2022-2023学年江西省景德镇市乐平市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省景德镇市乐平市九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法中正确的是(    )

A. 为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查方式
B. 某彩票的中奖机会是，买张一定会中奖
C. 若是实数，则是必然事件
D. 甲、乙两组数据方差分别为和，则甲组数据比乙组数据稳定

5.  如图在中，，，，以为直径作半圆，形成了部分封闭且不重合的图形，其中两部分面积分别为和则和的关系为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.  若二次函数的图象经过点，则方程的解为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  因式分解：          ．

8.  记者从年高质量发展新闻发布会上获悉，截至年年底，国家能源集团风电装机达到万千瓦，继续保持世界第一其中数据万可用科学记数法表示为______ 千瓦．

9.  方程的两个实数根为，，则的值为______ ．

10.  在九章算术的“方程”一章中，二元一次方程组是由算筹布置而成的若图所示的算筹图表示方程组，则图所表示的方程组为______ ．

11.  如图，在中，以为一边在的右侧作等边，连接，则的度数为______ ．

12.  如图，在坐标系中，正方形的边长为，点是轴上一动点若与的两边所组成的角的度数之比为：，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．
如图，在▱中，将沿对角线翻折得到，交于点．
求证：是等腰三角形．

14.  本小题分
解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．

15.  本小题分
“十一”黄金周期间，小芬与小亮逛了两家商场，看到两家商场都有“幸运大转盘”有奖销售活动，购物一次就能转动转盘一次进行抽奖，指针指向交界处时，当作指向右边的扇形商场的转盘如图所示，商场的转盘如图所示两人发现，两个转盘都被分成四格，奖励的等级如图所示，图中转盘的四格等分圆面，图中的“三等奖”区域、“谢谢惠顾”区域的圆心角都是，“一等奖”区域的圆心角是．
在商场中转转盘一次，中一等奖的概率是______ ；
在商场中转转盘一次，中一等奖的概率是______ ；
在，商场中分别转转盘一次，中二等奖的概率分别为，，则 ______ 填“”“”或“”；
小芬与小亮在商场都购物一次，每人都转动转盘一次，请你用列表法求出小芬与小亮在商场至少有一人中一等奖的概率．

16.  本小题分
如图，点是正方形内一点，且请仅用无刻度的直尺按要求作图保留画图痕迹，不写作法．
在图中，作出边的中点．
在图中，作出边的中点．

 

17.  本小题分
在平面直角坐标系中，将按如图所示方式放置，已知，，将先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到．
直接写出、两点的坐标；用含的代数式表示
若点、均落在反比例函数的图象上，求的值及反比例函数的解析式．

18.  本小题分
某地区原来每天需要处理吨生活垃圾，恰好需要用个型、个型预处置点位进行处理已知一个型点位比一个型点位每天能多处理吨生活垃圾．
求一个型点位每天能处理生活垃圾多少吨？
由于垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾若该地区计划再增设型、型点位共个，试问：至少需要增设几个型点位才能当日处理完？

19.  本小题分
为了落实“双减”工作，提高作业质量，增强作业针对性、有效性，某中学设置了分层作业，并对学生每天完成书面作业时间，取整数进行了随机抽样调查根据调查结果制成了如图所示的不完整的频数分布直方图每组含小数据不含大数据，从左到右依次记为，，，，，和扇形统计图请根据图中信息解答下列问题：
本次调查的学生人数为______ ；补全频数分布直方图．
下列结论正确的是______ 填序号．
样本中，完成作业时间中位数在组内；
样本中，完成作业时间的众数在内；
时间段对应扇形的圆心角度数为
中学生每天完成作业的时间少于，不少于视为课业负担适中，请你估计该校名学生中，课业负担适中的学生有多少人？

 

20.  本小题分
图是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图是它的侧面示意图，点，，处可转动，支撑架若电脑显示屏的边，且垂直于桌面，，，．
求的度数．
求笔记本电脑显示屏边的端点到桌面的距离结果精确到，，

 

21.  本小题分
如图，是的直径，点是上的一点，射线，点是射线上一动点，连接，已知，．
若，如图，求的长．
若与相切，如图，求的长．

22.  本小题分
已知抛物线：与轴从左到右交于、两点，顶点为．
的形状是______ ．
若，求的值．
直线与抛物线从左到右交于、两点，是线段的中点，轴与抛物线相交于点．
若，求的值；
求的面积用含的代数式表示．

23.  本小题分
数学课上，老师给出了下面命题：
把一个三角形绕着某点顺时针或逆时针旋转后得到的三角形，与原三角形的对应线段如：边、高、中线、角平分线等都存在对应相等，且互相垂直的关系．

为了验证这个结论，小宇同学把绕着点逆时针旋转得，如图，显然≌，所以请你完成证明的过程．
为了验证这个结论，小明同学在基础上，选择对应中线，于是分别取、的中点、连接、，如图求证：且．
拓展应用
如图，在正方形中，把等腰如图放置，连接、，点为的中点，连接请你猜想与的关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】
解：原式．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、均可能是该直棱柱展开图，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，
故选：．
直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．
考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
 

4.【答案】 

【解析】解：为了了解我国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查方式，原说法错误，故此选项不合题意；
B.某彩票的中奖机会是，买张也不一定会中奖，原说法错误，故此选项不合题意；
C.若是实数，则是必然事件，原说法错误，故此选项不合题意；
D.甲、乙两组数据方差分别为和，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用概率的意义以及必然事件、全面调查的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义以及方差，正确掌握概率的意义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
证明半圆面积等于三角形面积，可得结论．
本题考查扇形面积的计算，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数图象与轴的交点坐标，此题难度不大．首先求出二次函数图象与轴的另一个交点坐标，进而求出方程的解．
【解答】
解：，
二次函数的图象的对称轴方程为直线，
二次函数的图象经过点，
二次函数图象与轴的另一个交点坐标为，
方程解为   ，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：图所表示的方程组为．
故答案为：．
根据图所表示方程组，可找出各算筹表示的数量，进而可得出图所表示的方程组为．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得出，得到，进一步求出结果．
本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，运用好等边对等角是解题关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，当：：时，则，
，
，
此时点的坐标为；
当：：时，则，
连接，则，，
此时平分，
过点作于，则，
，
此时点的坐标为；
当：：时，则，
，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
分三种情况分别画出相应图形，根据正方形、等腰三角形以及直角三角形的边角关系进行计算，求出的长即可．
本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正方形的性质以及坐标的定义是正确解答的关键．
 

13.【答案】解：．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】由算术平方根的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质及特殊角的三角函数值可分别求出、、及的值，再求出整个算式的值即可；
由得，由折叠得，则，所以，则是等腰三角形．
此题重点考查算术平方根的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定等知识，此题涉及的知识较多，但难度不大．
 

14.【答案】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
不等式组的解集为，
表示在数轴上如图：
 

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据求公共解集的方法求出不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
 

15.【答案】    

【解析】解：在商场中转转盘一次，中一等奖的概率是，
故答案为：；
在商场中转转盘一次，中一等奖的概率是，
故答案为：；
，，
，
故答案为：；
列表如下：

共有个等可能的结果，小芬与小亮在商场至少有一人中一等奖的结果有个，
小芬与小亮在商场至少有一人中一等奖的概率为．
直接由概率公式求解即可；
直接由概率公式求解即可；
求出和，即可求解；
列表得出共有个等可能的结果，小芬与小亮在商场至少有一人中一等奖的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：如图，点为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】本题考查正方形的性质．
连接、，它们相交于点，连接并延长交于，则点满足条件；
的延长线交于，连接交于，则的延长线交于，则点满足条件．
 

17.【答案】解：，，
，，
先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到，
，．
、在反比例函数的图象上，
，
解得，，
反比例函数的解析式为． 

【解析】先求出点坐标，再根据平移规律即可得到、两点的坐标．
把，两点坐标代入中即可求出与的值，从而得到反比例函数的解析式．
本题考查了点的坐标平移规律，待定系数法求反比例函数解析式，熟记平移规律，熟练运用待定系数法是解题关键．
 

18.【答案】解：设一个型点位每天能处理生活垃圾吨，则一个型点位每天能处理生活垃圾吨，
根据题意得：，
解得：．
答：一个型点位每天能处理生活垃圾吨；
设增设个型点位，则增设个型点位，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少需要增设个型点位才能当日处理完． 

【解析】设一个型点位每天能处理生活垃圾吨，则一个型点位每天能处理生活垃圾吨，根据“个型、个型预处置点位每天正好处理吨生活垃圾”，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设增设个型点位，则增设个型点位，根据新增处置点后每日可处理生活垃圾不少于吨，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生人数为：人，
组人数为：人，
补全频数分布直方图如下：

故答案为：；
样本中，完成作业时间中位数在组内，原说法正确；
样本中，完成作业时间的众数在和内，故原说法错误；
时间段对应扇形的圆心角度数为，原说法正确．
故答案为：；
人，
答：估计该校名学生中，课业负担适中的学生大约有人．
用组的学生数除以，可求出抽查的学生人数；用样本容量分别减去其他组的人数，可得组人数，进而补全频数分布直方图；
根据中位数的定义判断即可；根据众数的定义判断即可；用乘时间段所占比例即可判断；
用总人数乘的人数所占的百分比即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
 

20.【答案】
解：如图，过点、点、点分别作的平行线、、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，过点作，垂足为，则所在的直线交于，，过点作于，
在中，，，



，
在中，，，
，
在中，，，
，
笔记本电脑显示屏边的端点到桌面的距离为：



，
答：笔记本电脑显示屏边的端点到桌面的距离约为． 

【解析】根据平行线的性质求出的度数即可；
根据直角三角形的边角关系，求出、、即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：连接，如图，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为；
连接、、，如图，
，
为的切线，
与相切，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为． 

【解析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再证明∽，然后利用相似比可求出的长；
连接、、，如图，先证明为的切线，则根据切线长定理得到，再证明垂直平分，接着证明，则可判断∽，然后利用相似比计算出的长．
本题考查了切线的性质：从圆一点引圆的切线，切线长相等．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

22.【答案】等腰直角三角形 

【解析】解：令，则，
解得，
，，
，
令，则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
由知，，
．
答：的值为．
由直线与抛物线相交可知，
，
得，
设方程的两个根分别为，，
则，．
是线段的中点，
，
将分别代入直线与抛物线，
，
，
解得或，
经检验，或是原方程的解，
的值为或．
答：的值为或．
．
．
答：的面积为．
根据题意可求出、、三点坐标，再求出，即可知是等腰直角三角形．
由和已知条件即可求解．
由直线与抛物线相交列出方程，由韦达定理写出，．
根据题意求出的横坐标代入直线与抛物线中，即可求解；
根据题意知即可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与一次函数的综合，二次函数的图象与性质，解题的关键是细心计算．
 

23.【答案】证明：如图，

延长交于，交于，
≌，
，
，，
，
；
证明：如图，

延长，交于，
≌，
，，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，结论：，．

连接，，延长至，使，连接，
，，
≌，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
， 

【解析】延长交于，交于，可得出，进而得出；
延长，，证明≌，同理得出结论；
连接，，延长至，使，连接，证明≌，可推出，，证明≌，推出，，从而得出，进而证明≌，进一步得出结论．
本题考查了旋转性质，正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握“倍长中线”等模型．