2022-2023学年浙江省杭州八区县高二上学期期末学业水平测试数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州八区县高二上学期期末学业水平测试数学试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知复数，则以下判断正确的是(    )

A. 复数z的模为1 B. 复数z的模为 C. 复数z的虚部为i D. 复数z的虚部为

3.  在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行.基本再生数与代间隔T是流行病学基本参数，其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率r与，T近似满足有学者基于已有数据估计出，据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为备注：(    )

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

6.  圆和圆的交点为A，B，则有(    )

A. 公共弦AB所在直线方程为
B. 公共弦AB的长为
C. 线段AB中垂线方程为
D.

7.  已知抛物线：与椭圆：共焦点，与在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为，且，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，若函数不存在零点，则实数a可以取(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

9.  若方程表示的曲线为C，则下列说法正确的有(    )

A. 若，则曲线C为椭圆
B. 若曲线C为双曲线，则或
C. 曲线C不可能是圆
D. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

10.  已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则(    )

A. 事件A发生的概率为 B. 事件发生的概率为
C. 事件A，B是互斥事件 D. 事件A，B相互独立

11.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列关系式中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  对于定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则(    )

A.  B.
C.  D. 在上单调递减

13.  写出使不等式恒成立的一个实数a的值__________.

14.  已知，为单位向量.若，则在上的投影向量的模为__________.

15.  己知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，，则球心O到平面ABC的距离为__________.

16.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点A，B，且若A点在x轴上的射影为M，则__________.

17.  已知是定义在上的奇函数，且，
若m，，时，有

证明：在上是增函数;

解不等式

若存在实数x使得成立，求实数t的取值范围.

18.  已知函数

求的值;

若，且，再从下面①②③中选取一个作为条件，求的值.
①函数的一个对称中心为②函数图象过点③两条相邻对称轴间的距离为
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分

19.  北京时间2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，现场医监医保人员确认航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲身体状态良好，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分满分100分，根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图.

根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数;

先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.

20.  四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，

求点B到平面PAC的距离;

求二面角的余弦值.

21.  某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内以30天计的日销售价元与时间元的函数关系近似满足为正实数该商品的日销售量个与时间天部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

求k的值;

给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式;

在的情况下，求该商品的日销售收入元的最小值.

22.  已知点A，F分别为双曲线的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B，的面积为求双曲线C的方程;
若直线与双曲线的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，记，的面积分别为，为坐标原点若，求实数的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查交集的运算，属于基础题.
先化简集合A，B，再由交集定义求解.

【解答】

解：集合，或，则

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属基础题.
首先进行复数的除法运算，然后计算模长，指出虚部即可.

【解答】

解：，，复数z的虚部为

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查异面直线所成角，考查余弦定理，属于基础题.
由题可知，则为异面直线AE与FG所成角，利用余弦定理即可得解.

【解答】

解：如图所示：

点分别为棱的中点，
，则为异面直线AE与FG所成角，
不妨设正四面体ABCD的棱长为2，
则，，由余弦定理得：
 

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的平移变换，考查正弦函数的对称轴，属于基础题.
首先求出平移后的函数解析式，然后利用三角函数选择求对称轴方程.

【解答】

解：将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象为，对称轴方程为，当时，可知B正确.

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的应用，以及指数对数化简求值，属于中档题.
根据条件求出，则，结合指数与对数互化即可得到答案.

【解答】

解：将，代入，

得，
由得
故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的公共弦及相关问题，属于中档题.
根据两圆方程相减得公共弦所在直线方程，可判断选项A；根据点到直线距离公式，可判断选项B；根据中垂线的斜率，可判断选项C；计算出的值，可判断选项

【解答】

解：由圆和圆，
两圆方程相减得，公共弦AB所在直线方程为，A选项错误；
可得圆心到直线AB的距离，
所以，B选项错误；
由选项A可得：直线AB的中垂线的斜率，
又中垂线过圆的圆心，
所以线段AB中垂线方程为，C选项错误；
在中，，，D选项正确.
故选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的离心率，也考查了抛物线的焦点、准线及椭圆的标准方程，属于基础题.
根据得到，然后将点P代入抛物线方程得到，根据共焦点得到，最后联立求离心率即可.

【解答】

解：由抛物线与椭圆共焦点可得，
由，可得，
由与在第一象限内交于P点，得P在抛物线上，
故，且，

，
，
，又，

故选：

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点问题，属较难题，可采用排除法进行求解.
当，1，2时，分别分析零点情况即可排除

【解答】

解：函数不存在零点，即方程无解，
当时，，则，
显然是方程的一个解，故B不正确；
当时，，则，
显然是方程的一个解，故C不正确；
当时，，则，
显然是方程的一个解，故D不正确，
故选

9.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查曲线与方程，属于基础题.
结合圆、椭圆、双曲线的标准方程，通过分类讨论可得答案.

【解答】

解：若曲线C为椭圆，需满足，且，解得或，A选项错误；
若曲线C为双曲线，，则或，B选项正确；
当时，，此时曲线C为圆，C选项错误；
若C为焦点在x轴上的椭圆，
则，解得，D选项正确.

10.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题主要考查古典概型，考查相互独立事件，属于中档题.
根据古典概型的计算判断选项A和B，根据互斥事件与对立事件的性质判断选项C和

【解答】

解：由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，包含的事件有：，，，，，，，，，，，，共12个基本事件；

“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，共3个基本事件，因此事件A发生的概率为，故A正确；

“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有：，，，，，，，共7个基本事件，

事件B与事件A没有相同的基本事件，所以事件A，B是互斥事件，C正确；

事件包含的基本事件个数为10个，所以事件发生的概率为，故B正确；

，，，A，B不相互独立，即D错误．
故选：

11.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理，和差角的正余弦公式，属中档题.
利用余弦定理即可判断A，B；利用两角和与差的三角函数公式与同角的三角函数关系即可判断C，

【解答】

解：因为，所以，
所以，故A错误，B正确;




，C正确；




，D错误.
故选

12.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性，对称性及单调性的综合应用，属于较难题.
由题可知的图象关于点中心对称，关于轴对称；再逐一分析即可.

【解答】

解：是奇函数，故的图象关于点中心对称；
是偶函数，故的图象关于轴对称；
对于A：的图象关于轴对称，故，又的图象关于点中心对称，故，
所以，A选项正确;
对于B：的图象关于轴对称，故，B选项正确;
对于C：的图象关于点中心对称且在上单调递减，，C选项错误；
对于D：在上单调递减，又的图象关于点中心对称，故在上单调递减，又的图象关于轴对称，故在上单调递增，D选项错误.

13.【答案】不小于的任意一个实数均可 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，属于基础题.
利用基本不等式直接求解即可.

【解答】

解：当时，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
令，可解得，
则当时，不等式恒成立.
故答案为：不小于的任意一个实数均可

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，投影向量，属基础题.
利用在上的投影向量的模为进行计算即可.

【解答】

解：，
由，为单位向量得，
所以，
所以在上的投影向量的模为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查球的切接问题，点面距离，涉及球的体积和正弦定理，属于中档题.
先利用球的体积公式求出球半径，再结合正弦定理求出的外接圆半径，根据球心O到平面ABC的距离，球的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形可求得答案.

【解答】

解：由题意，

设球的半径为R，则得

，

在 中 ，  ，，

由正弦定理可求得其外接圆的直径为  ，即半径为 2，

又球心在面 ABC 上的射影是 外心，

故球心O到平面ABC的距离，球的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形，

设球心O到平面ABC的距离为d ，球半径为 5 ，

故有  ，

故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的综合性问题，注意三角形各线段之间的比例关系，题目较难.
根据题意可做草图，设该直线交y轴于点C，在图中找到对应的数据关系，通过关系之间的转化可得的值，再由可得答案.

【解答】

解：设该直线交y轴于点C，


，
，
，
，
设，，，
则，，，
，
 

17.【答案】解：设，且，由题意得：
因为，所以，则，
故在上是增函数.

因为为奇函数，且在上是增函数，则
则不等式的解集为
存在实数x，使得，等价于
，则，
所以实数t的取值范围是或 

【解析】本题考查函数单调性与奇偶性，属中档题.
结合函数单调性的定义与题中条件即可判断；
由题可得，解不等式组即可；
问题可转化为，即，解不等式即可.
 

18.【答案】解：
，
；
选①，则，因为，则
选②，因为，则，
故，
选③，故，则
综上，不论选①②③，均可得
因为，所以，
因为，所以，故，


 

【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦型函数的性质、由一个三角函数值求其它三角函数值，属于中档题.
利用倍角公式及辅助角公式将三角函数式化为最简形式，再代值求解即可；
若选①，由对称中心结合的范围可求得若选②，由图象过的点结合的范围可得；若选③，由对称轴间距离可得周期，可得均可得解析式，代入可得，由同角三角函数关系结合的范围可得，再由两角和差公式求解即可.
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可知：的频率最大，则众数为75分;
的频率分别为，，，
设中位数为x，则
由题意可得：，解得，
故中位数为分
因为人数之比为，
所以应抽取2人，设为A，B，应抽取4人，设为C，D，E，F，
这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，
其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种，
故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率 

【解析】本题考查频率分布直方图与概率的相关问题，属于中档题.
利用众数的概念以及中位数的计算公式可直接求得答案；
首先根据分层随机抽样的计算公式可得应抽取2人，应抽取4人，再结合古典概型的概率公式计算得答案.
 

20.【答案】解：因为，底面为菱形，则为正三角形，
，则
，因为平面ABCD，所以

，得，则
故点B到平面PAC的距离为
取AB的中点E，由题可知，
以D为原点，DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系，

，，，
易知平面PCD的一个法向量为，设平面BPC的法向量，则
，即令，则
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
即二面角的余弦值为 

【解析】本题考查点到平面的距离及二面角的求解，属较难题.
利用等体积法即可求解；
建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量和平面BPC的法向量，即可求解二面角的余弦值.
 

21.【答案】解：由题意得：第10天该商品的日销售收入为，解得：，
由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，
，，，
，解得：，，
，，
由可知：，
所以，
当时，由对勾函数知在上递减，在上递增，
所以当时，取最小值，，
当时，在上递减，
所以当时，取最小值，，
综上：所以当时，取最小值， 

【解析】本题主要考查函数模型的应用、函数解析式的求法及分段函数的最值，属于中档题.
根据题意可得，求解即可；
分析单调性即可判断选②，进而选两组值代入求解参数即可得解析式；
由可得解析式，进而结合对勾函数性质分段讨论最值即可得解.
 

22.【答案】解：如图，，，

由已知，，
则，解得，
所以双曲线C的方程为
设，，

则，
所以，
则，且，
且，
所以

，
点O到直线MN的距离，
，
设，，
由得，同理可得，
所以，
点A到直线PQ的距离为，
，
所以，
令，
则，
令，
则，
故的取值范围是 

【解析】本题主要考查的是双曲线的标准方程及双曲线中的面积问题，难度较大.
结合的面积为可得，进而求出a值，则双曲线方程可求；
分别求出，的面积，，由可得，利用换元法结合二次函数的性质可求最值.