2023年四川省成都市重点中学高考数学适应性试卷（文科）-普通用卷

2023年四川省成都市重点中学高考数学适应性试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知是虚数单位，若为纯虚数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  等差数列中，，则前九项和(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

5.  若直线，与：相切，则最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某人每天早上在：：任一时刻随机出门上班，他的报纸每天在：：任一时刻随机送到，则该人在出门时能拿到报纸的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线离心率为，实轴长为，则焦点到渐近线的距离(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则面积(    )

A.  B.  C.  D.

10.  为棱长为的正方体，点、分别为，的中点，给出以下命题：
直线与是异面直线；
点到面距离为；
若点、、三点确定的平面与交于点，则．
正确命题有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

11.  如图，，是椭圆的左、右顶点，是：上不同于，的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知，分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则，，大小关系为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，且，则 ______ ．

14.  数列前项和，若，，令，则前项和 ______ ．

15.  埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为______ 注：球壳厚度不计．

16.  已知中，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数的最小正周期为，且，
求，；
将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．

18.  本小题分
随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观，某学校高一年级名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成组：，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
试估计这名学生初赛成绩的平均数同一组的数据以该组区间的中间值作代表；
为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任意选取人进行个别辅导，求选取的人中恰有人成绩在内的概率．

19.  本小题分
如图所示，在直角三角形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足．
证明：；
求点到平面的距离．

20.  本小题分

设函数．

讨论函数的单调性；
若函数在区间上的最小值是，求的值．

21.  本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点．
求椭圆方程；
直线与椭圆交于点、，为的右焦点，直线、分别交于另一点、，记与得面积分别为、，求的范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求，的极坐标方程；
设点的直角坐标为，直线经过点，交于点，，交于点，求的最大值．

23.  本小题分
已知函数．
求的解集；
若最小值为，正实数，，满足，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
则．
故选：．
根据补集的定义结合指数函数分析运算．
本题主要考查指数不等式的解法，补集的定义和求法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：是纯虚数，
．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：等差数列中，，
，
解得，
则前九项和．
故选：．
利用等差数列通项公式求出，再由等差数列前项和公式能求出前九项和．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，，则与相交或异面，故B错误；
对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：．
对于，与相交、平行或异面；对于，与相交或异面；对于，由面面垂直的判定定理得；对于，与相交、平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若直线与：相切，
则，即，
令，，
则为辅助角，
根据正弦函数的性质可知的最大值为．
故选：．
由已知结合直线与圆相切的性质可得，然后利用三角换元，再结合正弦函数的性质可求．
本题主要考查了直线与圆相切的性质，正弦函数的性质，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设某人离开家时间距离：为分钟，送报时间距离：为分钟，
某人每天早上在：：任一时刻随机出门上班，
他的报纸每天在：：任一时刻随机送到，
则，
由题意可知，某人能拿到报纸，
则，
画出区域，即矩形，

对应的区域为，
故该人在出门时能拿到报纸的概率为：．
故选：．
根据已知条件，画出可行性区域，再结合几何概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：双曲线离心率为，实轴长为，
，得，，则．
设双曲线的一条渐近线方程为，即，一个焦点为，
则焦点到渐近线的距离．
故选：．
由已知求得与，进一步求得得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，
因为，
所以，
所以，，．
故选：．
由已知结合同角基本关系及二倍角公式进行化简可求，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，直线的倾斜角为，可得，，，
可得，，解得，
所以面积：．
故选：．
利用已知条件求解的坐标，然后求解焦点坐标，即可求解三角形的面积．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对，由图可知，不在平面内，故直线与是异面直线，故正确；

对，取的中点，过作，连接，由为棱长为的正方体，
是的中点，可得平面，因为平面，
所以，因为，，，平面，
所以平面，故即为点到面距离，
又，所以，，，四点共面，
所以即为点到面距离，由条件可求，，，，
所以，所以，
因为，
所以点到面距离为，故错误；

对，如图，将面扩展，取，则，
取的中点，连接，则与的交点即为点、、三点确定的平面与的交点，
因为，所以为的中点，又，
所以，故错误．

故选：．
利用异面直线定义，结合图形，即可判断，对，利用线面垂直判定定理，得出线面垂直，则垂线段的长即为点到面的距离，进而求解，对，延展平面，结合正方体性质，即可求解．
本题考查空间直线的位置关系，考查点到面的距离的计逄，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得在椭圆上，则设，
，，
，
又是的直径，则，即，
，
由得，
又，则．
故选：．
由题意得在椭圆上，则设，结合题意可得，，，可得，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，，则，
又由，分别为上的奇函数和偶函数，则有，
可得：，
的导数，
设，则，
易得，则在上为增函数，
在区间上，有，则在上为增函数，
又由，，
，则，
，则，
又由，则有，
即有，
在上为增函数，必有．
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得，与联立可得的解析式，求出的导数，利用导数与函数单调性的关系可得的单调性，由对数的运算性质分析、、的大小关系，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数导数与单调性的关系，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：已知向量，，，
，
，解得，
，．
故答案为：．
由向量平行的坐标运算，得到，再利用模的坐标公式求．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，可得，
解得；
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
化为，
则，
，
则前项和为．
故答案为：．
由数列的通项和求和的关系式，结合等比数列的通项公式求得，由对数的运算性质可得，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式、等差数列的求和公式，考查转化思想、运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球．
如图所示，在正四棱锥中，，，
为其外接球的球心，连接与相交点于，连接，
为顶点在底面上的投影，即为正方形的中心，
 
设球的半径为，表面积为，则在正方形中，
，
在中，，
则，在中，，，，
因为，所以，
化简得，则，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值．
本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，
在中，由余弦定理可得，
则，
又，
则，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
又，
则，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
设，则，在中，由余弦定理可得，进一步可得，然后在以及中分别利用余弦定理，结合，可建立关于的方程，进而求得的值，再由平面向量的数量积公式求解即可．
本题考查解三角形与平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：函数的最小正周期为，．
再根据，，．
将的图象往右平移个单位后得函数的图象，
故
当取得最大值时，由，，求得，，
故当取得最大值时，值的集合为． 

【解析】由题意，利用函数的周期性求出，再根据据，求得值．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得的最大值及这时值的集合．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意，这名学生初赛成绩的平均数为；
成绩在的有人，
成绩在的有人，
从成绩不足分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取人，成绩在的有人，
成绩在的有人，
从人中随机抽取人，共有种选法，
这人中恰有人成绩在，共有种选法，
故选取的人中恰有人成绩在内的概率为． 

【解析】利用组中值结合加权平均公式即可求得答案；
利用分层抽样的方法求出每人被抽取的概率，从而计算出各层抽取的人数，再由组合的应用即古典概型概率公式代入计算．
本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型的概率公式，考查分层抽样，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：在直角三角形中，
，，
，
即在四棱锥中，，，，平面，平面，
平面，从而平面，
如图，在上取一点，使得，连接，，
，所以，
，
又，所以四边形是矩形，
，平面，平面，
平面，
在中，，，所以，平面，平面，
平面，
又，平面，平面，所以平面平面，
平面，故BC；
连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，
所以三棱锥的体积，
所以，
在 中，计算可得，由余弦定里以及数据代入得，所以，
，
设点到平面的距离为，则，故；
综上，点到平面的距离为． 

【解析】根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；
运用等体积法求解．
本题考查线线垂直以及空间中点到平面的距离相关问题，属于难题．
 

20.【答案】解：．
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得．
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由知，当时，函数在上单调递增，
函数在上的最小值为，
即，矛盾．
当时，由得是函数在上的极小值点．
当即时，函数在上单调递增，
则函数的最小值为，即，符合条件．
当即时，函数在上单调递减，
则函数的最小值为即，矛盾．
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为，即．
令，则，
在上单调递减，
而，
在上没有零点，不成立．
即当时，方程无解．
综上，实数的值为． 

【解析】本题考查函数的导数，利用函数的单调性研究函数的极值，函数的最值的求法，考查转化思想，分类讨论思想以及计算能力，属于难题．
求出函数的导数，通过对的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．
由知，当时，函数在上单调递增，当时，当时，矛盾，当时，即令，则，转化求解即可．
 

21.【答案】解：根据题意可得，解得，，，
所以椭圆的方程为．
设，，，，
所以直线的方程为，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
同理可得，
所以． 

【解析】根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
设，，，，则直线的方程为，联立椭圆的方程，解得，，则，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为参数，
消去参数得，，
的极坐标方程为，
曲线的参数方程为为参数，
消去参数得，，
的极坐标方程为；
直线经过点，设直线的倾斜角为，
则直线的参数方程为，代入，得，
设点，所对应的参数分别为，，
则，
把代入，得，
，
，
，，
当，即时，取得最大值，
的最大值为． 

【解析】消去参数，得到曲线，的普通方程，再化为极坐标方程即可；
设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义求出，再把直线的参数方程代入的普通方程，利用参数的几何意义求出，结合三角函数的性质求解即可．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线的参数方程，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
或或．
解得或或．
不等式的解集为；
证明：由，
可得的最小值为，则，即，



，当且仅当时，等号成立，
． 

【解析】分类讨论，去掉绝对值符号，分别解不等式，即可得解；
根据分段函数的性质求出，然后利用基本不等式，即可证明结论．
本题考查了绝对值不等式的解法和分段函数的性质，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．