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2022-2023学年福建省泉州市晋江重点中学高二（下）期末联考数学试卷
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这是一份2022-2023学年福建省泉州市晋江重点中学高二（下）期末联考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市晋江重点中学高二（下）期末联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=(2+ai)i为“等部复数”，则实数a的值为( )
A. −1 B. 0 C. 2 D. −2
2. 已知集合M={0,1,2}，N={−1,0,1,2}，则“a∈M”是“a∈N”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在空间中，下列说法正确的是( )
A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直
C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
4. 若cos2α=−725，0<α<π2，则cosα等于( )
A. 45 B. −45 C. 35 D. −35
5. 若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是( )
A. ab≥ 2 B. a+ b≤ 2 C. 2a+1b≥3 D. a2+b2≥2
6. 函数f(x)=4x−4−xx2+|x|−2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为N0(>0)，经过时间t(天)之后的新闻热度变为N(t)=N0e−αt，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数α=0.3，要使该新闻的热度降到初始热度的10%以下，需要经过天(参考数据：ln10≈2.303)( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF//底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB=2,AE=2 3，则该刍甍的外接球的体积为( )
A. 64 2π3 B. 32π C. 64 3π3 D. 64 2π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为( )
A. 直线AM与C1C是相交直线
B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线BN与MB1是异面直线
D. 直线MN与AC所成的角为60°
10. 已知平面向量a=(2,2),b=(1,m)，且|2a+b|=|2a−b|，则( )
A. m=−1 B. 〈a,b〉=π3 C. a//b D. |b|= 2
11. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象的周期为T=π
B. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. 函数f(x)在区间[−π3,π6]上的最大值为2
D. 直线y=1与y=f(x)(−π12≤x≤11π12)图象所有交点的横坐标之和为π6
12. 如图，直线l1//l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C,GA+GB+GC=0，则( )
A. AG=13(AB+AC) B. △GAB面积的最小值是23
C. |AG|≥1 D. GA⋅GB存在最小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为______ ．
14. 已知α为第二象限角，且sinα=45,则cos(α−π4)= ______ ．
15. 已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=2x，则f(20212)= ______ ．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，则AB·AD的值是______．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知向量a，b满足a=(1,−1)，|b|=1．
(1)若a，b的夹角为π3，求a⋅b；
(2)若(a−b)⊥b，求a与b的夹角．
18. (本小题12.0分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+bcosA=c．
(1)求B；
(2)设a= 2c，b=2，求c．
19. (本小题12.0分)
2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率．
20. (本小题12.0分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AD=3BC=3,AB= 2，点E在线段PD上，PD=3PE．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．
21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=2x+(p−1)⋅2−x是定义域为R的偶函数．
(1)求p的值；
(2)若g(x)=f(2x)−2k⋅(2x−2−x)在[1,+∞)上最小值为−4，求k的值；
(3)若不等式f(2x)>m⋅f(x)−4对任意实数x都成立，求实数m的范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z=(2+ai)i=−a+2i，
因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，
所以−a=2，所以a=−2．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为M⊆N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，但“a∈N”推不出“a∈M”，
所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件．
故选：A．
由充分、必要条件定义即可得出答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，理解充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；
平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；
根据线面垂直的性质可知：D正确；
故选：D．
根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．
本题考查线面平行或垂直的判断方法，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为cos2α=−725=2cos2α−1，所以cos2α=925，
又0<α<π2，所以cosα=35．
故选：C．
利用二倍角公式，求得cos2α=925，再判断cosα的符号，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：A：由2=a+b≥2 ab，得 ab≤1,ab≤1，A错误；
B：( a+ b)2=a+b+2 ab≤a+b+a+b=4，当且仅当a=b=1时取等号，
所以 a+ b≤2，B错误；
C：2a+1b=a+ba+a+b2b=32+ba+a2b≥32+2 ba⋅a2b=32+ 2，
当且仅当a= 2b且a+b=2，即b=2 2−2，a=4−2 2时取等号，C错误；
D：a2+b2=(a+b)2−2ab=4−2ab≥2恒成立，
故选：D．
由2=a+b≥2 ab，得 ab≤1,ab≤1，结合选项可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，当两个正数的和或积为定值时，可考虑利用基本不等式求解最值或判断范围．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=4x−4−xx2+|x|−2，其定义域为{x|x≠±1}，
有f(−x)=4−x−4xx2+|x|−2=−f(x)，f(x)为奇函数，排除A，
当x=12时，y=2−1214+12−2=−65>0，排除B，
令f(x)=4x−4−xx2+|x|−2=0，解得x=0，排除C，
故选：D．
根据题意，分析函数的奇偶性，排除A，再利用特殊点的函数值判断即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，特殊点的函数值的判断，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得N(t)=N0e−αt<0.1N0，
∴e−0.3t<0.1,−0.3tln100.3≈2.3030.3≈7.677，
即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下，
故选：C．
根据题意，列出不等式，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：取AD，BC中点N，M，正方形ABCD中心O，EF中点O2，连接EN，MN，FM，OO2，如图，
依题意，OO2⊥平面ABCD，EF//AB//MN，点O是MN的中点，MN=AB=4，
等腰△AED中，AD⊥EN，EN= AE2−AN2=2 2，同理FM=2 2，
因此，等腰梯形EFMN的高OO2= EN2−(MN−EF2)2= 7，由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心O1在直线OO2上，连O1E，O1A，OA，正方形ABCD外接圆半径OA=2 2，
则有O1A2=OA2+OO12O1E2=O2E2+O2O12，而O1A=O1E,O2E=12EF=1，
当点O1在线段O2O的延长线(含点O)时，视OO1为非负数，若点O1在线段O2O(不含点O)上，视OO1为负数，
即有O2O1=O2O+OO1= 7+OO1，即(2 2)2+OO12=1+( 7+OO1)2，解得OO1=0，
因此刍甍的外接球球心为O，半径为OA=2 2，
所以刍甍的外接球的体积为4π3×(2 2)3=64 2π3．
故选：A．
根据给定条件，求出点E到平面ABCD的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解．
9.【答案】CD
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，
在A中，直线AM与C1C是异面直线，故A错误；
在B中，直线AM与BN是异面直线，故B错误；
在C中，直线BN与MB1是异面直线，故C正确；
在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2，
则M(0,1,2)，N(0,2,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
MN=(0,1,−1)，AC=(−2,2,0)，
则cos=MN⋅AC|MN|⋅|AC|=2 2⋅ 8=12，
∴直线MN与AC所成的角为60°，故D正确．
故选：CD．
在A中，直线AM与C1C是异面直线；在B中，直线AM与BN是异面直线；在C中，直线BN与MB1是异面直线；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN与AC所成的角为60°．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：|2a+b|=|2a−b|，同时平方可得，a⋅b=0，
故a⊥b，故BC错误，
a=(2,2),b=(1,m)，
则2+2m=0，解得m=−1，|b|= 12+(−1)2= 2，故AD正确．
故选：AD．
将|2a+b|=|2a−b|同时平方可得，a⋅b=0，再结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：由图象可得，T4=2π3−5π12=π4，得T=π，故A正确，
ω=2ππ=2，A=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，当x=2π3时，f(x)取最小值，
则2sin(2×2π3+φ)=−2，即4π3+φ=3π2+2kπ，k∈Z，
∵|φ|<π，
∴φ=π6，即f(x)=2sin(2x+π6)，
当x=π12时，f(π12)=2sin(2×π12+π6)=2sinπ3≠0，故B错误，
当x∈[−π3,π6]，则2x+π6∈[−π2,π2]，则−2≤f(x)≤2，故C正确，
当−π12≤x≤11π12时，
则2x+π6∈[0,2π]，
设直线y=1与y=f(x)(−π12≤x≤11π12)图象所有交点的横坐标为x1，x2，则2x1+π6+2x2+π6=π，解得x1+x2=π3，故D错误．
故选：AC．
先利用函数图象 T，A，ω，φ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果．
本题主要考查三角函数图象的应用，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：设AB中点为F，连接CF，以D为原点，DB，DE方向分别为x，y轴建立如图所示直角坐标系：
所以A(0,2)，E(0,3)，
设C(m,3)，B(n,0)，G(x,y)，m，n，x，y∈R，且m，n≠0，
所以AC=(m,1),AB=(n,−2)，
因为AC⊥AB，所以AC⋅AB=0，
即mn−2=0，故n=2m，即B(2m,0)，所以GA=(−x,2−y)，
GB=(2m−x,−y),GC=(m−x,3−y)，
因为GA+GB+GC=0，所以2m+m−3x=05−3y=0，
因为13(AB+AC)=13((2m,−2)+(m,1))=(2m+m3,−13)，
故AG=13(AB+AC)，选项A正确；
因为GA+GB+GC=0，所以GC=−(GA+GE)，
即GC=−2GF，所以G，C，F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，
所以S△GAB=13S△ABC=16|AC|⋅|AB|=16 m2+1⋅ 4m2+4=13 (m2+1)(1m2+1)=13 m2+1m2+2≥13 2 m2⋅1m2+2=23，
当且仅当m2=1m2，即m=±1时取等，所以选项B正确；
因为AG=(2m+m3,−13)，所以|AG|= (2m+m3)2+19= 4m2+m2+49+19≥ 2 4m2⋅m2+49+19=1，
当且仅当4m2=m2，即m=± 2时取等，故|AG|≥1，选项C正确：
因为GA=(−2m+m3,13),GB=(3m−m3,−53)，
所以GA⋅GB =(−2m+m3,13)⋅(3m−m3,−53)=−(2m+m3)(3m−m3)−59=m2−6m2−19−59=m2−6m2−69．
因为m∈R且m≠0，所以m2>0，记f(x)=x−6x−6,x>0，
可知f(x)单调递增，没有最值，即GA⋅GB没有最值，故选项D错误．
故选：ABC．
根据题意建立合适的直角坐标系，设出C(m,3)，B，G坐标，根据AC⊥AB及GA+GB+GC=0即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG,13(AB+AC)即可判断A；取AB中点为F，连接CF，根据GA+GB+GC=0，可得G，C，F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，即可找到△GAB面积与△ABC面积之间比例关系，进而建立△GAB面积等式，根据基本不等式即可判断B，求出|AG|，再根据基本不等式可判断C；写出GA⋅GB进行化简，根据m的范围即可得 GA⋅GB的最值情况．
本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目．
13.【答案】910
【解析】解：由题意，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为1−C33C53=1−110=910．
故答案为：910．
根据对立事件的概率公式以及古典概型的概率计算公式化简求值即可．
本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的应用，属于基础题．
14.【答案】 210
【解析】解：由α为第二象限的角，sinα=45，
得到cosα= 1−(45)2=−35，
则cos(α−π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4= 22(−35+45)= 210．
故答案为： 210
由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系，根据sinα的值求出cosα的值，然后利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα的值和cosα的值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意α为第二象限角条件的应用．
15.【答案】2 2
【解析】解：偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=2x，
则f(20212)=f(1010+12)=−f(12)=−f(−12)=f(32)
=232=2 2．
故答案为：2 2．
利用函数的性质推导出f(20212)=f(1010+12)=−f(12)=−f(−12)=f(32)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】22
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中档题．
由CP=3PD，可得AP=AD+14AB，BP=AD−34AB，进而由AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，构造方程，可得答案．
【解答】
解：∵CP=3PD，
∴AP=AD+DP=AD+14AB，
BP=BC+CP=AD−34AB，
又∵AB=8，AD=5，
∴AP·BP=(AD+14AB)·(AD−34AB)
=|AD|2−12AB·AD−316|AB|2
=25−12AB·AD−12=2，
故AB⋅AD=22，
故答案为22．
17.【答案】解：(1)由a=(1,−1)，|b|=1，
又a，b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|= 12+(−1)2×1×12= 22；
(2)由(a−b)⊥b，
则(a−b)⋅b=0，
则a⋅b=b2=1，
设a与b的夹角为θ，
则cosθ=a⋅b|a||b|=1 2×1= 22，
又θ∈[0,π]，
则θ=π4，
即a与b的夹角为π4．
【解析】(1)由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
(2)由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC，
因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAsinB=sinAcosB，
又因为sinA≠0，cosB≠0，
所以tanB=1，
又0
(2)由余弦定理b2=c2+a2−2accosB，a= 2c，
可得4=c2+2c2−2 2c2× 22，解得c=2．
【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=1，结合0
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图，可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1，
则a+b=0.55，①
∵居民收入数据的第60百分位数为8.1，
∴0.05+0.12+a+(8.1−7.5)×b=0.6，
则a+0.6b=0.43，②
①②联立，解得a=0.25，b=0.3．
∴估计这100位居民可支配收入的平均值为：
0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.22．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲，乙，丙在[7.5,8.5)内，
则P(A)=P(B)=P(C)=0.3，
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”=ABC−∪AB−C∪A−BC，且ABC−,AB−C,A−BC互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P1=P(ABC−∪AB−C∪A−BC)=0.3×0.3×(1−0.3)+0.3×(1−0.3)×0.3+(1−0.3)×0.3×0.3=0.189；
②①“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”=ABC，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027，
∴抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为：
P=P1+P2=0.189+0.027=0.216．
【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第60百分位数的性质求出a，b，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
(2)分抽取的3人中有2人和3人去年可支配收入在[7.5,8.5)内两种情况求解即可．
本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：(1)过E作EF//AD交PA于点F，连接BF，
因为BC//AD，所以EF//BC，
又PD=3PE，所以AD=3EF，
又AD=3BC，所以EF=BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE//BF，
又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
所以CE//平面PAB；
(2)在梯形ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AD=3BC=3，AB= 2，
所以BC=1,AC= 3,CD= 6，
所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，又PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，
所以平面PAC⊥平面PCD，
【解析】(1)先证四边形BCEF为平行四边形，可证CE//BF，进而可证CE//平面PAB；
(2)先证AC⊥CD，PA⊥CD，进而可证CD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PCD．
本题考查线面平行的证明和面面垂直的证明，属中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=2x+(p−1)⋅2−x是定义域为R的偶函数，
可得f(−x)=f(x)，即为2−x+(p−1)⋅2x=2x+(p−1)⋅2−x，
化为(2x−2−x)(p−2)=0，
由x∈R，可得p−2=0，即p=2；
(2)g(x)=f(2x)−2k⋅(2x−2−x)=4x+4−x−2k(2x−2−x)，
设t=2x−2−x，由x≥1，t=2x−2−x递增，可得t≥32，
设h(t)=t2−2kt+2，对称轴为t=k，
当k≤32时，h(t)在[32,+∞)递增，可得h(t)的最小值为h(32)=94−3k+2=−4，
解得k=114>32，舍去；
当k>32时，h(t)在t=k处取得最小值，且为2−k2=−4，
解得k= 6(− 6舍去)，
综上可得，k= 6；
(3)不等式f(2x)>m⋅f(x)−4即为4x+4−x>m(2x+2−x)−4，
设u=2x+2−x(u≥2)，原不等式即为u2−2>mu−4，即有m
则m<3，即m的取值范围是(−∞,3)．
【解析】(1)由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，结合恒等式的性质可得p的值；
(2)求得g(x)的解析式，设t=2x−2−x，可得t≥32，设h(t)=t2−2kt+2，对称轴为t=k，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，求得k的值；
(3)将原不等式化为4x+4−x>m(2x+2−x)−4，设u=2x+2−x(u≥2)，可得m
2022-2023学年福建省泉州市晋江重点中学高二（下）期末联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=(2+ai)i为“等部复数”，则实数a的值为( )
A. −1 B. 0 C. 2 D. −2
2. 已知集合M={0,1,2}，N={−1,0,1,2}，则“a∈M”是“a∈N”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在空间中，下列说法正确的是( )
A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直
C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
4. 若cos2α=−725，0<α<π2，则cosα等于( )
A. 45 B. −45 C. 35 D. −35
5. 若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式恒成立的是( )
A. ab≥ 2 B. a+ b≤ 2 C. 2a+1b≥3 D. a2+b2≥2
6. 函数f(x)=4x−4−xx2+|x|−2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为N0(>0)，经过时间t(天)之后的新闻热度变为N(t)=N0e−αt，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数α=0.3，要使该新闻的热度降到初始热度的10%以下，需要经过天(参考数据：ln10≈2.303)( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF//底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB=2,AE=2 3，则该刍甍的外接球的体积为( )
A. 64 2π3 B. 32π C. 64 3π3 D. 64 2π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为( )
A. 直线AM与C1C是相交直线
B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线BN与MB1是异面直线
D. 直线MN与AC所成的角为60°
10. 已知平面向量a=(2,2),b=(1,m)，且|2a+b|=|2a−b|，则( )
A. m=−1 B. 〈a,b〉=π3 C. a//b D. |b|= 2
11. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象的周期为T=π
B. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. 函数f(x)在区间[−π3,π6]上的最大值为2
D. 直线y=1与y=f(x)(−π12≤x≤11π12)图象所有交点的横坐标之和为π6
12. 如图，直线l1//l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C,GA+GB+GC=0，则( )
A. AG=13(AB+AC) B. △GAB面积的最小值是23
C. |AG|≥1 D. GA⋅GB存在最小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为______ ．
14. 已知α为第二象限角，且sinα=45,则cos(α−π4)= ______ ．
15. 已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=2x，则f(20212)= ______ ．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，则AB·AD的值是______．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知向量a，b满足a=(1,−1)，|b|=1．
(1)若a，b的夹角为π3，求a⋅b；
(2)若(a−b)⊥b，求a与b的夹角．
18. (本小题12.0分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+bcosA=c．
(1)求B；
(2)设a= 2c，b=2，求c．
19. (本小题12.0分)
2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率．
20. (本小题12.0分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AD=3BC=3,AB= 2，点E在线段PD上，PD=3PE．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．
21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=2x+(p−1)⋅2−x是定义域为R的偶函数．
(1)求p的值；
(2)若g(x)=f(2x)−2k⋅(2x−2−x)在[1,+∞)上最小值为−4，求k的值；
(3)若不等式f(2x)>m⋅f(x)−4对任意实数x都成立，求实数m的范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z=(2+ai)i=−a+2i，
因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，
所以−a=2，所以a=−2．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为M⊆N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，但“a∈N”推不出“a∈M”，
所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件．
故选：A．
由充分、必要条件定义即可得出答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，理解充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；
平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；
根据线面垂直的性质可知：D正确；
故选：D．
根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．
本题考查线面平行或垂直的判断方法，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为cos2α=−725=2cos2α−1，所以cos2α=925，
又0<α<π2，所以cosα=35．
故选：C．
利用二倍角公式，求得cos2α=925，再判断cosα的符号，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：A：由2=a+b≥2 ab，得 ab≤1,ab≤1，A错误；
B：( a+ b)2=a+b+2 ab≤a+b+a+b=4，当且仅当a=b=1时取等号，
所以 a+ b≤2，B错误；
C：2a+1b=a+ba+a+b2b=32+ba+a2b≥32+2 ba⋅a2b=32+ 2，
当且仅当a= 2b且a+b=2，即b=2 2−2，a=4−2 2时取等号，C错误；
D：a2+b2=(a+b)2−2ab=4−2ab≥2恒成立，
故选：D．
由2=a+b≥2 ab，得 ab≤1,ab≤1，结合选项可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，当两个正数的和或积为定值时，可考虑利用基本不等式求解最值或判断范围．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=4x−4−xx2+|x|−2，其定义域为{x|x≠±1}，
有f(−x)=4−x−4xx2+|x|−2=−f(x)，f(x)为奇函数，排除A，
当x=12时，y=2−1214+12−2=−65>0，排除B，
令f(x)=4x−4−xx2+|x|−2=0，解得x=0，排除C，
故选：D．
根据题意，分析函数的奇偶性，排除A，再利用特殊点的函数值判断即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，特殊点的函数值的判断，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得N(t)=N0e−αt<0.1N0，
∴e−0.3t<0.1,−0.3t
即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下，
故选：C．
根据题意，列出不等式，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：取AD，BC中点N，M，正方形ABCD中心O，EF中点O2，连接EN，MN，FM，OO2，如图，
依题意，OO2⊥平面ABCD，EF//AB//MN，点O是MN的中点，MN=AB=4，
等腰△AED中，AD⊥EN，EN= AE2−AN2=2 2，同理FM=2 2，
因此，等腰梯形EFMN的高OO2= EN2−(MN−EF2)2= 7，由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心O1在直线OO2上，连O1E，O1A，OA，正方形ABCD外接圆半径OA=2 2，
则有O1A2=OA2+OO12O1E2=O2E2+O2O12，而O1A=O1E,O2E=12EF=1，
当点O1在线段O2O的延长线(含点O)时，视OO1为非负数，若点O1在线段O2O(不含点O)上，视OO1为负数，
即有O2O1=O2O+OO1= 7+OO1，即(2 2)2+OO12=1+( 7+OO1)2，解得OO1=0，
因此刍甍的外接球球心为O，半径为OA=2 2，
所以刍甍的外接球的体积为4π3×(2 2)3=64 2π3．
故选：A．
根据给定条件，求出点E到平面ABCD的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解．
9.【答案】CD
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，
在A中，直线AM与C1C是异面直线，故A错误；
在B中，直线AM与BN是异面直线，故B错误；
在C中，直线BN与MB1是异面直线，故C正确；
在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2，
则M(0,1,2)，N(0,2,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
MN=(0,1,−1)，AC=(−2,2,0)，
则cos
∴直线MN与AC所成的角为60°，故D正确．
故选：CD．
在A中，直线AM与C1C是异面直线；在B中，直线AM与BN是异面直线；在C中，直线BN与MB1是异面直线；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN与AC所成的角为60°．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：|2a+b|=|2a−b|，同时平方可得，a⋅b=0，
故a⊥b，故BC错误，
a=(2,2),b=(1,m)，
则2+2m=0，解得m=−1，|b|= 12+(−1)2= 2，故AD正确．
故选：AD．
将|2a+b|=|2a−b|同时平方可得，a⋅b=0，再结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：由图象可得，T4=2π3−5π12=π4，得T=π，故A正确，
ω=2ππ=2，A=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，当x=2π3时，f(x)取最小值，
则2sin(2×2π3+φ)=−2，即4π3+φ=3π2+2kπ，k∈Z，
∵|φ|<π，
∴φ=π6，即f(x)=2sin(2x+π6)，
当x=π12时，f(π12)=2sin(2×π12+π6)=2sinπ3≠0，故B错误，
当x∈[−π3,π6]，则2x+π6∈[−π2,π2]，则−2≤f(x)≤2，故C正确，
当−π12≤x≤11π12时，
则2x+π6∈[0,2π]，
设直线y=1与y=f(x)(−π12≤x≤11π12)图象所有交点的横坐标为x1，x2，则2x1+π6+2x2+π6=π，解得x1+x2=π3，故D错误．
故选：AC．
先利用函数图象 T，A，ω，φ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果．
本题主要考查三角函数图象的应用，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：设AB中点为F，连接CF，以D为原点，DB，DE方向分别为x，y轴建立如图所示直角坐标系：
所以A(0,2)，E(0,3)，
设C(m,3)，B(n,0)，G(x,y)，m，n，x，y∈R，且m，n≠0，
所以AC=(m,1),AB=(n,−2)，
因为AC⊥AB，所以AC⋅AB=0，
即mn−2=0，故n=2m，即B(2m,0)，所以GA=(−x,2−y)，
GB=(2m−x,−y),GC=(m−x,3−y)，
因为GA+GB+GC=0，所以2m+m−3x=05−3y=0，
因为13(AB+AC)=13((2m,−2)+(m,1))=(2m+m3,−13)，
故AG=13(AB+AC)，选项A正确；
因为GA+GB+GC=0，所以GC=−(GA+GE)，
即GC=−2GF，所以G，C，F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，
所以S△GAB=13S△ABC=16|AC|⋅|AB|=16 m2+1⋅ 4m2+4=13 (m2+1)(1m2+1)=13 m2+1m2+2≥13 2 m2⋅1m2+2=23，
当且仅当m2=1m2，即m=±1时取等，所以选项B正确；
因为AG=(2m+m3,−13)，所以|AG|= (2m+m3)2+19= 4m2+m2+49+19≥ 2 4m2⋅m2+49+19=1，
当且仅当4m2=m2，即m=± 2时取等，故|AG|≥1，选项C正确：
因为GA=(−2m+m3,13),GB=(3m−m3,−53)，
所以GA⋅GB =(−2m+m3,13)⋅(3m−m3,−53)=−(2m+m3)(3m−m3)−59=m2−6m2−19−59=m2−6m2−69．
因为m∈R且m≠0，所以m2>0，记f(x)=x−6x−6,x>0，
可知f(x)单调递增，没有最值，即GA⋅GB没有最值，故选项D错误．
故选：ABC．
根据题意建立合适的直角坐标系，设出C(m,3)，B，G坐标，根据AC⊥AB及GA+GB+GC=0即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG,13(AB+AC)即可判断A；取AB中点为F，连接CF，根据GA+GB+GC=0，可得G，C，F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，即可找到△GAB面积与△ABC面积之间比例关系，进而建立△GAB面积等式，根据基本不等式即可判断B，求出|AG|，再根据基本不等式可判断C；写出GA⋅GB进行化简，根据m的范围即可得 GA⋅GB的最值情况．
本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目．
13.【答案】910
【解析】解：由题意，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为1−C33C53=1−110=910．
故答案为：910．
根据对立事件的概率公式以及古典概型的概率计算公式化简求值即可．
本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的应用，属于基础题．
14.【答案】 210
【解析】解：由α为第二象限的角，sinα=45，
得到cosα= 1−(45)2=−35，
则cos(α−π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4= 22(−35+45)= 210．
故答案为： 210
由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系，根据sinα的值求出cosα的值，然后利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα的值和cosα的值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意α为第二象限角条件的应用．
15.【答案】2 2
【解析】解：偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=2x，
则f(20212)=f(1010+12)=−f(12)=−f(−12)=f(32)
=232=2 2．
故答案为：2 2．
利用函数的性质推导出f(20212)=f(1010+12)=−f(12)=−f(−12)=f(32)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】22
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中档题．
由CP=3PD，可得AP=AD+14AB，BP=AD−34AB，进而由AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，构造方程，可得答案．
【解答】
解：∵CP=3PD，
∴AP=AD+DP=AD+14AB，
BP=BC+CP=AD−34AB，
又∵AB=8，AD=5，
∴AP·BP=(AD+14AB)·(AD−34AB)
=|AD|2−12AB·AD−316|AB|2
=25−12AB·AD−12=2，
故AB⋅AD=22，
故答案为22．
17.【答案】解：(1)由a=(1,−1)，|b|=1，
又a，b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|= 12+(−1)2×1×12= 22；
(2)由(a−b)⊥b，
则(a−b)⋅b=0，
则a⋅b=b2=1，
设a与b的夹角为θ，
则cosθ=a⋅b|a||b|=1 2×1= 22，
又θ∈[0,π]，
则θ=π4，
即a与b的夹角为π4．
【解析】(1)由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
(2)由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC，
因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAsinB=sinAcosB，
又因为sinA≠0，cosB≠0，
所以tanB=1，
又0
(2)由余弦定理b2=c2+a2−2accosB，a= 2c，
可得4=c2+2c2−2 2c2× 22，解得c=2．
【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=1，结合0
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图，可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1，
则a+b=0.55，①
∵居民收入数据的第60百分位数为8.1，
∴0.05+0.12+a+(8.1−7.5)×b=0.6，
则a+0.6b=0.43，②
①②联立，解得a=0.25，b=0.3．
∴估计这100位居民可支配收入的平均值为：
0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.22．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲，乙，丙在[7.5,8.5)内，
则P(A)=P(B)=P(C)=0.3，
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”=ABC−∪AB−C∪A−BC，且ABC−,AB−C,A−BC互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P1=P(ABC−∪AB−C∪A−BC)=0.3×0.3×(1−0.3)+0.3×(1−0.3)×0.3+(1−0.3)×0.3×0.3=0.189；
②①“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”=ABC，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027，
∴抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为：
P=P1+P2=0.189+0.027=0.216．
【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第60百分位数的性质求出a，b，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
(2)分抽取的3人中有2人和3人去年可支配收入在[7.5,8.5)内两种情况求解即可．
本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：(1)过E作EF//AD交PA于点F，连接BF，
因为BC//AD，所以EF//BC，
又PD=3PE，所以AD=3EF，
又AD=3BC，所以EF=BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE//BF，
又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
所以CE//平面PAB；
(2)在梯形ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AD=3BC=3，AB= 2，
所以BC=1,AC= 3,CD= 6，
所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，又PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，
所以平面PAC⊥平面PCD，
【解析】(1)先证四边形BCEF为平行四边形，可证CE//BF，进而可证CE//平面PAB；
(2)先证AC⊥CD，PA⊥CD，进而可证CD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PCD．
本题考查线面平行的证明和面面垂直的证明，属中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=2x+(p−1)⋅2−x是定义域为R的偶函数，
可得f(−x)=f(x)，即为2−x+(p−1)⋅2x=2x+(p−1)⋅2−x，
化为(2x−2−x)(p−2)=0，
由x∈R，可得p−2=0，即p=2；
(2)g(x)=f(2x)−2k⋅(2x−2−x)=4x+4−x−2k(2x−2−x)，
设t=2x−2−x，由x≥1，t=2x−2−x递增，可得t≥32，
设h(t)=t2−2kt+2，对称轴为t=k，
当k≤32时，h(t)在[32,+∞)递增，可得h(t)的最小值为h(32)=94−3k+2=−4，
解得k=114>32，舍去；
当k>32时，h(t)在t=k处取得最小值，且为2−k2=−4，
解得k= 6(− 6舍去)，
综上可得，k= 6；
(3)不等式f(2x)>m⋅f(x)−4即为4x+4−x>m(2x+2−x)−4，
设u=2x+2−x(u≥2)，原不等式即为u2−2>mu−4，即有m
则m<3，即m的取值范围是(−∞,3)．
【解析】(1)由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，结合恒等式的性质可得p的值；
(2)求得g(x)的解析式，设t=2x−2−x，可得t≥32，设h(t)=t2−2kt+2，对称轴为t=k，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，求得k的值；
(3)将原不等式化为4x+4−x>m(2x+2−x)−4，设u=2x+2−x(u≥2)，可得m
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