2021北京十二中高一（下）期末数学（教师版）

2021北京十二中高一（下）期末

数    学

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为　　

A．一个球 B．一个球中间挖去一个棱柱 

C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个圆柱

2．（5分）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是　　

A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样 

C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法

3．（5分）　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知非零向量，，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知平面向量，，若与垂直，则实数　　

A． B．1 C． D．2

6．（5分）在中，若，则的形状是　　

A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 

C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形

7．（5分）某数学老师在统计班级50位同学的一次数学周测成绩的平均分与方差时，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次，已知原平均分和原方差分别为91，2700，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为91，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是　　

A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的 

B．该公司职工测试成绩的中位数约为75分 

C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分 

D．该公司职工测试成绩的众数约为60分

9．（5分）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是　　)

A．2 B．1 C．0 D．不确定

10．（5分）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱、、的长度分别为、、，则立柱的长度是　　

A． B． C． D．

11．（5分）如图，在正方体中，点在面对角线上运动，下列四个命题中错误的是　　

A．平面 B．平面平面 

C．三棱锥的体积不变 D．

12．（5分）钺yuè的本字其实是“戊yuè”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊wù”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看作由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔形”，其尺寸如图标注（单位：，已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：所在的区间为　　

A． B．， C．， D．，

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

13．（5分）已知向量与的夹角为，，，则　　．

14．（5分）体积为1的正方体的内切球的体积是 　　．

15．（5分）已知，则的值为 　　．

16．（5分）写出一个虚数，使得为纯虚数，则　　．

17．（5分）用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为 　　．

18．（5分）如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，，，垂足为，是的中点，则：

（1）当时，的面积是 　　．

（2）当的面积最大时，的长是 　　．

三、解答题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

19．（10分）设向量，，．

（1）若，求的值；

（2）设函数，求的最大值．

20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，若 _____．

在①；②，且；③这三个条件中任意选择一个填在横线上，并完成下列问题：

（1）求角的大小；

（2）若，且，求的面积．

21．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，采用分层抽样的方法从，两个地区共抽取了500名用户，请用户根据满意程度对该公司品评分，该公司将收集到的数据按照，，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如图：

已知地区用户约为40000人，地区用户约为10000人．

（Ⅰ）求该公司采用分层抽样的方法从，两个地区分别抽取的用户人数；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户的人数；

（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及，两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）

22．（12分）如图1，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到△的位置，使，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）线段上是否存在点，使平面？说明理由．

23．（14分）已知集合，，，，，2，，，定义上两点，，，，，，，的距离．

（Ⅰ）当时，若，，求的值；

（Ⅱ）当时，证明中任意三点，，满足关系，，，；

（Ⅲ）当时，设，0，，，4，，，，，其中，，，，，，．求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于．

参考答案

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】利用球以及圆柱的定义进行分析判断，即可得到答案．

【解答】解：由题意，根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，

由圆柱的定义，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，

所以绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱．

故选：．

【点评】本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了球以及圆柱定义的应用，考查了空间想象能力，属于基础题．

2．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：．

【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．

3．【分析】利用两角和的余弦公式及特殊角的三角函数值即可计算求解．

【解答】解：

．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和的余弦公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．

4．【分析】分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案．

【解答】解：当且，则，但与不一定相等，

故不能推出，

则“”是“”的不充分条件；

由，可得，

则，即，

所以可以推出，

故“”是“”的必要条件．

综上所述，“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．

5．【分析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．

【解答】解：，，，，与垂直，

，解得．

故选：．

【点评】熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．

6．【分析】本题突破点在与对式子的化简处理：合并提出得，进而得，从而得出垂直关系即可．

【解答】解：，

合并提出得，

得，

，

则的形状是为直角的直角三角形．

故选：．

【点评】本题考查数量积的化简运算、数量积判断两个平面向量的垂直关系及向量 的加法运算，特别是三角形相邻两边向量之和问题．

7．【分析】分别利用平均数的计算公式和方差的计算公式求出平均数和方差，对照选项，即可得到答案．

【解答】解：由题意可得，，

方差．

故选：．

【点评】本题考查了平均数与方差的求解，解题的关键是掌握它们的计算公式，考查了化简运算能力，属于基础题．

8．【分析】由频率分布直方图，分别求出该公司职工的测试成绩不低于60分的频率、中位数、平均值、众数，能判断正确选项．

【解答】解：由频率分布直方图，得：

对于，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为：，

该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的，故错误；

对于，测试成绩在，的频率为，

测试成绩在，的频率为，

该公司职工测试成绩的中位数约为：分，故错误；

对于，该公司职工测试成绩的平均值约为：

分，故正确；

对于，该公司职工测试成绩的众数约为：分，故错误．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率、中位数、平均值、众数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等，是基础题．

9．【分析】由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可判断．

【解答】解：因为，，，

由正弦定理得，可得，

因为，

所以，

故有两解．

故选：．

【点评】本题主要考查了正弦定理在三角形解的个数判断中的应用，属于基础题．

10．【分析】根据题意知四边形是平行四边形，故、、、在同一平面内，则和的差额 与和的差额相等，代入数据求出值．

【解答】解：由题意知四边形是平行四边形，，

则和的差额 与和的差额相等，即立柱的长度是．

故选：．

【点评】本题考查了几何体的结构特征，考查了空间想象能力和分析、解决问题的能力．

11．【分析】通过证明平面平面可判断；通过证明平面可判断；三棱锥三棱锥的体积，然后计算即可判断；通过证明不与平面垂直可判断．

【解答】解：如图所示：

对于，由正方体，可知，，

可得平面平面，

又平面，

得平面，故正确；

对于，连接、，由正方体，可知，，

可得平面，又平面，可得，

同理，

可得平面，

又平面，所以可得平面平面，故正确；

对于，设点到平面的距离为、正方体棱长为1，

可得为定值，故正确；

对于，由正方体，可知，

假设，则平面，则，

可知△是等边三角形，

不与垂直，

又，

不与垂直，

假设不成立，故错误；

故选：．

【点评】本题考查棱柱棱锥的结构特征、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．

12．【分析】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，分别求出各个部分的体积即得解．

【解答】解：由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，

长方体的体积：；

三棱柱的体积：；

两个三棱锥的体积：；

所以几何体的体积为，

所以这只斧头的质量为．

故选：．

【点评】本题考查割补法求几何体的体积．几何体体积的计算常用的方法有：（1）公式法；（2）割补法；（3）转化法．要根据已知条件灵活选择方法求解．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

13．【分析】根据的夹角为知，，从而得出，这样即可由求出的值，进而得出的值．

【解答】解：的夹角为；

，且；

；

．

故答案为：．

【点评】考查向量夹角的概念，向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算．

14．【分析】通过内切得出球的半径与正方体的棱长的关系，通过方程求解．

【解答】解：设球的半径为，则正方体的棱长为，所以，．

球的体积为．

故答案为．

【点评】本题考查空间几何体的内切球问题，涉及球的体积、正方体的体积考查，属于基础题．

15．【分析】利用二倍角的正弦可求得，从而可得的值．

【解答】解：，

，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查二倍角的正弦，考查诱导公式的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

16．【分析】设，，，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

【解答】解：设，，，

则为纯虚数，

，，

取，，

则，

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17．【分析】如图所示，设为轴截面，过点作，利用圆的周长公式，解得，可得是等边三角形，即可得出．

【解答】解：如图所示，

设为轴截面，过点作，

，解得，是等边三角形，

．

它的最高点到桌面的距离为．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆锥的轴截面的性质、圆的弧长与周长计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

18．【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理依次证明平面，平面，从而可证明为直角三角形，然后在中，利用等面积法求出，由勾股定理求出，即可得到三角形的面积；

（2）利用（1）中的结论可知，为直角三角形，再利用基本不等式求出时，的面积最大，又等面积法求解的值即可．

【解答】解：（1）三棱锥中，平面，

又平面，则，

又，，，平面，

故平面，又平面，

则，又，，，平面，

故平面，

又平面，所以，

则为直角三角形，

因为是等腰三角形，且，，

故，

在中，，则

由等面积法可得，

即，解得，

又为的中点，故，

故，

所以的面积是；

（2）由（1）可知，为直角三角形，

设，，

则，

则，即，当且仅当时取等号，

此时的面积最大，

在中，设，

则，

所以，即，

解得，

所以的长为．

【点评】本题考查了空间几何体的平行于垂直关系的应用，三角形面积公式的应用，利用基本不等式求解最值问题以及等面积法的运用，考查了空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．

三、解答题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

19．【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及的范围，可得的值，从而求得的值．

（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数的解析式为．结合的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得的最大值．

【解答】解：（1）由题意可得，，

由，可得，即．

，，，即．

（2）函数，，．

，，，，

当，取得最大值为．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

20．【分析】（1）选①由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简可求；

选②由已知结合余弦定理及二倍角公式进行化简可求，进而可求；

选③由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简，然后结合同角基本关系可求，进而可求；

（2）由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求．

【解答】解（1）选①．，及正弦定理，

，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

，则．

选②．，且，

所以，所以．

又，所以，所以，所以．

选③．，

由余弦定理得：

在中，，

，则．

（2）因为，，，

所以，即，

因为，所以，

所以．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据地区总人数比例关系以及共抽取人数即可求解；

（Ⅱ）先求出100人中评分不低于80的用户概率，再根据总人数即可求得所有用户中评分不低于80分的用户的人数；

（Ⅲ）利用频率分布直方图可求出，，利用加权平均计算，即可比较大小．

【解答】解：（Ⅰ）地区抽取人数为人，同理地区人数抽取人；

（Ⅱ）由频率分布直方图可得地区对该产品评分不低于80分的概率为，

则人数为人；

（Ⅲ），理由如下：

，

，

所以，

因为，两地区人数比为，故地区抽取人数占总数的，地区抽取人数占总数的，

则，

所以．

【点评】本题考查频率分布直方图识别以及利用其计算样本平均数，考查计算能力，属于基础题．

22．【分析】（1），分别为，的中点，易证平面；

（2）由题意可证平面，从而有，又，可证平面，问题解决；

（3）取，的中点，，则，平面即为平面，由平面，是等腰三角形底边的中点，可证平面，从而平面．

【解答】解：（1），分别为，的中点，

，又平面，

平面．

（2）由已知得且，

，

，又，

平面，而平面，

，又，

平面，

．

（3）线段上存在点，使平面．理由如下：如图，分别取，的中点，，则．

，

．

平面即为平面．

由（Ⅱ）知平面，

，

又是等腰三角形底边的中点，

，

平面，从而平面，

故线段上存在点，使平面．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．

23．【分析】（1）根据新定义直接计算；

（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；

（3）根据新定义，及绝对值的性质得点是以为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面，1，2，3，上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．

【解答】解：（1）当 时若，，则；

（2）证明：设，，，，，，

根据绝对值的性质有，

所以，，，．

（3），，，，

所以，，，

当且仅当以上三个等号同时成立，，，，

又由已知，，，，，，

又，，，，，，1，2，3，4，，

点 是以 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共 125 个，．

这 125 个点在，，，， 这五面内．

这三个平面内，一个面上取不共线的 3 点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．

则这个三棱锥的体积最大为

现在任取 11 个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无 4 点共面，

但 11 个点分在 5 个平面上至少有一个平面内有 3 个点（显然不共线，

若这三点在，， 这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，

那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过，

否则还有 8 个点在平面 和 上，不合题意，

若这三个点在平面 或 上，不妨设在平面，若在平面 在一个点，

则同样四点构成的三棱锥体积不超过，否则剩下的 8 个点在，， 三个平面上，只能是 3，3，2 分布，

不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过，

综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于．

【点评】本题新定义距离，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屈原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有 3 点，由此分类讨论可证明结论成立．