2）

【解析】

【分析】（1）由可求得；利用二倍角公式和诱导公式化简可得；由正弦型函数最小正周期求法可得；

（2）令可得，根据的范围，结合正弦函数图象可确定所在区间，解不等式可求得范围.

【小问1详解】

过点，，解得：，

，

的最小正周期.

【小问2详解】

令，则；

当时，，

若关于的方程在区间上有两个不同解，则，

解得：，即实数的取值范围为.

21. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意实数，有成立.

（1）判断函数，是否属于集合（只需写出结论）；

（2）若函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）属于集合，不属于集合   

（2）

【解析】

【分析】（1）依据题给条件去判断即可；

（2）按k值分类讨论，依据三角函数诱导公式去求实数的取值范围.

【小问1详解】

对函数，令，则有，

即存在非零常数1，对任意实数，有成立，则属于集合；

对函数，不能找到非零常数，对任意实数，有成立，

则不属于集合.

【小问2详解】

当时，，则有，则，符合题意；

当时，由函数，

可得存在非零常数，对任意实数，有成立.

又由，，可知，

当时，由恒成立，得

当时，由恒成立，得

综上可得，实数的取值范围为