2021北京延庆高一（下）期中数学（教师版）

2021北京延庆高一（下）期中

数    学

一､选择题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 的终边在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知，在第二象限，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知三角形的三个顶点的坐标分别是，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5.  函数的图象可由函数的图象作怎样的变换得到

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

6. 下列函数中，在区间上是单调增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 下列各式值等于的是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 下列各式的值不等于1的一个是（    ）

A.

B.

C.

D.

9. 函数在一个周期上简图如图，则的值分别是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 直角三角形中，，若，分别是和的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题共5个小题，每小题5分，共25分.

11 已知角终边经过点，则__________．

12. 弧度的角是指___________；建立了度量角的弧度制后，弧度与角度的换算关系为：rad，这是因为___________.

13. 直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于___________对称；角的终边与的终边关于___________对称.

14. 已知，.若，则___________；若，则___________.

15. ①

②

③

④

其中正确命题的序号是___________.

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 作图题.

（1）已知，在所给坐标系中作出并指出角的正弦线和余弦线；

（2）用五点法作出函数在一个周期内的简图.

17. 在中，已知，.

（1）求；

（2）求.

18. 已知.

（1）求零点；

（2）求的单调递增区间.

19 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最值及相应的的值.

20. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于.

（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；

（2）求四边形的面积的最大值.

21. 已知是两个单位向量，，，，.

（1）若，求；

（2）若，求的最大值及相应的值；

（3）若，，求证：.

.

参考答案

一､选择题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 的终边在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据象限角与终边相同角的概念判断即可；

【详解】解：，所以的终边与角的终边相同，因为的终边在第一象限，所以的终边在第一象限；

故选：A

2. 已知，在第二象限，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，再由计算即可得到答案.

【详解】由及是第二象限角，

得，所以.

故选： B

3. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】ABC选项三个函数均不奇函数，即可排除得解.

【详解】A选项是非奇非偶函数；BC两个均是偶函数；D选项是奇函数且在区间上是增函数.

故选：D

4. 已知三角形的三个顶点的坐标分别是，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出的坐标，由夹角公式可求得结果.

【详解】依题意得，，则.

故选：A.

5.  函数的图象可由函数的图象作怎样的变换得到

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：因为,所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.故C正确.

考点：图像平移.

6. 下列函数中，在区间上是单调增函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，对选项中的函数分析、判断是否满足题意即可.

【详解】对于A, 时，时，不单调，不符合题意；

对于B, 时，时，不单调，不符合题意；

对于C, 时，时，不单调，不符合题意；

对于D, 时，时，单调递增，符合题意；

故选：D

7. 下列各式的值等于的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦、余弦以及正切公式分别化简计算.

【详解】解：对于A：，故A不正确；

对于B：，故B不正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D不正确；

故选：C

8. 下列各式的值不等于1的一个是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式、两角和的余弦、两角和的正切、同角三角函数的基本关系依次化简各选项即可.

【详解】，

，

，

.

故选：B

9. 函数在一个周期上的简图如图，则的值分别是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象计算出周期得到，函数经过，代入函数即可得解.

【详解】设函数的最小正周期为，

，函数经过，

所以，

，

，

，

所以，

所以.

故选：B

10. 直角三角形中，，若，分别是和的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量加法和数量积运算即得.

【详解】

故选：D

二､填空题共5个小题，每小题5分，共25分.

11. 已知角终边经过点，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】∵角终边经过点，∴，∴，故答案为．

12. 弧度的角是指___________；建立了度量角的弧度制后，弧度与角度的换算关系为：rad，这是因为___________.

【答案】    ①. 圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角    ②. 圆周长等于.

【解析】

【分析】根据弧度制角的定义解答即可；

【详解】解：我们把圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角,即用弧度制度量时,这样的圆心角等于，又圆的周长为，周角等于，所以

故答案为：圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角；圆周长等于

13. 直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于___________对称；角的终边与的终边关于___________对称.

【答案】    ①. 轴    ②. 直线.

【解析】

【分析】将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程；

【详解】解：因为，所以角的终边与的终边关于轴对称；

因为，所以角的终边与的终边关于直线对称；

故答案为：轴；直线；

14. 已知，.若，则___________；若，则___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的定义可求得结果.

【详解】当时，，

当时，.

故答案为：；.

15. ①

②

③

④

其中正确命题序号是___________.

【答案】②③.

【解析】

【分析】利用诱导公式及三角函数的单调性一一判断即可；

【详解】解：①：由于函数在上是增函数，

，

，故①不成立；

②因为在上是增函数，又

所以，故②正确；

③，，所以，故③正确；

④，，因为在上是减函数，所以，所以，故④错误；

故答案为：②③.

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 作图题.

（1）已知，在所给坐标系中作出并指出角的正弦线和余弦线；

（2）用五点法作出函数在一个周期内的简图.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数线的定义即可作出角的正弦线和余弦线；（2）根据五点作图法的知识，按照“列表”，“描点”，“连线”步骤即可作出函数在一个周期内的简图.

【详解】（1）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆相交于点，过点作垂直于轴交于点，则角的正弦线和余弦线如图所示，其中是角的正弦线，是角的余弦线；

（2）由题意得，①列表：

②描点：在平面直角坐标系中描出点，，，，；

③连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，如图所示：

④这样就得到了函数在一个周期内的简图.

17. 在中，已知，.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用同角基本关系式即得；（2）利用三角形内角和以及两角和的正弦公式即得.

【详解】（1），

，

（2）

18. 已知.

（1）求的零点；

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）借助于辅助角公式化简，，令，求解；（2）令，求解即可.

【详解】（1）

令，则，

，

，

函数的零点是.

（2）令，

则，

的单调增区间是.

19. 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最值及相应的的值.

【答案】（1）最小正周期是；（2），此时；，此时.

【解析】

【分析】（1）由二倍角公式，并结合辅助角公式可得，再利用周期可求出答案；

（2）由的范围，可求得的范围，进而可求出的范围，从而可求得的最值同时求得对应的的值.

【详解】（1）

函数最小正周期是.

（2），

，

，

此时，，

此时，

20. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于.

（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；

（2）求四边形的面积的最大值.

【答案】（1）建系答案见解析，点坐标为，点的坐标为；（2）最大值为.

【解析】

【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标；

（2）把四边形的面积表示出的函数，利用三角函数求最值即可.

【详解】解：（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，

，圆的半径为，

点坐标为，

点的坐标为，

坐标为.

（2）四边形的面积

，

当时，即时，，

四边形面积的最大值为.

21. 已知是两个单位向量，，，，.

（1）若，求；

（2）若，求的最大值及相应的值；

（3）若，，求证：.

【答案】（1）；（2）当时，最大值等于；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用向量平行关系及特殊值即得；（2）将向量的模进行平方运算转化为二次函数类型求最值；（3）利用换元法以及三角公式即得.

【详解】解：（1），，

，

，或.

（2），，

，

是单位向量，，

，

，

，，

当时，即时，的最大值等于.

当时，的最大值等于.

（3）证明：，，

，

，

令，

则，，

，或，

，

，舍，

，

，

当时，上式不成立，，

.