2023年福建省泉州市重点中学高考数学适应性联考试卷-普通用卷

2023年福建省泉州市重点中学高考数学适应性联考试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数所对应的点在第四象限，且满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，即，，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被整除后的余数构成一个新的数列，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某公园有如图所示至共个座位，现有个男孩个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中正确的是(    )

A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，且，则
C. 已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是
D. 某小组调查名男生和名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为，方差为；女生成绩的平均数为，方差为，则该人成绩的方差为

10.  已知圆：，直线：，下列结论正确的是(    )

A. 直线恒过点
B. 若直线平分圆，则
C. 圆心到直线的距离的取值范围为
D. 若直线与圆交于点，，则面积的最大值为

11.  圆为锐角的外接圆，，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在棱长为的正四面体中，，分别在棱，上，且，若，，，，则下列命题正确的是(    )

A.
B. 时，与面所成的角为，则
C. 若，则的轨迹为不含端点的线段
D. 时，平面与平面所成的锐二面角为，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图，点是单位圆上的一个顶点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于______．

14.  已知是等差数列的前项和，若仅当时，取到最小值，且，则满足的的最小值为______ ．

15.  定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是______．

16.  如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于、、、四个点，且满足，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知等差数列和等比数列满足，，，．
求和的通项公式；
数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和．

18.  本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若边，边的中点为，求中线长的取值范围．

19.  本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上
证明：；
当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．

20.  本小题分
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛局，甲队最终获胜的概率；
求甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利的概率；
若已知甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率．

21.  本小题分
已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，的一条渐近线与直线互相垂直．
证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若方程的两个解分别为，，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
所以．
故选：．
求出集合，再求交集可得答案．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为复数满足：，即，
故或，
因为复数所对应的点在第四象限，
故复数，所以．
故选：．
根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在上的投影向量为，
，
又是两个单位向量，即，
，即，解得．
故选：．
根据投影向量公式以及向量夹角公式，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知：数列为，，，，，，，，，，，，，故该数列的周期为，
所以．
故选：．
首先求出数列的周期数，进一步利用求和公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的周期，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有个位置可选，第二个男生在第二行有个位置可选，由于两名男生可以互换，
故男生的排法有种，
第二步：排女生，若男生选AF，则女生有，，共种选择，由于女生可以互换，
故女生的排法有种，
根据分步计数原理，共有种．
故选：．
根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，连接，
过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，
因为正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，
可得，，即，，
设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为，
可得，，故或，
即或，解得，符合题意，
所以球的体积为．
故选：．
连接，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，求得上、下底面所在圆的半径，，设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解．
本题主要考查多面体外接球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题知，函数在上仅有一个零点，
所以，
所以，
令，得，即，
若第一个正零点，则矛盾，
因为函数在上仅有一个零点，
所以，解得．
故选：．
将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则点关于直线对称的点为，
由于点在曲线上，则，
而，
则点在曲线上，
所以曲线与曲线关于直线对称，
对求导，可得，
令，解得，此时，
则点在曲线上，且过该点的切线与直线平行，
故所求的最小值为．
故选：．
首先判断曲线与曲线关于直线对称，对求导，可求得与直线平行的切线的切点坐标，然后利用点到直线的距离公式即可得解．
本题主要考查导数的几何意义以及两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，随机变量，，则，故A正确；
对于，随机变量，且，则根据正态分布曲线的对称性可知，故B正确；
对于，依题意，这组数据共个，从小到大排列为，，，，，，，，
因为，所以第百分位数是，故C错误；
对于，依题意，设名男生为，，，名女生为，，，
这名学生的平均成绩，
这名学生数学成绩的方差，故D正确．
故选：．
对于，根据二项分布的方差计算公式求解；
对于，根据正态分布曲线的对称性求解；
对于，先把数据从小到大排列，个数中的第个数即为结果；
对于，根据分层方差与总方差的计算公式求解．
本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由直线：，得，得直线过定点，故A正确；
圆化为标准方程得，圆心，
直线平分圆，直线过圆心，，解得，故B错误；
圆心到直线的距离的最大值为，最小值为，
直线不能表示表示，圆心到直线不能为，故圆心到直线的距离的取值范围为，故C错误；
设圆心到直线的距离为，的面积为，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：．
由已知可得，可得定点坐标判断；利用直线过圆心，可求判断；求得圆心到直线的最大距离与最小距离，直线不能表示表示可判断；求出的面积的不等式，然后可求最大值判断．
本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形的面积，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：记圆的半径为，则，
又，所以．

因为为锐角三角形，如图，易知，所以，
所以，即．
故选：．
利用正弦定理表示出，借助角表示出所求，根据为锐角三角形，结合图形可得范围，然后可得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，当，，则点的轨迹是的内部不含边界，
所以的最小值是点到平面的距离，最大值是棱长取不到，
如图所示，设为的中心，则平面，
所以与平面内所有的直线垂直，
则，，
所以的取值范围为，故选项A正确；

当时，为的中位线，点的轨迹是线段不含端点，
作平面，为垂足，连接，
则为与平面所成角，
因为点到平面的距离为，是的中位线，，
由，平面，平面，所以平面，
则等于点到平面的距离，即点到平面的距离的一半，所以，
在中，，，边上的高为，
所以，则，
所以，故选项B错误；

当，时，点与点重合，
当，时，点与点重合，，是两个极限点实际上取不到，
当，时，是中位线的中点，，，三点不共线，
故选项C错误；

在上取点，使得，连接，时，点的轨迹是线段不含端点，
如图所示，由选项A可知，平面，

从而与平面内所有的直线垂直，，
作，垂足为，连接，
则由于，是平面内两条相交直线，
故D平面，又平面，所以，
则是平面与平面所成的锐二面角的平面角，即，
在是的中点中，，
，
由∽，可得，
所以，
，
则，
故选项D正确．
故选：．
分析，的范围，根据向量数乘的意义得到点的轨迹，即可判断选项A，，作出直线与平面所成的角，计算正弦值，作出二面角的平面角，计算其正弦值，即可判断选项B，．
本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：




；
故答案为．
首先根据的横坐标为，求出的值，然后根据同角三角函数的性质求出，最后根据化简即可求出．
本题考查单位圆与周期性，以及任意角的三角函数的定义及其应用．通过三角函数的转化来求角的余弦值．属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，当时取到最小值，
所以，所以，
因为，所以，即，所以．
，则，因为，
所以，解之得：，因为，所以的最小值为．
故答案为：．
由前项和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出的最小值．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
两式相减得，，
故为周期为的函数，时，
令得：，
在同一坐标系中作出与的图象如下，

由图知，当时，函数有个零点轴右侧的两个零点为和，
，当时，，函数单调减，即无零点，
综上：函数在一个周期内有三个零点，，
就是说在区间在上有个完整周期，这个周期内共个零点，在内有二个零点，
函数在上共有个零点，
故答案为：．
由，可得，两式相减，可得为周期为的函数，作图分析可知，当时，有三个零点，从而可得答案，
本题考查抽象函数及其应用，求得函数的周期为，且一个周期内函数有三个零点是关键，也是难点，考查分析与作图能力，属于难题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设椭圆的方程为，
双曲线的方程为，
因为椭圆和双曲线有公共焦点、，
所以，
因为，
联立，可得，
所以，
所以点，，，的坐标分别为，，，，
所以直线的斜率，直线的方程为，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立，消得，，
设点的坐标为，
则，
所以，，
所以直线的斜率，
又，，
所以，
又，
所以，
因为点，，
所以，
故，则，
所以．
故答案为：．
设椭圆的方程为，双曲线的方程为，联立方程组求，，，的坐标，再求点的坐标，由条件列方程求椭圆的离心率．
本题考查椭圆与双曲线的性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，，
，；
当的前项中含有的前项时，
令，可得，第项为，
当的前项中含有的前项时，
令，可得，可得第项为．
则的前项中含有的前项且含有的前项，
． 

【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出的通项公式；
推得的前项中含有的前项且含有的前项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出．
 

18.【答案】解：由余弦定理得，即，
由正弦定理得：
，，，即，
，；
由余弦定理得：，则，
，
由正弦定理得，则，，

，因为是锐角三角形，
所以，即，
则，，，
中线长的取值范围为 

【解析】由余弦定理，正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
由，结合正弦定理，辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：由题意，，两两垂直．
所以以分别作为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，．
是的中点，是的中点，，
设，，则，
则，所以．
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
又平面的一个法向量为，
平面与平面所成的锐二面角为时，
，即，
解得，此时，如图位置，设为的中点，连接，交于点，

由且，
所以≌，则为中点．
连接，由，分别为，中点，可知，
又，分别为，中点，则，所以，
所以点，，，共面，又，
所以，，，，共面，即面与面重合．
所以平面与侧面的交线为，
所以交线长度为． 

【解析】由题意以分别作为，，轴建立空间直角坐标系，设，得出点的坐标，从而得出向量的坐标，求出其数量积为，即可证明．
分别求出平面与平面的法向量，结合条件得出点的位置，再求出平面与侧面的交线长即可．
本题考查二面角的求法和线性垂直的证明，考查运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中，，，，相互独立，
又甲队明星队员前四局不出场，故，，，，，
．
设为甲局获得最终胜利，为前局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，，
，，
所以．
由，． 

【解析】事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；
利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查全概率公式和贝叶斯公式，是中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为双曲线的一条渐近线与直线互相垂直，
所以其中一条渐近线的斜率为，则，则．
所以双曲线的方程为．
设点的坐标为，则，即．
双曲线的两条渐近线，的方程分别为，
则点到两条渐近线的距离分别为，
则．
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值．
存在．
当时，，又是的中点，
所以，所以，此时．
当时．
当在轴上方时，由，，可得，
所以直线的直线方程为，
把代入得．
所以，则．
由二倍角公式可得．
因为直线的斜率及，
所以，则．
因为，
所以．
当在轴下方时，同理可得．
故存在，使得． 

【解析】根据垂直关系得到渐近线的斜率，得到方程，求出双曲线方程，进而设出点的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值；
先考虑时，再考虑，当在轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当在轴下方时，同理可得结论．
本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：，
令，则，
当时，，单调递减；
时，，单调递增．
，
，在上单调递增，
故的单调递增区间是，无递减区间．
若方程有两个解，，
不妨设，原方程可化为，
设，，得，
函数是增函数，，则，
设，则，，
欲证，即证，只需证，
设，，则，
在上，，单调递减，
故，
故，
令即得成立． 

【解析】求出函数的导数，利用导数与单调性的关系即可求得函数的单调区间；
设，由是增函数，欲证，只需证，设，，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，换元思想以及不等式的证明，是难题．