2023年福建省福州重点中学高考数学第二十次质检试卷-普通用卷
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这是一份2023年福建省福州重点中学高考数学第二十次质检试卷-普通用卷,共21页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年福建省福州重点中学高考数学第二十次质检试卷一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 已知集合,若集合满足,则可能是( )A. B. C. D. 2. 若复数满足为纯虚数,且,则的虚部为( )A. B. C. D. 3. 已知,,则( )A. B. C. D. 4. 如图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分,若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是和,且,则该圆台的体积为( )
A. B. C. D. 5. 某国军队计划将艘不同的军舰全部投入到甲,乙,丙三个海上区域进行军事演习,要求每个区域至少投入一艘军舰,且军舰必须安排在甲区域,则甲区域还有其它军舰的安排方案共有( )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种6. 年底,国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利为进步巩固脱贫攻坚成果,持续实施乡村振兴战略,某企业响应政府号召,积极参与帮扶活动.该企业年初有资金万元,资金年平均增长率可达到每年年底扣除下一年必须的消费资金后,剩余资金全部投入再生产为了实现年后投入再生产的资金达到万元的目标,每年应扣除的消费资金至多为单位:万元,结果精确到万元参考数据:,( )A. B. C. D. 7. 已知椭圆:,为其左焦点,直线与椭圆交于点,,且若,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 8. 已知,,均为负实数,且,,,则( )A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9. 某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计,得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“后”从事这两个行业的岗位分布雷达图,则下列说法中一定正确的是( )
A. 芯片、软件行业从业者中,“后”占总人数的比例超过
B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“后”人数超过总人数的
C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中,“后”比“后”多
D. 芯片、软件行业中,“后”从事市场岗位的人数比“前”的总人数多10. 已知函数,则( )A. 为的一个周期 B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 的值域为11. 如图,在矩形中,,,为中点,现分别沿、将、翻折,使点、重合,记为点,翻折后得到三棱锥,则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的半径为12. 设,是一个随机试验中的两个事件,且,,,则( )A. B.
C. D. 三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知按从小到大顺序排列的两组数据:
甲组:,,,,,;乙组:,,,,,.
若这两组数据的第百分位数、第百分位数分别对应相等,则,的平均数等于______ .14. 写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量______ .15. 已知抛物线与圆,过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于,两点,与圆交于,两点在轴的同一侧,若,则的值是______ .16. 将函数的图象向右平移个单位长度,得到的函数的图象关于点对称,且在区间上单调递增,则 ______ ,实数的取值范围是______ .四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 本小题分
设为数列的前项积已知.
求的通项公式;
求数列的前项和.18. 本小题分
的内角,,的对边分别为,,,已知,且的面积.
求;
若内一点满足,,求.19. 本小题分
某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取名学生的竞赛成绩单位:分,并以此为样本绘制了如图频率分布直方图.
求该名学生竞赛成绩的中位数;结果保留整数
从竞赛成绩在,的两组的学生中,采用分层抽样的方法抽取了人,现从这人中随机抽取人,记竞赛成绩在的学生人数为,求的分布列和数学期望;
以样本的频率估计概率,从随机抽取名学生,用表示这名学生中恰有名学生竞赛成绩在内的概率,其中,,,,当最大时,求.
20. 本小题分
如图,在三棱柱中,,侧面为菱形,为等边三角形.
求证:;
若,点是侧棱上的动点,且平面与平面的夹角的余弦值为,求点到平面的距离.
21. 本小题分
如图,双曲线的中心在原点,焦点到渐近线的距离为,左、右顶点分别为、曲线是以双曲线的实轴为长轴,虚轴为短轴,且离心率为的椭圆,设在第一象限且在双曲线上,直线交椭圆于点,直线与椭圆交于另一点.
求椭圆及双曲线的标准方程;
设与轴交于点,是否存在点使得其中,为点,的横坐标,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
22. 本小题分
设,函数.
判断的零点个数,并证明你的结论;
若,记的一个零点为,若,求证:.
答案和解析 1.【答案】 【解析】解:因为,又,
即,
因为,所以与选项集合不符合,
因为,所以选项集合不符合,所以C正确.
故选:.
解指数不等式得到集合,根据交集运算性质得,逐项判断即可.
本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题.
2.【答案】 【解析】解:设,
为纯虚数,
,
,
又,
,解得,
的虚部为.
故选:.
设,利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得的值,即为所求虚部.
本题主要考查复数的四则运算,以及复数模公式,属于基础题.
3.【答案】 【解析】解:由题意,可得,
即,
又,,
代人可得,解得,
所以,
故选:.
由,两边平方可得,再由向量展开代人求解即可.
本题考查了向量的线性运算和模的求法,是基础题.
4.【答案】 【解析】解:设圆台上底面圆半径为,下底面圆半径为,
依题意,,且,解得,
而圆台的母线长,
因此圆台的高,
所以圆台的体积.
故选:.
根据给定条件,求出圆台的上下底面圆的半径,再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.
本题考查圆台的体积的求解,属基础题.
5.【答案】 【解析】解:依题意,甲区域除军舰外至少还有一艘军舰,至多还有两艘军舰,
若甲区域除军舰外还有一艘军舰,则安排方案共有种;
若甲区域除军舰外还有两艘军舰,则安排方案共有种;
所以甲区域还有其它军舰的安排方案共有种.
故选:.
按甲区域还有其它几艘军舰进行分情况讨论求解.
本题主要考查了排列组合知识,考查了计数原理的应用,属于基础题.
6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查等比数列的实际应用,掌握等比数列的前项和公式是解本题的关键,属于基础题.
根据已知条件,结合等比数列的前项和公式,即可求解.【解答】解:设每年应扣除的消费资金为万元,
则年后投入再生产的资金为:,
年后投入再生产的资金为:,
年后投入再生产的资金为:
,
故,解得.
故选:. 7.【答案】 【解析】解:已知椭圆:,为其左焦点,直线与椭圆交于点,,且,
设椭圆的右焦点为,
则四边形为平行四边形,
又,
则,
又,
则,,
又,
由余弦定理可得:,
即.
故选:.
由椭圆的性质,结合椭圆的定义及椭圆离心率的求法求解即可.
本题考查了椭圆的性质,重点考查了椭圆的定义及椭圆离心率的求法,属中档题.
8.【答案】 【解析】解:因为,,均为负实数,
由可得,
故,
同理由可得,
因为,所以,
所以,即,
令,则,,,
又,,
易得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
所以,
又,,,
所以.
故选:.
结合对数的运算性质对已知等式进行化简,考虑构造函数,对其求导,结合导数与单调性关系即可比较函数值大小.
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用,属于中档题.
9.【答案】 【解析】解:选项,从饼形图可看出芯片、软件行业从业者中,“后”占总人数的比例为,超过,A正确;
选项,芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“后”人数比例为,超过总人数的,B正确;
选项,芯片、软件行业从事技术岗位的人中,“后”人数占比为,
芯片、软件行业从业者中“后”占总人数的,但不知道从事技术岗位的比例,故无法确定两者人数的多少,C错误;
选项,芯片、软件行业中,“后”从事市场岗位的人数占比为,“前”占总人数的,故D正确.
故选:.
根据饼形图和“后”从事这两个行业的岗位分布雷达图,对四个选项一一进行计算,得到答案.
本题主要考查了统计图的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
10.【答案】 【解析】解:对于,因为,
所以为的一个周期,故A正确;
对于,因为,
所以的图像关于直线对称,故B正确;
对于,因为当时,,则,
则,
故在上单调递减,故C错误;
对于,因为在上单调递减,
所以在上的取值范围为,
因为关于直线对称,
所以在上的取值范围为,
又的周期为,
所以在整个定义域上的值域为,故D正确.
故选:.
利用验证法选项AB,在定义区间内化简函数解析式,判断单调性并求值域.
本题考查三角函数的图象及性质,考查运算求解能力,属于中档题.
11.【答案】 【解析】解:由题意可得,,
又,,平面,
所以平面,
在中,边上的高为,
所以,故A错误;
对于,在中,,
,
,
所以直线与直线所成角的余弦值为,故B正确;
对于,,
设点到平面的距离为,
由,得,解得,
所以直线与平面所成角的正弦值为,故C错误;
由选项知,,则,
所以的外接圆的半径,
设三棱锥外接球的半径为,
又因为平面,
则,所以,
即三棱锥外接球的半径为,故D正确.
故选:.
证明平面,再根据即可判断;先利用余弦定理求出,将用表示,利用向量法求解即可判断;利用等体积法求出点到平面的距离,再根据直线与平面所成角的正弦值为即可判断;利用正弦定理求出的外接圆的半径,再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断.
本题考查了立体几何的综合应用,属于中档题.
12.【答案】 【解析】解:对于:,,
所以,故A错误;
对于:,,,故C正确.
对于:,
,,,故B正确;
对于:,,,,
,所以D正确.
故选:.
利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
本题考查和事件的概率公式和条件概率公式,属于中档题.
13.【答案】 【解析】解:因为甲乙两组都有个数据,,,
甲组第百位数为,第百分位数为,
乙组第百位数为,第百分位数为,
因为这两组数据的第百分位数、第百分位数分别对应相等,
所以,,即,
所以.
故答案为:.
分别求出甲组、乙组第百位数、第百分位数分别对应相等,可得、,再求平均数即可.
本题主要考查百分位数,属于基础题.
14.【答案】答案不唯一 【解析】解:设两曲线的公切线与曲线切于,与曲线切于,
曲线在处的切线方程为,
曲线在处的切线方程为.
则,且,
可得,即.
曲线与曲线的公切线的方程为,该公切线的一个方向向量为.
故答案为:答案不唯一.
设两曲线的公切线与两曲线的切点坐标,利用导数写出过切点的切线方程,再由斜率相等、切线在轴上的截距相等列式求得切点坐标,进一步可得切线方程,则公切线的一个方向向量可求.
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查运算求解能力,是中档题.
15.【答案】 【解析】解:抛物线的焦点,准线方程为,于是直线:,显然,
由消去得:,设,,
则,又圆的圆心为,半径为,
由,得,即,
于是,整理得,又,解得,
则,解得,
所以的值是.
故答案为:.
根据给定条件,写出直线的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答.
本题主要考查抛物线的性质,属于中档题.
16.【答案】 【解析】解:将函数的图象向右平移个单位长度,
得到的函数的图象关于点对称,
,即,
因为,则,
若,则,
在区间上单调递增,,
当,,
,且,
即,且,;
若,则,
在区间上单调递增,
,
当,,
,且,
即且,故;
综上可得,,.
故答案为:;.
由题意利用函数的图象变换规律,得到的表达式,根据其对称中心可求得,再利用其单调区间,分类讨论,求出的范围,即可确定答案.
本题主要考查三角函数的图象与性质,考查转化能力,属于中档题.
17.【答案】解:由,可得是首项为,公差为的等差数列,
则
当时,,即,
当时,,
由相除可得,
即有,对也成立,
所以,;
,
则数列的前项和为
. 【解析】由等差数列的定义和通项公式,以及数列的前项积的定义,计算可得所求;
求得,由数列的裂项相消求和,计算可得所求和.
本题考查等差数列的定义和通项公式,以及数列的裂项相消求和,考查转化思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
18.【答案】解:由余弦定理得,又因为,
所以,所以,
因为,所以,由正弦定理得,
因为所以,因为,所以;
由知,所以,
所以,设,因为,所以,
因为,所以,
因为在中,所以,
因为在中,所以,
即,所以,即,即,
因为,所以. 【解析】由余弦定理可得,进而可求;
设,进而可得,可求,可求.
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,属中档题.
19.【答案】解:由直方图可知成绩在,,,的频率和为,而成绩在的频率为,
则抽取的名学生成绩的中位数在内,设中位数为,则,
解得,所以该名学生竞赛成绩的中位数约为;
由频率分布直方图可得:竞赛成绩在,两组的频率之比为::,
则人中竞赛成绩在的人数为人;在的人数为人;
则所有可能的取值为,,,,
于是,,
,,
所以的分布列为: 数学期望为;
用频率估计概率,竞赛成绩在内的概率,
则,
.
令,解得,
当且仅当时取等号,即,
当,时,,当,,时,,
所以当或,最大. 【解析】利用给定的频率分布直方图,由中位数的意义以及计算公式,代入计算即可得到结果;
利用分层抽样求出成绩在,内的人数,再求出的可能值及对应概率,列出分布列并求出期望作答;
随机抽一名学生,求出成绩在的概率,再利用独立重复试验的概率公式,列出不等式求解作答.
本题主要考查了频率分布直方图的应用,考查了离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题.
20.【答案】证明:连接与相交于点,连接,如图所示:
四边形为菱形,为的中点,
则,为等边三角形,
,,平面,,
平面,平面,,
又,,平面,,
平面,平面,.
解:知,,且,,平面,
故CB平面,而平面,故平面平面,
分别取,的中点,,连接,,
则,
平面,为等边三角形,,
而平面平面,平面,
故B平面,
以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
,为等边三角形
则,,,,
设,则,
,,
设平面的一个法向量,则有,
令,则,,即,
又平面的法向量为,
平面与平面的夹角的余弦值为,
,或舍,
此时,又,
,
点到平面的距离为:. 【解析】先证明平面,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论;
建立平面直角坐标系,求得相关点坐标,设,求出平面的一个法向量,根据平面与平面的夹角的余弦值求得参数,根据空间距离的向量求法,即可求得答案.
本题主要考查点、线、面间的距离计算,考查转化能力,属于中档题.
21.【答案】解:由已知可设双曲线方程为,椭圆方程,
则双曲线的一条渐近线方程为,即,
故,即,又,
解得,所以双曲线方程:,
所以椭圆方程为:;
设,,,,,
、、三点共线,,
、、三点共线,,
相除:,
令,则设:,
联立,得,
由在椭圆内,故,所以,
,,
若存在,即,,得,
又在第一象限,所以,. 【解析】设双曲线方程为,椭圆方程,根据焦点到渐近线的距离和离心率求出,可得答案;
设,,,根据、、三点共线,、、三点共线可得,令得直线的方程,与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得,若存在,即代入可得答案.
本题考查双曲线的几何性质,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,化归转化思想,属难题.
22.【答案】解:,
令,则,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,,
且在处取得极小值也是最小值,
,
,即,单调递增,
当趋于时,趋于,,
在内存在唯一的零点,即的零点个数为;
证明:令,,是减函数,,
即当时,,,当时,,,
由知:,
;
由的讨论知存在唯一的零点,
当时,,
,
,,
,
又,
,其中,,
令,,则;
式即为,
不等式等价于,
其意义为:当函数,与函数,的函数值相等时,比较对应的自变量之间的大小关系,
设,,
则,
当时,,,
,
当时,,,
是减函数,
又,
时,,即,
时,,当且仅当时等号成立,
即 . 【解析】求导,根据的取值范围确定函数的单调性,从而判断零点的个数;
将不等式理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.
本题考查导数的综合运用,考查不等式的证明,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于中档题.